Angulo Inscrito

Angulo Inscrito

Inscrita ángulo

En geometría , un ángulo inscrito se forma cuando dos líneas secantes de un círculo (o, en un caso degenerado , cuando una recta secante y una tangente del círculo) se cruzan en el círculo.

Por lo general, es más fácil pensar en un ángulo inscrito como definido por dos cuerdas del círculo compartir un punto final .

Las propiedades básicas de los ángulos inscritos se discuten en el libro 4, las Proposiciones 20 a 22 de los Elementos de Euclides . Estas son las ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, ángulos inscritos en el mismo arco de una cuerda son iguales y la suma de los dos ángulos distintos inscrito de un acorde es de 180 °.

Propiedad

Un ángulo inscrito se dice que se cruzan un arco en el círculo. El arco es la parte del círculo que se encuentra en el interior del ángulo. La medida del arco interceptado (igual a su ángulo central ) es exactamente el doble de la medida del ángulo inscrito.

Esta propiedad única tiene una serie de consecuencias dentro del círculo. Por ejemplo, permite demostrar que cuando dos cuerdas se intersectan en un círculo, los productos de las longitudes de sus piezas son iguales. También permite demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son complementarios . Prueba

Para entender esta prueba, es útil dibujar un diagrama. Inscrita ángulos en una cuerda es un diámetro

Sea O el centro de un círculo. Elige dos puntos en el círculo, y los llaman V y A. Dibujar VO línea y extenderse más allá de O para que se cruza el círculo en el punto B que es diametralmente opuesto al punto V. Dibuja un ángulo cuyo vértice es el punto V y cuyos lados pasan por los puntos A y B.

Ángulo de BOA es un ángulo central ; llaman θ. Dibuje la línea OA. Líneas de OV y OA son radios del círculo, así que tienen la misma longitud. Por lo tanto triángulo VOA es isósceles , por lo que el ángulo BVA (el ángulo inscrito) y el ángulo VAO son iguales, que cada uno de ellos se denota como ψ.

Ángulos Junta de Auditores y AOV son complementarios . Que suman 180 °, desde VB línea que pasa por O es una línea recta. Por lo tanto AOV ángulo mide 180 ° - θ.

Se sabe que los tres ángulos de un triángulo suman 180 °, y tres ángulos del triángulo son la Voz de América:

    180 ° - θ 
    ψ 
    ψ. 

Por lo tanto

    2 \ psi + 180 ^ \ circ - \ theta = 180 ^ \ circ.

Restar 180 ° de ambos lados,

    2 \ psi = \ theta, \,

donde θ es el ángulo central que subtiende arco AB y ψ es el ángulo inscrito subtiende arco AB.

ángulos inscritos son los que son frontales en el lado del círculo Inscrita ángulos con el centro del círculo en su exterior

[El caso anterior se puede ampliar para cubrir el caso en que la medida del ángulo inscrito es la diferencia entre dos ángulos inscritos como se discutió en la primera parte de esta prueba.]

Dado un círculo cuyo centro es el punto O, elegir tres puntos V, C y D en el círculo. Dibujar líneas VC y VD: ángulo de DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuja VO línea y ampliarla pasado el punto O, para que se cruza con el círculo en el punto E. Ángulo DVC arco subtiende DC en el círculo.

Supongamos que este arco no incluye la letra E en su interior. El punto E es diametralmente opuesto al punto V. Ángulos DVE y EVC son también ángulos inscritos, pero ambos ángulos tienen un lado que pasa por el centro del círculo, por lo tanto el teorema de lo anterior la parte 1 se puede aplicar a ellos.

Por lo tanto

    \ Ángulo DVC = \ ángulo EVC - \ DVE ángulo . 

luego dejar que

    \ Psi_0 = \ ángulo de DVC,
    \ Psi_1 = \ ángulo DVE,
    \ Psi_2 = \ ángulo de EVC,

de manera que

    \ Psi_0 = \ psi_2 - \ psi_1 \ qquad \ qquad (3)

Dibujar líneas OC y OD. Ángulo de DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos DOE y EOC, y

    \ Ángulo COD = \ ángulo COE - \ ángulo DOE.

