Calcular Productos Y Cocientes De Potencias Enteras Positivas De La Misma Base

Calcular Productos Y Cocientes De Potencias Enteras Positivas De La Misma Base

Exponenciación

Exponenciación es una matemática operación, Escrito como unan, Con dos números, el base una y el exponente n. Cuando n es una entero positivo, La potencia corresponde a repetirse multiplicación, Es decir, un producto de n factores de una:

así como la multiplicación por un entero positivo corresponde a repetirse Además:

El exponente es por lo general se muestra como un sobrescrito a la derecha de la base. La exponenciación unan puede leerse como: una elevado a la n-Ésima potencia, una elevado a la potencia [de] n, O, posiblemente, una elevado al exponente [de] n, O más brevemente como una a la n. Algunos exponentes tienen su propia pronunciación: por ejemplo, una2 es por lo general se lea como una cuadrado y una3 como una cubicado.

El poder unan se puede definir también cuando n es un entero negativo, de cero una. No hay extensión natural a todos los reales una y n existe, pero cuando la base una es un número real positivo, unan se pueden definir para todos los exponentes reales y complejos, incluso n a través de la función exponencial ez. Funciones trigonométricas se puede expresar en términos de exponenciación compleja.

Exponenciación donde el exponente es un matriz se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Exponenciación se utilizan de manera intensiva en muchos otros campos, incluyendo economía, biología, química, física y ciencias de la computación, con aplicaciones como interés compuesto, crecimiento de la población, Químicos cinética de la reacción, ola comportamiento, y criptografía de clave pública.

Los gráficos de y=unax de diversas bases una: base 10 (verde), base e (rojo), base 2 (azul), Y ½ de base (cian). Cada curva pasa por el punto (0,1) ya que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1. En x= 1, el yValor es igual a la base ya que cualquier número elevado a la potencia 1 es él mismo. Terminología

Cuando este artículo se refiere a “un poder extraño” de un número que significa el exponente es un número impar, no es que el resultado es impar. Por ejemplo 23 que es el 8 es una potencia impar de 2 porque el exponente es 3. Este es el uso habitual y se aplica a cualquier forma similar como un poder aún, el poder negativo o poder positivo. Exponentes enteros

La operación de exponenciación con exponentes enteros sólo requiere álgebra elemental. exponentes positivos enteros

La expresión una2 = una·una se llama el cuadrados de una porque el área de un cuadrado con el lado de longitud una es una2.

La expresión una3 = una·una·una se llama el cubo, Ya que el volumen de un cubo con lados de longitud una es una3.

Así que tres2 se pronuncia “tres al cuadrado”, y 23 es “dos cubos”.

El exponente dice cuántas copias de la base se multiplican entre sí. Por ejemplo, 35 = 3.3.3.3.3 = 243. La base 3 aparece cinco veces en la multiplicación repetida, ya que el exponente es 5. En este caso, 3 es el base, 5 es el exponente, Y 243 es el el poder o, más específicamente, la quinta potencia de 3, 3 elevado a la quinta potenciaO 3 a la potencia de 5.

La palabra “relieve” se omite por lo general, y muy a menudo “poder” y, por lo que tres5 suele ser pronunciado “tres a la quinta” o “tres de los cinco”.

Formalmente, las potencias con exponentes enteros positivos se puede definir por la condición inicial una1 = una y el recurrencia relación unan+1 = una·unan. Exponentes de uno y cero

Tenga en cuenta que una1 es el “Producto” de una sola una, Que se define como una.

También tenga en cuenta que unan − 1 = unan/una. Suponiendo n = 1, obtenemos una0 = 1. Otra forma de decir esto es que cuando n, m, Y n − m son positivos (y si una no es igual a cero), se puede ver que

\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}.

Extensión al caso especial cuando n y m son iguales, la igualdad sería el siguiente

1 = \frac{a^n}{a^n} = a^{n - n} = a^0

ya que tanto el numerador y el denominador son iguales. Por lo tanto, tomar esto como la definición de una0. Esto lleva a la siguiente regla:

Cualquier número elevado a la potencia 1 es el número mismo.

Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1, una interpretación de estos poderes es la productos vacíos. El caso de 00 se discute a continuación.

Combinatoria interpretación

Para los números enteros no negativos n y m, El poder nm es igual a la cardinalidad del conjunto de m-tuplas de un n-Elemento conjunto, O el número de m-Palabras de la letra de una nLetras del alfabeto.

05 = | {} | = 0. No hay 5-tupla del conjunto vacío.

14 = | (1,1,1,1) | = 1. Hay 4-tupla de un conjunto de un único elemento.

23 = | (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2) , (2,2,1), (2,2,2) | = 8. Hay ocho 3-tuplas de un conjunto de dos elementos.

32 = | (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2) , (3,3) | = 9. Hay nueve 2-tuplas de un conjunto de tres elementos.

41 = | (1), (2), (3), (4) | = 4. Hay cuatro 1-tuplas de un conjunto de cuatro elementos.

50 = | {()} | = 1. No es exactamente una tupla vacía.

Véase también exponenciación sobre conjuntos. exponentes enteros negativos

Por definición, la crianza de un número distinto de cero a la potencia −1 produce su recíproca:

a^{−1} = \frac{1}ā.

También se define

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

para cualquier cero una y cualquier número entero positivo n. El aumento de 0 a una potencia negativa implicaría división por 0, Por lo que se deja sin definir.

La definición de una−n de cero una se hace de manera que la identidad unamunan = unam + n, En un principio cierto sólo para los números enteros no negativos m y n, Es válido para arbitraria enteros m y n. En particular, lo que requiere esta identidad de m = -N está requiriendo

a^{-n} \, a^{n} = a^{-n\,+\,n} = a^0 = 1,

donde una0 se define más arriba, y esto motiva a la definición una−n = 1/unan se muestra arriba.

Exponenciación a una potencia entera negativa como alternativa se puede ver como se repite división de 1 por la base. Por ejemplo,

3^{−4} = (((1/3)/3)/3)/3 = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^{4}}.

Identidades y propiedades

El más importante identidad satisfecho por exponenciación entero es

a^{m + n} = a^m \cdot a^n

Esta identidad tiene como consecuencia

a^{m - n} =\frac{a^m}{a^n}

de una ≠ 0, y

(a^m)^n = a^{m\cdot n}

Otra identidad básica es

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

Mientras que la adición y la multiplicación son conmutativa (Por ejemplo, 2 +3 = 5 = 3 +2 = 6 y 2.3 = 3.2), la potencia no es conmutativo: 23 = 8, pero 32 = 9.

Del mismo modo, mientras que la adición y la multiplicación son de asociación (Por ejemplo, (2 +3) +4 = 9 = 2 + (3 +4) y (2.3) · 4 = 24 = 2 · (3,4), la potencia no es asociativa o bien: 23 a la cuarta potencia es de 84 o 4096, pero 2 de los 34 el poder es de 281 o 2.417.851.639.229.258.349.412.352. Sin paréntesis para modificar el orden de cálculo, el orden se entiende en general que de arriba hacia abajo, no de abajo hacia arriba:

a^{b^c}=a^(b^c)\ne (a^b)^c=a^(b\cdot c)=a^{b\cdot c}.

