Arreglos Regulares

Arreglos Regulares

Matriz (matemáticas)

En las matemáticas, Un matriz (Plural matrices, O con menos frecuencia matrices) Es una matriz rectangular de números, Tales como

1 9 13 20 55 6

Un elemento de una matriz se llama una entrada o un elemento. El ejemplo tiene las entradas 1, 9, 13, 20, 55, y 6. Las entradas son a menudo denotado por una variable con dos subíndices, Como se muestra a la derecha. Así, en la matriz anterior, una2,1 = 20. Las matrices del mismo tamaño se puede agregó y entrywise resta y matrices de tamaños compatibles pueden ser multiplicado. Estas operaciones tienen muchas de las propiedades de la aritmética ordinaria, salvo que la multiplicación de matrices no es conmutativa, Es decir, AB y BA no son iguales en general. Matrices que consiste en una sola columna o fila de definir los componentes de vectores, Mientras que de dimensiones superiores (por ejemplo, en tres dimensiones), matrices de números de definir los componentes de una generalización de un vector llamado tensor. Las matrices con entradas en otros campos o anillos También se estudian.

Las matrices son una herramienta clave en la álgebra lineal. Uno de los usos de las matrices es la representación transformaciones lineales, Que son de dimensiones superiores análogos de funciones lineales de la forma f(x) = cx, donde c es una constante, la multiplicación de matrices se corresponde con composición de las transformaciones lineales. Las matrices también se puede realizar un seguimiento de la coeficientes en un sistema de ecuaciones lineales. Para una matriz cuadrada, La determinante y matriz inversa (Cuando existe) regulan el comportamiento de las soluciones para el correspondiente sistema de ecuaciones lineales, y valores y vectores propios dar una idea de la geometría de la transformación lineal asociada.

Matrices encontrar muchas aplicaciones. Física hace uso de matrices en distintos ámbitos, por ejemplo, en óptica geométrica y mecánica de matrices, Este último llevó a estudiar en detalle las matrices más con un número infinito de filas y columnas. Gráfico de la teoría usa matrices para hacer un seguimiento de las distancias entre los pares de vértices en un gráfico. Infografía utiliza matrices para proyectar el espacio de 3 dimensiones en una pantalla de 2 dimensiones. Matriz de cálculo generaliza clásica analítica nociones tales como derivados de funciones o exponenciales a las matrices. Esta última es una necesidad recurrente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Serialismo y dodecafonismo son movimientos musicales del siglo 20 que el uso de una plaza matemática matriz para determinar el patrón de intervalos de la música.

Una rama importante de la análisis numérico se dedica al desarrollo de algoritmos eficientes para el cálculo de la matriz, un tema que tiene siglos de antigüedad, pero sigue siendo un área activa de investigación. Matriz de métodos de descomposición simplificar los cálculos, tanto teórica como prácticamente. Por matrices dispersas, Algoritmos específicamente puede proporcionar aceleraciones, tales matrices se plantean en el método de elementos finitos, Por ejemplo.

Definición

Un matriz es una rectangulares disposición de los números. Por ejemplo,

   9  13  6
   1  11  7

A= 3 9 2

   6  0   7

Las líneas horizontales y verticales en una matriz se llaman filas y columnas, Respectivamente. Los números de la matriz se llama su de las entradas o su elementos. Para especificar el tamaño de una matriz, una matriz con m filas y n columnas se llama una mPorn matriz o m × n la matriz, mientras que m y n se denominan dimensiones. Lo anterior es una matriz de 4 por 3.

Una matriz con una fila (1 × n la matriz) se llama vector fila, Y una matriz con una columna (una m× 1 matriz) se llama vector columna. Cualquier fila o columna de una matriz determina un vector fila o columna, se obtiene eliminando todas las otras filas o columnas, respectivamente, de la matriz. Por ejemplo, el vector de fila de la tercera fila de la matriz anterior Un es

(3 9 2)

Cuando una fila o columna de una matriz se interpreta como un valor, esto se refiere a la fila correspondiente o un vector columna. Por ejemplo se puede decir que dos filas diferentes de una matriz son iguales, lo que significa que determinar el vector de la misma fila. En algunos casos, el valor de una fila o columna debe ser interpretada como una secuencia de valores (un elemento de Rn si las entradas son números reales) en lugar de como una matriz, por ejemplo al decir que las filas de una matriz son iguales a las columnas correspondientes de su transponer matriz.

