Bisectriz De Un Angulo

Bisectriz De Un Angulo

Bisectriz de un angulo

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales.

Propiedad : los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo.

Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos cóncavos. Cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las dos rectas. Este resultado se establece fácilmente observando que cada bisectriz es el eje de simetría de su ángulo: la simetría axial respecto de una bisectriz deja el ángulo invariante.

En la figura, la bisectriz interior al ángulo xOy (en amarillo) es (zz’), y la exterior es (ww’). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos a la medida de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la medida del ángulo xOx’ , que es plano. Dividimos por 2: zOw mide a + b = 90º.

Aplicación

La bisectriz es la recta que divide al angulo en 2 partes iguales con el compás. Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D’ (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D’, entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D”. Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.


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