Calcular El Volumen De Cilindros Y Conos

Calcular El Volumen De Cilindros Y Conos

Cilindro (geometría)

Un cilindro circular recto

Un cilindro es una de las más elementales formas geométricas curvilíneas, la superficie formada por los puntos a una distancia fija de un determinado segmento de línea , el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje se llama también un cilindro. La superficie y el volumen de un cilindro se han conocido desde la antigüedad de profundidad.

En geometría diferencial , un cilindro se define más ampliamente como cualquier superficie reglada se extendió por un parámetro con una familia de líneas paralelas. Un cilindro cuya sección transversal es una elipse , parábola o hipérbola se llama un cilindro elíptico, cilindro-parabólicos, o cilindro hiperbólico, respectivamente.

El uso común

En el uso común de un cilindro se entiende una sección limitada de un cilindro circular derecho, es decir, el cilindro con la generación de líneas perpendiculares a las bases, con sus extremos cerrados para formar dos superficies circulares, como en la figura (derecha). Si el cilindro tiene un radio r y longitud (altura) h, entonces su volumen está dado por

    V = π r 2 h 

y su superficie es:

    el área de la parte superior (π r 2) +
    el área de la parte inferior (π r 2) +
    el área de la cara (2π rh). 

Por lo tanto, sin la parte superior o inferior (zona lateral), la superficie es:

    A = 2π rh. 

Con la parte superior e inferior, la superficie es:

    A = 2π 2 + 2π rh r = 2π r (r + h). 

Para un volumen dado, el cilindro con la superficie más pequeña tiene h = 2 r. Para una superficie dada, el cilindro con el mayor volumen ha h = 2 r, es decir, el cilindro se inscribe en un cubo (altura = diámetro). Volumen

Tener un cilindro circular recto con un h unidades de altura y una base de unidades de radio r con los ejes de coordenadas a fin de que el origen está en el centro de una base y la altura se mide a lo largo del eje x positivo. Una sección plana a una distancia de x unidades desde el origen tiene un área de A (x) en unidades cuadradas

        A (x) = π r 2 

o

        A (y) = π r 2 

Un elemento de volumen, es un cilindro de derecho de superficie de base Aw i unidades cuadrados y un espesor de Δ i x unidades. Así, si cúbicos unidades V es el volumen del cilindro circular recto, por sumas de Riemann ,

        \ Mathrm volumen \; de \; cilindro} = \ lim_ { \ sum_ {i = 1} ^ n A (w_i) \ Delta_i x

Usando coordenadas cilíndricas, el volumen se puede calcular mediante la integración en

 

Sección cilíndrica

cilíndrico secciones son las intersecciones de los cilindros con los aviones. Para un cilindro circular recto, hay cuatro posibilidades. Un plano tangente al cilindro, se encuentra el cilindro en una sola línea recta. Trasladado al mismo tiempo en paralelo a sí mismo, el plano, o bien no se cruza con el cilindro o corta en dos líneas paralelas. Todos los otros planos se cruzan el cilindro en una elipse o, cuando son perpendiculares al eje del cilindro, en un círculo. [1] Otros tipos de cilindros

Un cilindro elíptico

Un cilindro elíptico, o cylindroid , es una superficie cuádrica , con la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas :

Esta ecuación es de un cilindro elíptico, una generalización del cilindro circular ordinario (a = b). Aún más general es el cilindro generalizado: la sección transversal puede ser cualquier curva.

El cilindro es un degenerado cuádrica porque por lo menos una de las coordenadas (en este caso z) no aparece en la ecuación.

Un cilindro oblicuo tiene la parte superior e inferior de las superficies desplazadas entre sí.

Hay tipos más inusual de los cilindros. Estos son los cilindros elípticos imaginario:

  

el cilindro hiperbólico:

   

y el cilindro parabólica:

   

Geometría proyectiva

En la geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono , cuyo vértice está en el infinito.

Esto es útil en la definición de las cónicas degeneradas , que requieren considerar las cónicas cilíndricas .

Cylinder (geometry). (2011, April 21). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 02:06, May 2, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cylinder_(geometry)&oldid=425152354

Cono (geometría)

Un cono circular recto y un cono circular oblicuo

Un cono es una de tres dimensiones la forma geométrica que se estrecha suavemente de una, generalmente circular, base plana a un punto denominado ápice o vértice. Más precisamente, es la figura sólida limitada por un plano de base y la superficie (llamado la superficie lateral) formada por el lugar geométrico de todos los segmentos de recta que une el vértice con el perímetro de la base. El término “cono” a veces se refiere simplemente a la superficie de esta figura sólida, o simplemente a la superficie lateral.

El eje de un cono es la línea recta (en su caso), pasando por el vértice, de la que la superficie lateral tiene una simetría rotacional .

En el uso común en la escuela primaria la geometría , los conos se supone que es circular recto, donde la derecha significa que el eje pasa por el centro de la base (adecuadamente definida) en ángulo recto a su plano, y los medios circular que la base es un círculo . En contraste con los conos de la derecha son los conos oblicuos, en los que el eje no pasa perpendicularmente a través del centro de la base. [1] En general, sin embargo, la base puede ser de cualquier forma, y el ápice puede estar en cualquier lugar (aunque a menudo se supone que la base es limitada y tiene cero zona , y que el ápice se encuentra fuera del plano de la base). Por ejemplo, una pirámide es técnicamente un cono con una poligonal base.