La mayor parte de este artículo se centra en real y matrices complejas, Es decir, matrices cuyas entradas son números reales o complejos. tipos más generales de las entradas se discuten a continuación.

Notación

Los detalles de la notación de matrices es muy variable, con algunas tendencias predominantes. Las matrices se denotan generalmente con mayúsculas cartas, mientras que el correspondiente minúsculas las letras, con dos índices subíndice, representan las entradas. Además de utilizar letras mayúsculas para simbolizar las matrices, muchos autores utilizan un especial estilo tipográfico, Generalmente en posición vertical en negrita (no en cursiva), para distinguir aún más las matrices de otras variables. Una notación alternativa implica el uso de un doble-subrayado con el nombre de variable, con o sin estilo negrita (por ejemplo, \underline{\underlineĀ}).

La entrada que se encuentra en el iª fila y la j-Ésima columna de una matriz es generalmente conocido como el i,j, (i,j), O (i,j)ª entrada de la matriz. Por ejemplo, la entrada (2,3) de la matriz anterior Un es de 7. El (i, j)ª entrada de una matriz Un es más comúnmente escrito como unai,j. notaciones alternativas para que la entrada se Un[i, j] O Uni, j.

A veces, una matriz se conoce por dar una fórmula para su (i,j)ª entrada, a menudo con paréntesis dobles alrededor de la fórmula para la entrada, por ejemplo, si el (i,j)ª entrada de Un estuvieron a cargo de unaij, Un se denota ((unaij)).

El asterisco se utiliza comúnmente para referirse a las filas o columnas en una matriz. Por ejemplo, unai,∗ se refiere a la iª fila de Un, Y una∗,j se refiere a la jª columna de Un. El conjunto de todos mPorn matrices se denota \mathbb{M}(m, n).

Una abreviatura común es

Un= [unai,j]i=1,…,m; j=1,…,n o más brevemente Un = [unai,j]m×n

para definir una m × n matriz Un. Por lo general, las entradas unai, j se definen por separado para todos los enteros 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, pueden a veces ser dada por una fórmula, por ejemplo, el 3 por matriz 4

   0   −1    −2   −3

A= 1 0 −1 −2

   2    1     0   −1

alternativamente, se puede especificar Un = [i − j]i=1,2,3; j=1,…,4, O simplemente Un = ((i-j)), Donde el tamaño de la matriz se entiende.

Algunos lenguajes de programación iniciar la numeración de filas y columnas en cero, en cuyo caso las entradas de un mPorn matriz son indexados por 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.[2] En este artículo se sigue la convención más común en la escritura matemática, donde la enumeración se inicia a partir del 1.

Historia

Las matrices tienen una larga historia de aplicación en la solución de ecuaciones lineales. La texto en chino Los nueve capítulos del arte matemático (Jiu Zhang Suan Shu), De entre 300 aC y 200 dC, es el primer ejemplo de la utilización de métodos de matrices para resolver ecuaciones simultáneas,[85] incluyendo el concepto de determinantes, Más de 1000 años antes de su publicación por la matemático japonés Seki en 1683[cita requerida] y el matemático alemán Leibniz en el 1693. Cramer presentado su gobierno en el año 1750.

Principios de la teoría de matrices hincapié en los determinantes más fuerza que las matrices y un concepto independiente de la matriz similar a la noción moderna surgió sólo en 1858, con Cayley Memoria sobre la teoría de matrices.[86][87] El término “matriz” fue acuñado por Sylvester, Que comprendía una matriz como un objeto que da lugar a una serie de factores determinantes de la hoy llamada menores de edad, Es decir, los factores determinantes de las matrices más pequeñas que se derivan de la original mediante la eliminación de columnas y filas. Etimológicamente, La matriz se deriva de América mater (La madre).[88]