Potencias de diez

Ver Notación científica

En la base diez (decimales) Sistema de numeración, los poderes de número entero de 10 se escribe como el dígito 1 seguido o precedido de un número de ceros determinado por el signo y la magnitud del exponente. Por ejemplo, 103 = 1000 y 10−4 = 0.0001.

Exponenciación con la base 10 se utiliza en notación científica para describir los números grandes o pequeños. Por ejemplo, 299 792 458 metros/segundo (El velocidad de la luz en el vacío, en metros por segundo) se puede escribir como 2.99792458 · 108 m / s y, a continuación aproximar como 2,998 · 108 m / s.

Prefijos del SI basado en potencias de 10 se utiliza también para describir las cantidades pequeñas o grandes. Por ejemplo, el prefijo kilo significa 103 = 1000, por lo que un kilómetro es de 1000 metros. Potencias de dos

El positivo potencias de 2 son importantes en ciencias de la computación porque hay dosn valores posibles para una n-poco binaria variable.

Potencias de 2 son importantes en la teoría de conjuntos desde un conjunto con n miembros tiene un conjunto potencia, O conjunto de todos los subconjuntos de la serie original, con 2n miembros.

Las potencias negativas de 2 son de uso común, y los dos primeros tienen nombres especiales: la mitad, Y trimestre.

En la base 2 sistema numérico (binario), potencias enteras de 2 se escriben como un seguido o precedido de un número de ceros determinado por el signo y la magnitud del exponente. Por ejemplo, dos a la potencia de los tres se escribe 1000 en binario. Poderes de un

Los poderes son un número entero de uno: 1n = 1. Potencias de cero

Si el exponente es positivo, la potencia de cero es cero: 0n = 0, donde n > 0.

Si el exponente es negativo, el poder de cero (0n, Donde n <0) no está definido, porque la división por cero es implícita.

Si el exponente es cero, algunos autores definen 00= 1, mientras que otras lo dejan sin definir, como se a continuación. Potencias de menos uno

Si n es un entero par, entonces (−1)n = 1.

Si n es un entero impar, entonces (−1)n = −1.

Debido a esto, los poderes de −1 son útiles para la expresión de secuencias alternas. Para un análisis similar de las competencias del número complejo i, Consulte la sección sobre Potencias de números complejos. Grandes exponentes

La límite de una sucesión de las competencias de un número mayor que uno se aleja, es decir, que crecen sin límite:

unan → ∞ como n → ∞ cuando una > 1 .

Esto puede ser leído como “una al poder de n tiende a +∞ como n tiende a infinito cuando una es mayor que uno “.

Potencias de un número con valor absoluto menos de un tienden a cero:

unan → 0 cuando n → ∞ cuando |una| < 1 .

Cualquier poder de uno es siempre en sí:

unan = 1 para todos los n si una = 1 .

Si el número una varía tiende a 1 como el exponente tiende a infinito, entonces el límite no es necesariamente uno de los de arriba. Un caso particularmente importante es

(1+n−1)n → e como n→∞

consulte la sección siguiente Potencias de e.

otros límites, en particular, de los que tienden a formas indeterminadas, Se describen en límites de las competencias a continuación. poderes reales de los números positivos

La crianza de un número real positivo a un poder que no es un número entero se puede lograr de dos maneras.

Número racional exponentes se puede definir en términos de nª raíces, Y exponentes arbitrarios distinto de cero puede ser definido por la continuidad.

La logaritmo natural se puede utilizar para definir exponentes real utilizando la función exponencial.

La identidades y propiedades de arriba para exponentes enteros son verdaderos para los números reales positivos con exponentes no enteros también. Sin embargo, la identidad

(a^r)^s = a^{r\cdot s}

no se puede ampliar constantemente al lugar donde una es un número real negativo, consulte negativos nraíces º.

 El hecho de que esta identidad es la base de los problemas con las potencias de números complejos se detalla en fracaso de las identidades de energía y el logaritmo.

Principales n-Raíz ª

De arriba a abajo: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.

Artículo principal: raíz n-ésima

Un n-Raíz ª de un número una es un número x de tal manera que xn = una.

Si una es un número real positivo y n es un entero positivo, entonces no es exactamente una solución real positiva de xn = una. Esta solución se llama el director n-Raíz ª de una. Se denota n√una, Donde √  es el radicales símbolo, Alternativamente, se puede escribir una1/n. Por ejemplo: 41/2 = 2, 81/3 = 2,

Cuando se habla de el nLa raíz de un positivo º número real una, Por lo general significa que el principales n-Raíz ª. Racional de las competencias

Una potencia de un número real positivo una con un racional exponente m/n en los términos más satisface

a^{m/n} = \left(a^m\right)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}

donde m es un entero y n es un entero positivo. Potencias de e Artículo principal: Función exponencial

La importancia constante matemática e, A veces llamado el número de Euler, Es aproximadamente igual a 2,718 y es la base de la logaritmo natural. Proporciona un camino para definir la exponenciación con exponentes no enteros. Se define como el límite siguiente, en que el poder tiende a infinito cuando la base tiende a uno:

e =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac 1 n \right)^n .

La función exponencial, Definido por

e^x =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac x n \right)^n ,

tiene la x escrito como una potencia, ya que satisface la identidad exponencial de base

e^{x+y} = e^{x} \cdot e^{y} .

La función exponencial se define para todos los enteros, fracciones, raíces, y complejo los valores de x. Incluso se puede utilizar para ampliar la exponenciación de algunas entidades no numéricos, tales como matrices cuadradasSin embargo, la identidad exponencial sólo se mantiene cuando x y y viaje.

Una prueba corta que e a una potencia entera positiva k es el mismo que ek es la siguiente:

(e)^k = \left(\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k

= \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k}

= \lim_{n \cdot k \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k} = \lim_{m \rightarrow \infty} \left(1+\frac k m \right)^m = e^k .

Esta prueba muestra también que ex+y satisface la identidad exponencial cuando x y y son números enteros positivos.

Estos resultados son, de hecho, cierto en general para todos los números, no sólo para los enteros positivos. poderes Real

Dado que cualquier número real se puede aproximar con números racionales, la potencia a un exponente real arbitraria x puede ser definido por continuidad con la regla

b^x = \lim_{r \to x} b^r\quad(r\in\mathbb Q,\,x\in\mathbb R),

donde el límite r se acerca a x sólo se tomen sobre los valores racionales de r.

Por ejemplo, si

x \approx 1.732

a continuación,

5^x \approx 5^{1.732} =5^{433/250}=\sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241 .