Otros significados matemáticos

En el uso matemático, la palabra “cono” se utiliza también para un cono infinito, la unión de cualquier conjunto de líneas de media que se inician en un punto de vértice común. Este tipo de cono no tiene una base de delimitación, y se extiende hasta el infinito. Un infinito de cono doble, o doble cono, es la unión de un conjunto de líneas rectas que pasan por un punto de vértice común, y por lo tanto se extiende simétricamente a ambos lados del ápice.

El límite de una o de doble cono infinito infinito es una superficie cónica , y la intersección de un plano con esta superficie es una sección cónica . Para conos infinita, la palabra de nuevo el eje por lo general se refiere al eje de simetría de rotación (en su caso). O bien la mitad de un cono doble en un lado de la cúspide se llama manto.

Dependiendo del contexto, “cono” también puede significar específicamente un cono convexo o un cono de proyección . Además la terminología

El perímetro de la base de un cono se llama la directriz , y cada uno de los segmentos de línea entre la directriz y el ápice es una generatriz de la superficie lateral. (Para la conexión entre este sentido del término “directriz” y la directriz de una sección cónica , ver esferas Dandelin .)

El radio de la base de un cono circular es la radio de su base, a menudo esto es llamado simplemente el radio del cono. La apertura de un cono circular recto es el ángulo máximo entre dos líneas de generatriz, si la generatriz hace un ángulo θ con el eje, la abertura es de 2 θ.

Un cono con el vértice cortado por un plano paralelo a su base se llama un “cono truncado”, mientras que si el vértice cortado por un plano sin igual a su base se llama “cono truncado”. Un cono elíptico es un cono con una elíptica base. Un cono generalizado es la superficie creada por el conjunto de líneas que pasan por un vértice y cada punto en un límite (ver también el casco visuales ). Geometría Volumen Véase también: Pirámide (geometría) # Volumen

El volumen V de cualquier cónica sólido es) un tercio de los productos de la zona B de la base y la altura H (perpendicular a la distancia desde la base hasta el ápice.

  

En matemáticas modernas, esta fórmula puede ser calculada utilizando el cálculo - que es, hasta la ampliación, la integral . Sin utilizar el cálculo, la fórmula se puede probar mediante la comparación del cono a una pirámide y la aplicación del principio de Cavalieri - específicamente, comparando el cono a un (a escala vertical) el derecho de pirámide cuadrada, que constituye una tercera parte de un cubo. Esta fórmula no se puede probar sin necesidad de utilizar argumentos tan infinitesimal - a diferencia de las dimensiones fórmulas 2 para el área poliédrica, aunque similar a la zona del círculo - y por lo tanto admitió menos pruebas rigurosas antes de la llegada de cálculo, con los antiguos griegos con el método de agotamiento . Este es esencialmente el contenido de tercera problema de Hilbert - más precisamente, no todas las pirámides son poliedros congruentes tijeras (se puede cortar en pedazos separados finitos y se han reorganizado en el otro), y por lo tanto el volumen no se puede calcular simplemente utilizando un argumento de la descomposición. Centro de la masa

El centro de masa de un sólido cónica de densidad uniforme se encuentra una cuarta parte del camino desde el centro de la masa de la base al vértice, en la línea recta que une los dos. circular cono de Derecho

Para un cono circular de radio R y altura H, la fórmula para el volumen se convierte en

    

donde r es el radio del cono a la altura h:

    

Por lo tanto:

   

Para un cono circular recto, la superficie de área A es

     donde http://upload.wikimedia.org/math/d

/b/2/db2f973386bf063ffb615fade16ab6a4.png es la altura inclinada .

El primer término en la fórmula del área, π R 2, es el área de la base, mientras que el segundo término, π R, S es el área de la superficie lateral.

Una circular cono recto con yh apertura 2θ altura, cuyo eje z es el eje de coordenadas y cuyo vértice es el origen, se describe como paramétricamente

   

donde s, t, u gama de más de [0, θ), [0,2 π), y [0, h], respectivamente.

En implícita la forma, el mismo sólido se define por las desigualdades

    

donde

De manera más general, una circular cono recto con vértice en el origen, eje paralelo al vector d, y 2θ apertura, está dada por la implícita vector ecuación F (u) = 0 donde

     o 

donde u = (x, y, z), y denota el producto escalar .

Geometría proyectiva

En la geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito. Intuitivamente, si se tiene la base fija y toma el límite cuando el vértice tiende a infinito, se obtiene un cilindro, el ángulo de la parte cada vez mayor como arctan , en el límite de formar un ángulo recto .

Esto es útil en la definición de las cónicas degeneradas , que requieren considerar las cónicas cilíndricas .

Cone (geometry). (2011, April 25). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 02:12, May 2, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cone_(geometry)&oldid=425774170


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