Vamos a

    \ Theta_0 = \ ángulo Departamento de Comercio,
    \ Theta_1 = \ ángulo DOE,
    \ Theta_2 = \ ángulo COE,

de manera que

    \ Theta_0 = \ theta_2 - \ theta_1 \ qquad \ qquad (4)

Desde la primera parte, sabemos que θ 1 = 1 y que 2ψ θ 2 = 2ψ 2. Combinando estos resultados con la ecuación (4) los rendimientos

    θ 0 = 2ψ 2 - 1 2ψ 

por lo tanto, por la ecuación (3),

    θ 0 = 2ψ 0. 

Teorema

La θ ángulo inscrito es la mitad del ángulo 2θ central que subtiende el mismo arco en el círculo (magenta). Por lo tanto, el ángulo θ no cambia su punto de vértice se mueve alrededor del círculo (ángulo de verde, azul y oro).

El teorema del ángulo inscrito estados que un ángulo θ inscrito en un círculo es la mitad del ángulo 2θ central que subtiende el mismo arco en el círculo. Por lo tanto, el ángulo no cambia su vértice se mueve a diferentes posiciones en el círculo.

El ángulo inscrito teorema se utiliza en muchas pruebas de elemental geometría euclidiana del plano . Un caso especial del teorema es el teorema de Thales , que establece que el ángulo subtendido por un diámetro siempre es 90 °, es decir, un ángulo recto. Como consecuencia del teorema, ángulos opuestos de los cuadriláteros cíclicos suma de 180 °, por el contrario, cualquier cuadrilátero que esto es cierto puede ser inscrito en un círculo. Como otro ejemplo, el teorema del ángulo inscrito es la base de varios teoremas relacionados con la energía de un punto con respecto a un círculo. Prueba

En el caso más simple, una pierna del ángulo inscrito es un diámetro del círculo, es decir, pasa por el centro del círculo. Dado que la pierna es una línea recta, el suplemento del ángulo central es igual a 180 º-2θ. Dibujar un segmento desde el centro del círculo para el otro punto de intersección del ángulo inscrito produce un triángulo isósceles , a partir de dos radios del círculo y la segunda etapa del ángulo inscrito. Desde dos ángulos en un triángulo isósceles son iguales y desde los ángulos de un triángulo deben sumar 180 °, se deduce que el ángulo inscrito es igual a θ, la mitad del ángulo central.

Este resultado puede extenderse a arbitrarias ángulos inscritos dibujando un diámetro de su ápice. Esto convierte el problema general en dos sub-casos en que un diámetro es de una pierna. Sumando los dos subangles nuevo da el resultado que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.

Tenga en cuenta que el ángulo central para el ángulo inscrito de oro es de 360 ​​º-2θ. Por lo tanto, la mitad de ella (y por lo tanto la medida del ángulo inscrito de oro) es de 180 °-θ.

El conjunto de todos los puntos (locus) para los que se puede ver un segmento de línea en un ángulo de medida θ contiene dos arcos (uno de cada lado del segmento de línea con 2θ ángulo central. En el caso especial de 90 °, obtenemos exactamente un círculo con el centro de la mitad del segmento de línea Corolarios

Por un argumento similar, el ángulo entre un acorde y la tangente a una línea de intersección de sus puntos es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda. Ver también las líneas tangentes a los círculos .

Inscribed angle. (2011, March 21). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 21:40, May 1, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Inscribed_angle&oldid=419994795

Angulo Inscrito

En geometría, un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.

Si todos los ángulos interiores de un polígono miden no más de 180 grados o π radianes, el polígono se clasifica como polígono convexo. Si todos los ángulos interiores de un polígono convexo son iguales, el polígono es un polígono regular. En caso contrario el polígono es un polígono irregular.

Ángulo interior. (2008, 17) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:40, octubre 23, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81ngulo_interior&oldid=21034600.


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