Exponenciación por un poder real se realiza normalmente mediante logaritmos en lugar de utilizar los límites de las competencias de racional.

La logaritmo natural ln (x) Es el inversa de la función exponencial ex. Se define por b > 0, Y satisface

b = e^{\ln b}.\,

Si bx se definirá a fin de preservar las normas logaritmo y el exponente, entonces uno debe tener

b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}.\,

Esto motiva a los definición

b^x = e^{x\cdot\ln b}\,

para cada número real x.

Esta definición de la potencia número real bx está de acuerdo con la definición anterior usando exponentes racionales y continuidad. La definición de exponenciación usando logaritmos es más común en el contexto de los números complejos, como veremos a continuación. Negativo nraíces º

Potencias de un número real positivo son siempre números reales positivos. La solución de x2= 4, sin embargo, puede ser 2 o −2. El principal valor de 41/2 es 2, −2, pero es también una raíz cuadrada válida. Si la definición de los exponentes de los números reales se amplía para permitir resultados negativos, el resultado ya no se comportan bien.

Si n es incluso, A continuación, xn = una tiene dos soluciones si una es positivo, que son los aspectos positivos y negativos nraíces º. La ecuación no tiene solución en números reales, si una es negativo.

Si n es impar, entonces xn = una tiene una solución real. La solución es positiva si una es positivo y negativo si una es negativo.

Racional de las competencias m/n, Donde m/n está en su mínima expresión, son positivos si m es incluso, negativos para el negativo una si m y n son impares, y puede ser firme si una es positivo y n es par. (−27)1/3 = −3, (−27)2/3= 9, y 43/2 tiene dos raíces 8 y −8. Dado que no existe un número real x de tal manera que x2= −1, La definición de unam/n cuando una es negativo y n es aún debe utilizar el unidad imaginaria i, Como se describe con más detalle en la sección de Potencias de números complejos.

Ni el método ni el método de logaritmo exponente racional puede ser utilizado para definir unar como un número real por un número real negativo una y un número real arbitrario r. En efecto, er es positivo para todo número real r, Por lo que ln (una) No se define como un número real de ≤ 0. (Por otra parte, arbitraria competencias complejas de los números negativos una puede ser definido por la elección de un complejo logaritmo de una.)

El método de exponente racional no se puede utilizar para los valores negativos de la una porque se basa en continuidad. La función f® = unar tiene una extensión única continua de los números racionales a los números reales para cada una > 0. Pero cuando una <0, la función f ni siquiera es continua en el conjunto de números racionales r para el que se define.

Por ejemplo, considere la posibilidad una = −1. La nª raíz de −1 es −1 por cada número natural impar n. Así que si n es un entero positivo impar, (−1)(m/n) = −1 Si m es impar, y (−1)(m/n) = 1 si m es par. Así, el conjunto de los números racionales q para los que −1q = 1 es densa en los números racionales, como es el conjunto de q para los que −1q = −1. Esto significa que la función de (−1)q no es continua en cualquier número racional q donde se define.

El cuidado necesita ser tomado para la aplicación de la ley de potencia con identidades negativas nraíces º. Por ejemplo, −27 = (−27)((2/3)×(3/2)) = ((−27)2/3)3/2 = 93/2= 27 es claramente errónea.

 El problema se produce al tomar la raíz cuadrada positiva en vez de la negativa en el último paso, pero en general el mismo tipo de problemas se producen como se describe para los números complejos en la sección de El incumplimiento de las identidades de potencia y el logaritmo.

poderes Complejo de números reales positivos

poderes e imaginaria de

Artículo principal: Función exponencial

La función exponencial ez puede ser definida como la límite de (1 + z/N)N, Como N tiende a infinito, y por lo tanto eiπ es el límite de (1 + iπ/N)N.

En esta animación N tiene varios valores creciente de 1 a 100.

El cálculo de (1 + iπ/N)N se muestra como el efecto combinado de N multiplicaciones repetidas en el plano complejo, Con el punto final es el valor real de (1 + iπ/N)N.

Se puede observar que a medida que N se hace más grande (1 + iπ/N)N se acerca a un límite de 1. Por lo tanto, eiπ = −1, que se conoce como la identidad de Euler.

La interpretación geométrica de las operaciones con números complejos y la definición de facultades de e es la clave para entender eix de verdad x.

Tenga en cuenta la triángulo rectángulo (0, 1, 1 + ix/n).

 Para valores grandes de n el triángulo es casi un sector circular con un pequeño ángulo central igual a x/n radianes. 

Los triángulos (0, (1 + ix/n)k, (1 + ix/n)k+1) son mutuamente similares para todos los valores de k.

Así que para valores grandes de n el punto límite de (1 + ix/n)n es el punto de la unidad de círculo cuyo ángulo desde el eje real positivo x radianes.

La coordenadas polares de este punto se (r, θ) = (1, x), y el coordenadas cartesianas son (cos x, El pecado x).

Así que e ix = Cos x + iel pecado x, y esto es la fórmula de Euler, Conectando álgebra a trigonometría por medio de números complejos.

Las soluciones de la ecuación ez = 1 son los múltiplos enteros de 2iπ:

\{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.

En términos más generales, si eb = una, Entonces todas las soluciones a ez = una se puede obtener mediante la adición de un múltiplo entero de 2πi a b:

\{ z : e^z = a \} = \{ b + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.

Así, la función exponencial compleja es una función periódica con período 2πi.

Más sencillamente: eiπ = −1; ex + iy = ex(Cos y + i el pecado y).

Funciones trigonométricas

Artículo principal: la fórmula de Euler

Se deduce de la fórmula de Euler que el funciones trigonométricas coseno y seno son

\cos(z) = \frac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2} \qquad \sin(z) = \frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}.\,

Históricamente, coseno y seno se definen geométricamente antes de la invención de los números complejos. La fórmula anterior reduce las fórmulas complicadas para funciones trigonométricas de la suma en la fórmula exponencial simple

e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,

Uso de exponenciación con exponentes complejos pueden reducir los problemas de trigonometría al álgebra. Complejo de poderes e

El poder ex+i·y se calcula ex · ei·y. El factor real ex es el valor absoluto de ex+i·y y el factor de complejidad ei·y identifica el dirección de ex+i·y. poderes Complejo de números reales positivos

Si una es un número real positivo, y z es cualquier número complejo, el poder unaz se define como ez° LN (una), Donde x = Ln (una) Es la única solución real a la ecuación ex = una. Así que el mismo método de trabajo para los exponentes real también funciona para los exponentes complejos. Por ejemplo:

2 i = e iEn comentarios (2) = Cos (ln (2)) +i· Sen (ln (2)) = 0,7692 +i·0.63896 e i = 0.54030+i·0.84147

10 i = −0.66820+i·0.74398

(e 2·π) i = 535.49 i = 1

Potencias de números complejos

poderes de enteros de los números complejos no nulos se define por la multiplicación o división repetida que el anterior. Si i es el unidad imaginaria y n es un número entero, entonces in es igual a 1, i, −1, O -i, En función de si el número entero n es congruente con 0, 1, 2 o 3 módulo 4. Debido a esto, los poderes de i son útiles para expresar secuencias de período de 4.