El estudio de los determinantes surgieron de varias fuentes.[89] Número teórico problemas llevaron Gauss para relacionar los coeficientes de formas cuadráticas, Es decir, expresiones tales como x2 + xy − 2y2, y aplicaciones lineales en tres dimensiones a las matrices. Eisenstein desarrollar más estas ideas, incluyendo la observación de que, en lenguaje moderno, productos de la matriz se no conmutativa. Cauchy fue el primero en probar las declaraciones generales sobre los determinantes, utilizando como definición del determinante de una matriz Un = [unai,j] Lo siguiente: sustituir las competencias que unajk por unajk en el polinomio

a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)\;,

donde Π denota la producto de los términos indicados. También mostró, en 1829, que la valores propios de las matrices simétricas son reales.[90] Jacobi Estudió “determinantes funcionales”-más tarde llamado Jacobi determinantes por Sylvester-que puede ser usado para describir las transformaciones geométricas en un local (o infinitesimalCategorías), véase por encima de; Kronecker Vorlesungen über die Theorie der Determinanten[91] y Weierstrass Agregar Determinantentheorie,[92] ambos publicados en 1903, en primer lugar los factores determinantes de tratados axiomáticamente, A diferencia de los enfoques más concretos anterior como la fórmula mencionada de Cauchy. En ese momento, los factores determinantes se establecieron firmemente.

Muchos teoremas se estableció por primera vez para matrices pequeñas solamente, por ejemplo, la Teorema de Cayley-Hamilton Se comprobó durante 2

×2 matrices por Cayley en las memorias anteriores, y por Hamilton para 4 × 4 matrices. Frobenius, Trabajando en formas bilineales, El teorema generalizado a todas las dimensiones (1898). También a finales del siglo 19 la Eliminación de Gauss-Jordan (Generalizando un caso especial ahora se conoce como Eliminación de Gauss) Fue establecido por Jordania. En el siglo 20, las matrices de alcanzar un papel central en el álgebra lineal.[93] en parte debido a su uso en la clasificación de la hipercomplejos número sistemas del siglo pasado.

El inicio del mecánica de matrices por Heisenberg, Nacido y Jordania llevó al estudio de las matrices con filas y columnas infinitas.[94] Más tarde, von Neumann llevó a cabo la formulación matemática de la mecánica cuántica, Mediante el desarrollo funcional de análisis nociones tales como operadores lineales en Espacios de Hilbert, Que, muy a grandes rasgos, corresponden a El espacio euclidiano, Pero con una infinidad de direcciones independientes. [edición] Otros usos históricos de la palabra “matriz” en matemáticas

La palabra se ha utilizado de manera inusual por lo menos dos autores de importancia histórica.

Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en su Principia Mathematica (1910–1913) utiliza la palabra matriz en el contexto de su Axioma de reducibilidad. Propusieron este axioma como un medio para reducir cualquier función a uno de tipo inferior, sucesivamente, de modo que en la “base” (0 orden) la función será idéntica a su de extensión[desambiguación necesarios]:

“Vamos a dar el nombre de matriz a cualquier función, sin embargo muchas de las variables, que no se recurra a ninguno variables aparente. Entonces, cualquier posible función que no sea una matriz se deriva de una matriz por medio de la generalización, es decir considerando la proposición que afirma que la función en cuestión es verdad con todos los valores posibles, o con algún valor de uno de los argumentos, el otro argumento o argumentos restantes “indeterminado.[95]

Por ejemplo una función Φ (x, y) De dos variables x y y se puede reducir a un colección de las funciones de una sola variable, por ejemplo, y, Por “considerar” la función para todos los valores posibles de “individuos” unai substituida en el lugar de la variable x. Y a continuación, la colección resultante de las funciones de la única variable y, ∀ es decir, uni: Φ (unai, Y), Se puede reducir a una “matriz” de los valores por “considerar” la función para todos los valores posibles de “individuos” bi substituida en el lugar de la variable y:

∀ bj∀ uni: Φ (unai, bj).

Alfred Tarski en el 1946 Introducción a la Lógica utilizó la palabra “matriz” como sinónimo de la noción de tabla de verdad como se utiliza en la lógica matemática.

Matrix (mathematics). (2011, January 10). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 16:03, January 12, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Matrix_(mathematics)&oldid=407160391

Arreglos Regulares

En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.

Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz.

Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones.

Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].

Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Matriz (matemática). (2008, 8) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 03:28, octubre 15, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_(matemA1tica)&oldid=20739087.


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