Coeficientes Fraccionarios

Coeficientes Fraccionarios

Fracción (matemáticas)

Un pastel con un cuarto retirado. Las tres cuartas partes restantes se muestran.

Fracciones (de América : fractus , “roto”) son los números expresados ​​como el cociente de dos números, y se utilizan principalmente para expresar una comparación entre las partes y un todo.

Las primeras fracciones fueron recíprocos de los números enteros : los antiguos símbolos que representan una parte de dos, una parte de tres, una parte de cuatro, y así sucesivamente. [1] Un desarrollo mucho más tarde fueron los comunes o “vulgares” fracciones que todavía se utilizan hoy en día (½, ⅝, ¾, etc) y que se componen de un numerador y un denominador, el numerador representa un número de partes iguales y el denominador decir cuántas de esas partes forman un todo. Un ejemplo es 3 / 4, en los que el numerador, 3, nos dice que la fracción representa el 3 partes iguales, y el denominador, 4, nos dice que 4 partes forman un todo.

Un desarrollo posterior fue aún la fracción decimal, que ahora se llama simplemente un decimal , en los que el denominador es una potencia de diez , determinado por el número de dígitos a la derecha de un separador decimal , la aparición de las cuales (por ejemplo, un punto, un período de elevada (•), una coma) depende de la configuración regional (por ejemplo, ver separador decimal ). Así, por 0,75 el numerador es 75 y el denominador es de 10 a la segunda potencia, a saber. 100, porque hay dos dígitos a la derecha del separador decimal.

Un tercer tipo de fracción en uso común es el porcentaje , en los que el denominador es siempre el 100. Así, el 75% significa 75 centésimas.

Otros usos de las fracciones son para representar relaciones , y para representar la división . Así, la fracción 3.4 también se utiliza para representar la relación de 3:04 (de tres a cuatro) y la división 3 ÷ 4 (tres dividido por cuatro).

En matemáticas, el conjunto de todos los números que puede ser expresado como una fracción m / n, donde myn son enteros y n es cero, no se conoce el conjunto de números racionales . Este conjunto está representado por el símbolo Q.

Terminología

Históricamente, cualquier número que no representan en su conjunto se denomina “fracción”. Los números que ahora llamamos “decimales” se llamaba originalmente “fracciones decimales”, los números que ahora conocemos como “fracciones” fueron llamados “fracciones vulgares”, la palabra “vulgar”, que significa “lugar común”.

La palabra también se utiliza en expresiones relacionadas, tales como fracción continua y fracción algebraica , véase los casos especiales de abajo. Escribir fracciones

Una fracción común o vulgar suele escribirse como un par de números, el número de arriba llamado el numerador y el número de abajo llama el denominador. Una línea por lo general separa el numerador y el denominador. Si la línea está inclinada se llama solidificación o barra inclinada , por ejemplo 3 / 4. Si la línea es horizontal, se llama un vinculum o, informalmente, una “barra de fracción”, así: \ Tfrac {3} {4} .

La solidificación se podrán omitir en el estilo de inclinación (por ejemplo, 3 4) donde el espacio es corto y el significado es evidente por el contexto, por ejemplo, en las señales de tráfico en algunos países. [ cita requerida ]

En las pantallas de ordenador y la tipografía , las fracciones simples a veces se imprime como un solo carácter, por ejemplo, medio ( la mitad ).

publicación de la Ciencia distingue cuatro formas de establecer fracciones, junto con directrices sobre el uso de: [2]

fracciones caso: \ Tfrac {1} {2} - En general se utiliza sólo para las fracciones simples

fracciones especiales: ½ - éstos no se utilizan generalmente en la publicación científica formal, sino que se utilizan en otros contextos

chelín fracciones: 1 / 2 - llamado así porque esta notación decimal se utilizó para pre-moneda británica ( £ sd ), al igual que en 6.2 para una media corona , es decir, dos chelines y seis peniques. Esta configuración es particularmente recomendado para las fracciones en línea (en lugar de muestra), para evitar líneas irregulares, y para las fracciones en fracciones ( fracciones complejas ) o dentro de los exponentes para mejorar la legibilidad. -Hasta fracciones de construcción: \ Frac {1} {2} - Mientras que las grandes y legibles, estos pueden ser perjudiciales, en particular para las fracciones simples, o en fracciones complejas.

Uso

Las fracciones se utilizan con más frecuencia cuando el denominador es relativamente pequeño. [ cita requerida ] Es más fácil de multiplicar 32 por 3.16 que hacer el mismo cálculo con el equivalente decimal de la fracción (0,1875) [ cita requerida ]. También es más preciso para multiplicar por 15 ⅓, por ejemplo, de lo que es multiplicar 15 por una aproximación decimal de una tercera parte.

Para cambiar una fracción común a un decimal, se divide el numerador entre el denominador, y rematar con la exactitud deseada. Por el contrario, una fracción decimal se puede convertir a una fracción común: si se trata de un número finito de dígitos, es muy fácil, por ejemplo, 0,1875 se puede expresar como \ Tfrac {1875} {10000} (Y más tarde simplificada, si se desea). Formas de fracciones Vulgar, propio, y fracciones impropias

Una fracción vulgar (o fracción común o fracción simple) es un número racional escrito como un número entero (el numerador) dividido por un entero distinto de cero (el denominador), como \ Tfrac {1} {6} .