Complejo de poderes reales positivos se definen a través de ex como en la sección poderes Complejo de números reales positivos arriba. Estas son funciones continuas.

Tratando de ampliar estas funciones para el caso general de las competencias no enteros de los números complejos que no son reales positivos conduce a dificultades. O bien definir funciones o funciones multivalor. Ninguna de estas opciones es totalmente satisfactoria.

El poder racional de un número complejo debe ser la solución a una ecuación algebraica. Por lo tanto, siempre tiene un número finito de valores posibles. Por ejemplo, w = z1/2 debe ser una solución a la ecuación w2 = z. Pero si w es una solución, entonces también lo es -w, Ya que (−1)2 = 1. Una solución única, sino algo arbitrario llamado el valor del principal puede ser elegido mediante una regla general que se aplica también para las potencias racionales.

competencias complejas y los logaritmos son más natural manejado como una sola las funciones con valores en un Superficie de Riemann. Solo versiones valorados son definidos por la elección de una hoja. El valor tiene una discontinuidad a lo largo de un rama cortada. Elegir una de muchas soluciones como el valor principal que nos deja con las funciones que no son continuas, y las normas habituales para la manipulación de poderes puede llevarnos por mal camino.

Todo el poder irracional de un número complejo tiene un número infinito de valores posibles debido a la naturaleza multi-valioso de la logaritmo complejo (Véase el a continuación). El principal valor es un valor único elegido de estos por una norma que, entre sus otras propiedades, garantiza las competencias de los números complejos con una parte real positiva y parte imaginaria cero da el mismo valor que para los números reales correspondientes.

Exponenciación un número real a una potencia compleja es formalmente una operación diferente de la de los números complejos correspondientes. Sin embargo, en el caso común de un número real positivo el principal valor es el mismo.

Los poderes de los números reales negativos no siempre son definidos y son discontinuas, incluso cuando se define. Cuando se trabaja con números complejos de la operación número complejo se utiliza normalmente en su lugar. Complejo de energía de un número complejo

Para los números complejos una y b con una≠ 0, la notación unab es ambigua en el mismo sentido que registro una es.

Para obtener un valor de unab, En primer lugar elegir un logaritmo de una, Lo llaman de registro una. Esta elección puede ser la el valor del principal Registrarse una (El valor predeterminado, si no se da otra especificación), o tal vez un valor dado por algunos otros rama del registro z fijado por anticipado. Luego, utilizando la función exponencial compleja se define

unab = ebregistrouna

porque esto está de acuerdo con la anterior definición en el caso de que una es un número real positivo y el valor (real) principal de registro una se utiliza.

Si b es una entero, Entonces el valor de unab es independiente de la elección del registro una, Y está de acuerdo con la anterior definición de exponentation con un exponente entero.

Si b es una número racional n/m en términos más simples con m> 0, entonces las opciones infinitas de registro una el rendimiento sólo m valores diferentes para unabY estos valores son los m soluciones complejas z a la ecuación zm = unan.

Si b es una número irracional, Entonces las opciones infinitas de registro una dar lugar a un número infinito de valores distintos de unab.

El cálculo de las competencias complejas se facilita mediante la conversión de la base una a forma polar, Como se describe en detalle a continuación.

Una construcción similar se emplea en cuaterniones.

raíces complejas de la unidad

Artículo principal: Raíz de la unidad

Las tres raíces de un tercero

Un número complejo una de tal manera que unan = 1 para un entero positivo n es una nª raíz de la unidad. Geométricamente, el nraíces º de la unidad se encuentran en el círculo unitario del plano complejo en los vértices de un regular n-Gon, con un vértice en el número real 1.

Si zn = 1, pero zk ≠ 1 para todos los números naturales k tal que 0 < k < n, A continuación, z se llama primitiva nª raíz de la unidad. La unidad negativo −1 es la única raíz primitiva plaza de la unidad. La unidad imaginaria i es una de las dos raíces primitivas de 4 º de la unidad, el otro es -i.

El número e2πi (1/n) es la primitiva nª raíz de la unidad con la menor positiva argumento complejo. (A veces se llama el principales nª raíz de la unidad, Aunque esta terminología no es universal y no debe confundirse con la el valor del principal de n√1, Que es 1.[1])

Los otros nraíces º de la unidad están dadas por

\left( e^{2\pi i (1/n)} \right) ^k = e^{2\pi i k/n}

para 2 ≤ k ≤ n.

Las raíces de números complejos arbitrarios

Aunque hay un número infinito de valores posibles para un logaritmo complejo en general, sólo hay un número finito de valores para el poder unaz en el caso especial importante cuando z = 1/n y n es un entero positivo. Estos son los nraíces º de una, Son soluciones de la ecuación xn = una. Al igual que con raíces reales, una segunda raíz también se le llama raíz cuadrada y una tercera raíz también se le llama raíz cúbica.

Es convencional de las matemáticas para definir una1/n como el valor principal de la raíz. Si una es un número real positivo, es también convencional para seleccionar un número real positivo como el valor principal de la raíz una1/n. Para los números complejos en general, la nª raíz con el menor argumento suele ser seleccionado como el principal valor de la noperación de la raíz de sesiones, como con los principales valores de las raíces de la unidad.

El conjunto de nraíces ª de un número complejo una se obtiene multiplicando el valor principal una1 / n por cada uno de los nraíces º de la unidad. Por ejemplo, la raíz cuarta de 16 son 2, −2, 2i, Y −2i, Porque el valor principal de la raíz cuarta de 16 es 2 y las raíces de la cuarta parte de la unidad son 1, −1, i, Y -i.

Informáticos complejos poderes

A menudo es más fácil de calcular las competencias complejas por escrito el número que se exponentes en forma polar. Cada número complejo z se puede escribir en forma polar

z = re^{i\theta} = e^{\ln® + i\theta} \,,

donde r es un número real no negativo y θ es la (real) argumento de z. La forma polar tiene una interpretación geométrica simple: si un número complejo u + iv se piensa que representan a un punto (u, v) En el plano complejo utilizando Coordenadas cartesianas, Entonces (r, Θ) es el mismo punto en coordenadas polares. Es decir, r es el “radio” r2 = u2 + v2 y θ es el ángulo “θ = atan2(v, u). El ángulo polar θ es ambigua ya que cualquier múltiplo de 2π se podría agregar a θ sin cambiar la ubicación del punto. Cada elección de θ da en general un valor diferente posible del poder. Un rama cortada se puede utilizar para elegir un valor específico. El valor del principal (el corte de la rama más común), corresponde a θ elegido en el intervalo (-π, π]. Para los números complejos con una parte real positiva y parte imaginaria cero con el valor principal da el mismo resultado que con el correspondiente real número.

Con el fin de calcular la potencia compleja unab, Escriba una en forma polar:

a = r e^{i\theta} \,.

A continuación,

\log a = \log r + i \theta \,,

y por lo tanto

a^b = e^{b \log a} = e^{b(\log r + i\theta)}. \,

Si b se descompone como c + di, Entonces la fórmula para unab se puede escribir de manera más explícita como

\left( r^c e^{-d\theta} \right) e^{i (d \log r + c\theta)} = \left( r^c e^{-d\theta} \right) \left[ \cos(d \log r + c\theta) + i \sin(d \log r + c\theta) \right].

Esta fórmula permite a los poderes final complejo para ser calculada fácilmente a partir de descomposiciones de la base en forma polar y el exponente en forma cartesiana. Aquí se muestra tanto en forma polar y en forma cartesiana (a través de la identidad de Euler).

Los ejemplos siguientes utilizan el valor principal, el corte de ramas que hace que θ estar en el intervalo (-π, π]. Para calcular ii, Escriba i en las formas polares y cartesianas:

i = 1 \cdot e^{i \pi/2},\,

i = 0 + 1i.\,

A continuación, la fórmula anterior, con r = 1, θ = π / 2, c = 0, y d = 1, da como resultado:

\ i^i = \left( 1^0 e^{-\pi/2} \right) e^{i(1\cdot \log 1 + 0 \cdot \pi/2)} = e^{-\pi/2} \approx 0.2079.

Del mismo modo, para encontrar (−2)3 + 4i, Calcular la forma polar de −2,

-2 = 2e^{i \pi} \, ,

y el uso de la fórmula anterior para calcular

(−2)^{3+4i} = \left( 2^3 e^{−4\pi} \right) e^{i(4\log(2) + 3\pi)} \approx (2.602 - 1.006 i) \cdot 10^{−5}.

El valor de una potencia compleja depende de la rama utilizado. Por ejemplo, si la forma polar i = 1ei(5π / 2) se utiliza para calcular i i, El poder se encuentra para ser e-5π / 2, El valor principal de i i, Calculado anteriormente, es e-Π / 2. El conjunto de todos los valores posibles para i i viene dada por:[2]

i = 1 \cdot e^{i \pi/2 + i 2 \pi k}, \ \text{where } k \text{ is an integer},\,

i^i = e^{i \left(i \pi/2 + i 2 \pi k\right)} ,

= e^{-\left(\pi/2 + 2 \pi k\right)} .

Así que hay una infinidad de valores que son posibles candidatos para el valor de ii, Uno para cada entero k. Todos ellos tienen una parte imaginaria a cero por lo que uno puede decir ii tiene una infinidad de valores válidos real. El incumplimiento de las identidades de potencia y el logaritmo

Algunas identidades de los poderes y los logaritmos de los números reales positivos se producirá un error de números complejos, no importa cómo los poderes complejos y logaritmos complejos se definen. Por ejemplo:

El registro de identidad (unab) = b · Iniciar sesión una tiene cada vez una es un número real positivo y b es un número real. Pero para el rama principal del logaritmo de un complejo cuenta con

i\pi = \log(−1) = \log((-i)^2) \,\neq\, 2\log(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi.

Independientemente de la rama del logaritmo se usa, un fallo similar de la identidad que existe. Lo mejor que se puede decir (aunque sólo sea con este resultado) es que:

\log(a^b) \equiv b \cdot \log(a) \pmod{2 \pi i} .

Esta identidad no se mantiene incluso cuando se consideran de registro en función de varios valores. Los valores posibles de log (unab) Contienen los b · Iniciar sesión una como un subconjunto. Uso de registros (una) Para el valor principal de log (una) Y m, n como cualquier enteros los posibles valores de las dos partes son:

\left\{\log(a^b)\right\} = \left\{ b \cdot \operatorname{Log}(a) + b \cdot 2 \pi i n + 2 \pi i m \right\} ,

\left\{b \cdot \log(a)\right\} = \left\{ b \cdot \operatorname{Log}(a) + b \cdot 2 \pi i n \right\} .

Las identidades (ab)c = unacbc y (una/b)c = unac/bc son válidos cuando se una y b son números reales positivos y c es un número real. Pero un cálculo utilizando ramas principales muestra que

1 = (−1\times −1)^{1/2} \not = (−1)^{1/2}(−1)^{1/2} = −1,

y

i = (−1)^{1/2} = \left (\frac{1}{−1}\right )^{1/2} \not = \frac{1^{1/2}}{(−1)^{1/2}} = \frac{1}ī = -i.

Por otro lado, cuando c es un número entero, las identidades son válidas para todos los números complejos no nulos.

Si exponenciación se considera como una función de varios valores a continuación, los posibles valores de (−1 × −1)1/2 son {1, −1}. La identidad tiene, pero diciendo {1} = {(−1 × −1)1/2} Está mal.

La identidad (euna)b = Eab es válido para números reales una y b, Pero asumiendo la verdad de los números complejos lleva a la siguiente paradoja, descubierta en 1827 por Clausen:[3]

Para cualquier número entero n, Tenemos:

e^{1 + 2 \pi i n} = e^{1} e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e \,;

\left( e^{1+2\pi i n} \right)^{1 + 2 \pi i n} = e \,;

e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^{2} n^{2}} = e \,;

e^1 e^{4 \pi i n} e^{−4 \pi^2 n^2} = e \,;

e^{−4 \pi^2 n^2} = 1 \,.

Pero esto es falso cuando el número entero n es distinto de cero.

Hay una serie de problemas en el razonamiento:

El error principal es que cambiar el orden de exponenciación al pasar de la línea dos a tres cambios en lo que el principal valor elegido será.

Desde el multi-punto valioso de ver el primer error se produce incluso antes, está implícito en la primera línea y no es evidente. Es que e es un número real que el resultado de e1 +2 πen es un número complejo mejor representados como e+0i. Sustituyendo el número complejo de lo real en la segunda línea hace que el poder tiene varios valores posibles. Cambiar el orden de los exponentes de las líneas de dos-tres también afecta la cantidad de valores posibles, el resultado puede tener.

Cero a la potencia cero Parcela de z = abs (x)y con las curvas de rendimiento de color rojo límites diferentes como (x, y) se aproxima (0,0). El verde curvas de rendimiento de todos un límite de 1.

La mayoría de autores están de acuerdo con las declaraciones relacionadas a 00 en las dos listas a continuación, pero que diferentes decisiones cuando se trata de la definición de 00 o no: véase la siguiente subsección.

En la mayoría de los ajustes no implican continuidad en el exponente, la interpretación de 00 como un simplifica las fórmulas y elimina la necesidad de casos especiales en los teoremas. (Véase el párrafo siguiente para algunos ajustes que hacer implican la continuidad), por ejemplo.:

En cuanto a una0 como una producto vacío asigna el valor 1, incluso cuando una=0.

La interpretación combinatoria de 00 es el número de vacíos tuplas de los elementos del conjunto vacío. No es exactamente una tupla vacía.

De manera equivalente, el interpretación de la teoría de conjuntos de 00 es el número de funciones desde el conjunto vacío al conjunto vacío.

No es exactamente una de esas funciones, el función vacía.[4] La notación \textstyle \sum a_nx^n de polinomios y series de potencias se basan en la definición de 00 = 1. Identidades como \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n y e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} y el teorema del binomio (1+x)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k no son válidos para x = 0 a menos que 00 = 1.[5] En cálculo diferencial, La competencia normativa \textstyle\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} no es válido para n = 1 en x = 0 a menos que 00 = 1.

Por otro lado, cuando 00 surge de una límite de la forma \lim_(x,y)\rarr(0,0) x^y, Debe ser manejado como un forma indeterminada.

Límites que implican operaciones algebraicas a menudo puede ser evaluado mediante la sustitución de subexpresiones por sus límites, y si la expresión resultante no determina el límite original, la expresión se conoce como una forma indeterminada.[6] De hecho, cuando f(t) Y g(t) Son funciones reales tanto acercarse a 0 (como t se acerca a un número real o ∞ ±), con f(t)> 0, la función f(t)g(t) no es necesario un enfoque, en función de f y g, El límite de f(t)g(t) puede ser cualquier número real no negativo o + ∞, o puede ser indefinido. Por ejemplo, las funciones siguientes son de la forma f(t)g(t) con f(t),g(t) → 0 cuando t → 0+, Pero los límites son diferentes:

\lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{−1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{−1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{−1/t})^{at} = e^{-a}.

Por lo que 00 es una forma indeterminada. Este comportamiento demuestra que la función de dos variables xy, Aunque continua en el conjunto {(x,y): x > 0}, no puede extenderse a una función continua en cualquier conjunto que contenga (0,0), no importa cuán 00 se define.[7] Sin embargo, en determinadas condiciones, como cuando f y g son a la vez funciones analíticas y f es negativo, el límite se acerca por la derecha es siempre 1.[8][9][10]

En el dominio complejo, La función zw se define para cero z por la elección de un rama de registro z y el establecimiento de zw := ewregistro z, Pero no hay ninguna rama del registro z definido en z = 0, y mucho menos en un entorno de 0.[11]

Historia de los diferentes puntos de vista

Diferentes autores interpretan la situación descrita de diferentes maneras:

Algunos argumentan que el mejor valor de 00 depende del contexto, y por lo tanto que la definición de de una vez por todas es problemático.[12] Según Benson (1999), “La elección ya sea para definir 00 se basa en la conveniencia, no en la corrección. “[13] Otros argumentan que 00 1. De acuerdo a la p. 408 de Knuth (1992), “ha a 1 “, a pesar de que continúa diciendo que” de Cauchy tenía buenas razones para considerar 00 como indefinido limitación de forma”Y que” en este sentido mucho más fuerte, el valor de 00 está menos definida que, por ejemplo, el valor de 0 0 “(sin cursivas en el original).[14]

El debate ha estado ocurriendo por lo menos desde principios del siglo 19. En ese momento, la mayoría de los matemáticos de acuerdo en que 00 = 1, hasta que en 1821 Cauchy[15] enumerados 00 junto con expresiones como 0⁄0 en una tabla de forma indefinida. En la década de 1830, Libri[16][17] publicó un argumento convincente para 00 = 1, y Möbius[18] cara con él, alegando que por error \lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1 cada vez que \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0. Un comentarista que firmó con su nombre simplemente como “S” siempre que el contraejemplo de (e−1/t)t, Y esto calmó el debate durante algún tiempo, con la conclusión evidente de este episodio es que 00 debe ser indefinido. Más detalles se pueden encontrar en Knuth (1992).[14] El tratamiento en los equipos Estándar IEEE de punto flotante

La IEEE 754–2008 estándar de punto flotante se utiliza en el diseño de la mayoría de las bibliotecas de punto flotante. Se recomienda una serie de funciones diferentes para el cálculo de una potencia:[19]

prisionero de guerra trata a 00 como 1. Esta es la versión más antigua definido. Si el poder es un número entero exacto el resultado es el mismo que para pown, De lo contrario el resultado es el de powr (A excepción de algunos casos excepcionales). pown trata a 00 como 1. El poder debe ser un entero exacto. El valor se define por bases imponibles negativas, por ejemplo, pown (−3,5) es −243. powr trata a 00 como NaN (No-a-Number - no definido). El valor es NaN también para casos como powr (−3,2) donde la base es menor que cero. El valor se define por eel poder× log (base).

Lenguajes de programación

La mayoría de lenguaje de programación con una función de potencia se implementan utilizando la función pow IEEE y por lo tanto evaluar 00 como 1. El C después[20] y C + + las normas que ésta es la normativa comportamiento. La Java estándar[21] mandatos de este comportamiento. La . NET Framework método System.Math.Pow También trata a 00 como 1.[22] Matemáticas de software

Sabio simplifica una0 a 1, incluso si no hay restricciones se colocan en una.[23] No simplificar 0una, Y se tarda 00 que es 1. Arce simplifica una0 a 1 y 0una a 0, incluso si no hay restricciones se colocan en una (La simplificación de este último sólo es válido para una > 0), y evalúa 00 a 1.[cita requerida] Macsyma También simplifica una0 a 1 y 0una a 0, incluso si no hay restricciones se colocan en una, Pero los problemas de un error de 00.[cita requerida] Mathematica y Wolfram Alpha simplificar una0 en 1

Incluso si no se colocan restricciones en una. Mientras que Mathematica no simplifica 0una, Wolfram Alpha devuelve dos resultados, 0 e indeterminado, por 0una

Ambos Mathematica y Wolfram Alpha tomar 00

ser un forma indeterminada.[24]

Límites de las competencias

La sección cero a la potencia cero da una serie de ejemplos de los límites que son de la forma indeterminada 00. Los límites de estos ejemplos existen, pero tienen valores diferentes, que muestran que la función de dos variables xy no tiene límite en el punto (0,0). Uno puede preguntarse en qué puntos esta función tiene un límite.

Más precisamente, considere la función f(x,y) = xy definido en D = {(x,y) ∈ R2 : x> 0}. A continuación, D puede ser visto como un subconjunto de R2 (Es decir, el conjunto de todos los pares (x,y) Con x,y pertenecientes a la extendió la línea número real R= [- ∞, + ∞], dotado de la producto de la topología), Que contendrá los puntos en los que la función f tiene un límite.

De hecho, f tiene un límite en todos los puntos de acumulación de D, A excepción de (0,0), (+ ∞, 0), (1, + ∞) y (1, - ∞).[25] En consecuencia, esta permite definir las competencias xy por la continuidad siempre que 0 ≤ x≤ + ∞, - ≤ ∞ y ≤ + ∞, a excepción de 00, (+∞)0, 1+∞ y 1−∞, Que siguen siendo formas indeterminadas.

Bajo esta definición por la continuidad, se obtiene:

una+∞ = + ∞ y una−∞ = 0, cuando 1 < una ≤ +&#8734

una+∞ = 0 y una−∞ = + ∞, cuando 0 ≤ una < 1.

0b = 0 y (+ ∞)b = + ∞, cuando 0 < b ≤ +∞.

0b = + ∞ y (+ ∞)b = 0, cuando - ∞ ≤ b < 0.

Estos poderes se obtienen mediante la adopción de límites de xy de positiva los valores de x. Este método no permite una definición de xy cuando x<0, ya que los pares (x,y) Con x<0 no son puntos de acumulación de D.

Por otro lado, cuando n es un número entero, el poder xn ya es significativo para todos los valores de x, Incluyendo los negativos. Esto puede hacer que la definición 0n= + ∞ obtenidos anteriormente para el negativo n problemática cuando n Es extraño, ya que en este caso tn→ + ∞ como t tiende a 0 a través de valores positivos, pero no los negativos. Eficientemente la informática una potencia entera

El método más simple de la informática unan requiere n-1 Operaciones de multiplicación, pero se puede calcular de manera más eficiente, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Para calcular dos100, Tenga en cuenta que 100 = 64 + 32 + 4. Calcule lo siguiente en orden:

22 = 4

(22)2 = 24 = 16

(24)2 = 28 = 256

(28)2 = 216 = 65,536

(216)2 = 232 = 4,294,967,296

(232)2 = 264 = 18,446,744,073,709,551,616

264 232 24 = 2100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

Esta serie de pasos sólo requiere 8 operaciones de multiplicación en lugar de 99 (desde la fabricación del último punto anterior tienen dos multiplicaciones).

En general, el número de operaciones de multiplicación necesaria para calcular unan se puede reducir a Θ(Log n) Mediante el uso de exponenciación elevando al cuadrado o (en general) Además de la cadena de exponenciación. Encontrar el mínima secuencia de multiplicaciones (la cadena adicional mínimo de longitud para el exponente) para unan es un problema difícil para los que no algoritmos eficientes son actualmente conocidos (véase Subconjunto problema de la suma), Pero muchos algoritmos heurísticos son razonablemente eficientes disponibles.[26] Notación exponencial para los nombres de función

Colocación de un exponente entero después del nombre o símbolo de una función, como si la función se está elevado a una potencia, comúnmente se refiere a las reiteradas función de la composición en lugar de repetir la multiplicación. Por lo tanto f3(x) Puede significar f(f(f(x))), En particular, f −1(x) Por lo general denota el función inversa de f. Funciones iteradas son de interés en el estudio de fractales y sistemas dinámicos. Babbage fue el primero en estudiar el problema de encontrar un raíz cuadrada funcionales f1/2(x).

Sin embargo, por razones históricas, una sintaxis especial que se aplica a la funciones trigonométricas: Un exponente positivo aplicado a la abreviatura de la función significa que el resultado se eleva a ese poder, mientras que un exponente de −1 denota la función inversa. Es decir, el pecado2x es sólo una forma abreviada de escribir (el pecado x)2 sin el uso de paréntesis, mientras que el pecado−1x se refiere a la función inversa de la seno, También llamado arcsen x. No hay necesidad de una forma rápida para los inversos de las funciones trigonométricas ya que cada uno tiene su propio nombre y abreviatura, por ejemplo, 1/sin x = (Sen x)−1 es csc x. Un convenio similar se aplica a los logaritmos, donde log2x por lo general significa (log x)2, No registro registro x.

Generalizaciones

En álgebra abstracta

Exponenciación para exponentes enteros se puede definir para las estructuras bastante general en álgebra abstracta.

Vamos a X ser un conjunto con un poder asociativo operación binaria que está escrito multiplicativamente. A continuación, xn se define para cualquier elemento x de X y cualquier otro distinto de cero número natural n como el producto de n copias de x, Que se define recursivamente por

x^1=x\,

x^n=x^{n-1}x \quad\hbox{for }n>1

Uno tiene las siguientes propiedades

\ (x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k) (Propiedad de poder asociativo),

\ x^{m+n}=x^m x^n

\ (x^m)^n=x^{mn}

Si la operación tiene una doble cara elemento de identidad 1 (a menudo se denota por e), A continuación, x0 se define como igual a 1 para cualquier x.

\ x1 = 1x = x, Dos caras de identidad

\ x^0=1

Si la operación también tiene dos caras inversos, Y la multiplicación es asociativa entonces el magma es una grupo. La inversa de x puede ser denotado por x−1 y sigue todas las normas habituales para los exponentes.

\ x x^{−1} = x^{−1} x = 1, Dos caras inversa

\ (x y) z = x (y z), De asociación

\ x^{-n}=\left(x^{−1}\right)^n

\ x^{m-n}=x^m \cdot x^{-n}

Si la operación de multiplicación es conmutativa (Como por ejemplo en grupos abelianos), Entonces es válido lo siguiente:

\ (xy)^n = x^n y^n

Si la operación binaria se escribe de forma aditiva, ya que a menudo es para grupos abelianos, “La multiplicación exponencial se repite”, entonces puede ser reinterpretada como “multiplicación se repite Además”. Por lo tanto, cada una de las leyes de la exponenciación anterior tiene un analógica entre las leyes de la multiplicación.

Cuando uno tiene varias operaciones en torno a cualquiera de ellas podría ser repetido utilizando exponenciación, es común para indicar qué operación se repite al colocar su símbolo en el exponente. Por lo tanto, x*n es x * ··· * x, Mientras que x#n es x # ··· # x, Cualquiera que sea el * # operaciones y podría ser.

notación Superíndice también se utiliza, sobre todo en teoría de grupos, Para indicar conjugación. Es decir, gh = h−1gh, Donde g y h son elementos de algunos grupo. Aunque la conjugación obedece a algunas de las mismas leyes que exponenciación, no es un ejemplo de multiplicación repetida en ningún sentido. Un quandle es una estructura algebraica en que las leyes de la conjugación desempeñar un papel central. Más juegos Artículo principal: producto cartesiano

Si n es un número natural y Un es un conjunto arbitrario, la expresión Unn se utiliza a menudo para designar el conjunto de orden n-Tuplas de elementos de Un. Esto equivale a dejar Unn denota el conjunto de funciones del conjunto {0, 1, 2, …, n-1} Al conjunto Un, La n-Tupla (una0, una1, una2, …, Unn−1) Representa la función que envía i a unai.

Para una infinita número cardinal κ y establecer un Un, La notación Unκ También se usa para denotar el conjunto de todas las funciones de un conjunto de κ tamaño Un. Esto a veces se escribe κUn para distinguirla de la exponenciación cardinal, se define a continuación.

Este exponencial generalizada también se puede definir para las operaciones sobre conjuntos o series con extra estructura. Por ejemplo, en álgebra lineal, Tiene sentido al índice las sumas directas de espacios vectoriales sobre los conjuntos de índice arbitrario. Es decir, podemos hablar de

donde cada Vi es un espacio vectorial. Entonces, si Vi = V para cada uno i, La suma resultante directa se puede escribir en notación exponencial como V(+)N, O simplemente VN en el entendimiento de que la suma directa es la opción predeterminada. Una vez más, puede reemplazar el conjunto N con un número cardinal n para obtener Vn, Aunque sin elegir un conjunto estándar específica con cardinalidad n, Esto sólo se define hasta isomorfismo. Tomando V a ser el campo R de números reales (Pensado como un espacio vectorial sobre sí mismo) y n que algunos número natural, Tenemos el espacio vectorial que es el más estudiado en el álgebra lineal, el El espacio euclidiano Rn.

Si la base de la operación de exponenciación es un conjunto, la operación de exponenciación es el producto cartesiano a menos que se indique lo contrario. Desde múltiples productos cartesianos producir un n-tupla, Que puede ser representada por una función en un conjunto de cardinalidad su caso, SN se convierte simplemente en el conjunto de todos funciones de N a S en este caso:

Esto concuerda con la exponenciación de los números cardinales, en el sentido de que |SN| = |S||N|, Donde |X| Es la cardinalidad de X. Cuando N= 2 = {0,1}, tenemos | 2X| = 2|X|, Donde 2X, Por lo general denota por PX, Es el conjunto potencia de X, Cada uno subconjunto Y de X corresponde únicamente a una función en X tomando el valor 1 para x ∈ Y y 0 para x ∉ Y. En la teoría de categorías Artículo principal: Cartesiano cerrada categoría

En una Cartesiano cerrada categoría, La exponencial la operación se puede utilizar para levantar un objeto arbitrario del poder de otro objeto. Esto generaliza el producto cartesiano en la categoría de conjuntos. Si 0 es una objeto inicial en una categoría cartesiana cerrada, entonces el objeto exponencial 00 es isomorfo a cualquier objeto terminal 1. De los números cardinales y ordinales Artículos principales: aritmética cardinales y aritmética ordinal

En la teoría de conjuntos, Hay operaciones exponencial para cardenal y números ordinales.

Si κ y λ son los números cardinales, la expresión κλ representa la cardinalidad del conjunto de funciones de cualquier conjunto de cardinalidad λ a cualquier conjunto de cardinalidad κ.[4] Si κ y λ son finitos, entonces esto está de acuerdo con la operación aritmética exponencial ordinaria. Por ejemplo, el conjunto de 3-tuplas de elementos de un conjunto de 2 elementos tiene cardinalidad 8 = 23.

Potenciación de los números cardinales se diferencia de la exponenciación de números ordinales, que se define por un límite proceso que implica inducción transfinita. Repetida exponenciación

Así como la exponenciación de números naturales es motivado por la multiplicación repetida, es posible definir una operación sobre la base de exponenciación repite; esta operación se llama a veces tetration. tetration Iteración lleva a la otra operación, y así sucesivamente. Esta secuencia de operaciones se expresa por la Ackermann función y la notación de Knuth flecha hacia arriba. Así como exponenciación crece más rápido que la multiplicación, que es de crecimiento más rápido de la adición, tetration es de crecimiento más rápido de exponenciación. Evaluado en (3,3), la adición funciones, multiplicación, exponenciación, el rendimiento tetration 6, 9, 27 y 7.625.597.484.987 respectivamente. En lenguajes de programación

La notación de superíndice xy es conveniente en la escritura, pero inconveniente para máquinas de escribir y terminales de ordenador que se alinean las líneas de base de todos los caracteres en cada línea. Muchos lenguajes de programación tienen formas alternativas de expresar exponenciación que no usan superíndices:

↑ x y: Algol, Commodore BÁSICO

x ^ y: BÁSICO, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX (Y sus derivados), TI-BASIC, bc (Para exponentes enteros), Haskell (Para exponentes enteros no negativos), Lua, ASP y la mayoría sistemas de álgebra computacional x ^ ^ y: Haskell (para la base de fracciones, exponentes enteros), D

x ** y: Ada, Bash, COBOL, Fortran, Fox Pro?, Gnuplot, O Caml?, Perl, PL / I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Tcl, ABAP, Haskell (por exponentes de punto flotante), Turing, VHDL

x ⋆ y: APL

De energía (x, y): Microsoft Excel, Delphi / Pascal (declarada en “Matemáticas”-unidad)

pow (x, y): C, C + +, PHP, Tcl

Math.pow (x, y) o x **: Python

Math.pow (x, y): Java, Java Script?, Modula-3, Ml estándar

Math.Pow (x, y) o Big Integer?.Pow (x, y): C # (Y otros idiomas con el BCL)

(Expt x): Common Lisp, Esquema

matemáticas: pow (x, y): Erlang

En Bash, C, C + +, C #, Java, Java Script, Perl, PHP, Python y Ruby, el símbolo ^ representa bit a bit XOR. En Pascal, que representa indirecto. En O Caml y ML estándar, que representa cadena concatenación.

Historia de la notación

El término el poder fue utilizado por los Griega matemático Euclides para el cuadrado de una línea.[27] En el siglo noveno, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi utilizar los términos mal para un cuadrados y kab para un cubo, Que más tarde Islámica matemáticos representados en notación matemática como m y k, Respectivamente, por el siglo 15, como se ve en el trabajo de Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasādī.[28]

Nicolas Chuquet utiliza una forma de notación exponencial en el siglo 15, que fue utilizado más tarde por Henricus grammateus y Michael Stifel en el siglo 16. Samuel Jeake introdujo el término índices en el 1696.[27] En el siglo 16 Robert Recorde utiliza los términos cuadrados, cubos, zenzizenzic (cuarta potencia), surfolide (quinto), zenzicube (sexto), surfolide segundo (séptimo) y Zenzizenzizenzic (Octava). Bicuadrados se ha utilizado para referirse a la cuarta potencia también.

Algunos matemáticos (por ejemplo, Isaac Newton) Exponentes utilizarse únicamente para potencias superiores a dos, y prefieren representar a plazas como multiplicación repetida. Así que iba a escribir polinomios, por ejemplo, como hacha + BXX + cx3 + d.

Otro sinónimo histórico, involución,[29] es poco frecuente y no debe confundirse con su significado más común.

Exponentiation. (2011, May 1). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 00:57, May 22, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Exponentiation&oldid=426858046

Calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo:

2^4 = 2*2*2*2 = 16

Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:

x1 = x

Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido (ver en Cero). Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.

Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.

Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente,esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la bases, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente.

Producto de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma base y se suman los exponentes.

(a^m) * (a^n) = a^(m+n)

Potenciación. (2008, 16) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 00:40, octubre 20, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Potenciaci%C3%B3n&oldid=21021920.


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