Una fracción vulgar se dice que es una fracción propia si el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del denominador, es decir, si el valor absoluto de toda la fracción es menor que 1, fracción dicho es un vulgar que se una fracción impropia (EE.UU., Gran Bretaña o Australia) o pesado fracción superior (británico, de vez en América del Norte) si el valor absoluto del numerador es mayor o igual al valor absoluto del denominador (por ejemplo, \ Tfrac {9} {4} ). [3] Los números mixtos

Un número mixto es la suma de un número entero y una fracción propia. Esta suma es entender, sin el uso de cualquier operador visibles, como “+”, por ejemplo, al referirse a dos tortas de todo y tres cuartas partes de otro pastel, la parte entera y fraccionaria del número se escriben junto a la otra: 2 + \ tfrac {3} {4} = 2 \ tfrac {3} {4} .

Esto no debe confundirse con la idea de álgebra de lo que implica la multiplicación por escrito dos cantidades junto a la otra sin un operador de multiplicación visibles: un tfrac \ {b} {c} = \ tfrac {a \ cdot b} {c} . Este “cambio de sentido” de la yuxtaposición de dos elementos es por lo menos una razón parcial por los temas de matemáticas más allá del nivel de la aritmética, fracciones impropias son las preferidas.

Una fracción impropia puede ser considerado como otra forma de escribir un número mixto. Un número mixto se puede convertir en una fracción impropia en tres pasos:

Multiplicar la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria.

Añadir el numerador de la fracción de ese producto.

La cantidad resultante es el numerador de la nueva (incorrecta) de fracción, con el “nuevo” denominador restantes precisamente los mismos que para la pieza original fraccionaria del número mixto.

Del mismo modo, una fracción impropia se puede convertir en un número mixto:

Divide el numerador entre el denominador.

El cociente (sin resto) se convierte en la parte entera y el resto se convierte en el numerador de la parte fraccionaria.

El nuevo denominador es el mismo que el de la fracción impropia original.

Fracciones equivalentes

Multiplicando el numerador y el denominador de una fracción por el mismo (no cero) el número, los resultados de la nueva fracción se dice que es equivalente a la fracción original. El equivalente de la palabra significa que las dos fracciones tienen el mismo valor. Es decir, mantener la integridad misma - el mismo equilibrio o proporción. Esto es así porque para cualquier número cero n-no, \ Tfrac {n} {n} = 1 . Por lo tanto, multiplicando por \ Tfrac {n} {n} es equivalente a multiplicar por uno, y cualquier número multiplicado por uno tiene el mismo valor que el número original. Por ejemplo, considere la fracción \ Tfrac {1} {2} : Cuando el numerador y el denominador son multiplicados por dos, el resultado es \ Tfrac {2} {4} , Que tiene el mismo valor (0.5) como \ Tfrac {1} {2} . Para esta imagen visual, imagínese el corte de la torta ejemplo en cuatro partes, dos de las piezas ( \ Tfrac {2} {4} ) Constituyen la mitad de la torta ( \ Tfrac {1} {2} ).

Por ejemplo: \ Tfrac {1} {3} , \ Tfrac {2} {6} , \ Tfrac {3} {9} y \ Tfrac {100} {300} son todas las fracciones equivalentes.

Dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero también dará una fracción equivalente. Esto se conoce como la reducción o simplificación de la fracción. Una fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí [esto significa que no tienen factores en común (con excepción de 1)] se dice que es irreductible o en sus términos más simples o más bajo. Por ejemplo, \ Tfrac {3} {9} no está en su mínima expresión debido a que ambos 3 y 9 pueden ser exactamente dividido por 3. Por el contrario, \ Tfrac {3} {8} está en su mínima expresión-el único número que es un factor de 3 y 8 es 1.

Cualquier fracción puede ser completamente reducido a su mínima expresión, dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor . Por ejemplo, el máximo común divisor de 63 y 462 es 21, por lo tanto, la fracción \ Tfrac {63} {462} puede ser totalmente reducido dividiendo el numerador y el denominador por 21:

\ Tfrac {63} {462} = \ tfrac {63 \ p {21} 462 \ div 21} = \ tfrac {3} {22}

Con el fin de encontrar el máximo común divisor, el algoritmo de Euclides puede ser utilizado. Recíprocos y el “denominador invisible”

El recíproco de una fracción es otra fracción con el numerador y el denominador invertido. El recíproco de \ Tfrac {3} {7} , Por ejemplo, es \ Tfrac {7} {3} .

Debido a que cualquier número dividido por uno los resultados en el mismo número, es posible escribir cualquier número entero como una fracción utilizando un denominador: 17 = \ Tfrac {17} {1} (1 es a veces referido como el “denominador invisible”). Por lo tanto, a excepción de cero, cada fracción o número entero tiene un inverso. El recíproco de 17 se \ Tfrac {1} {17} . fracciones complejas

Una fracción compleja (o fracción de compuestos) es una fracción en la que el numerador o el denominador contiene una fracción. Por ejemplo, \ Cfrac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3}} y \ Frac {12 \ frac {3} {4}} {26} son fracciones complejas. Para simplificar una fracción compleja, se divide el numerador entre el denominador, como con cualquier otra fracción (véase la sección relativa a la división para obtener más detalles):

\ Cfrac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3}} = \ tfrac {1} {2} \ times \ tfrac {3} {1} = \ tfrac {3} {2} = 1 \ frac {1} {2}.

\ Frac {12 \ frac {3} {4}} {26} = 12 \ tfrac {3} {4} \ cdot \ tfrac {1} {26} = \ tfrac {12 \ cdot 4 + 3} {4} \ cdot \ tfrac {1} {26} = \ tfrac {51} {4} \ cdot \ tfrac {1} {26} = \ tfrac {51} {104}

\ Cfrac {\ tfrac {3} {2}} 5 = \ tfrac {3} {2} \ times \ tfrac {1} {5} = \ tfrac {3} {10}.

\ Cfrac {8} {\ tfrac {1} {3}} = 8 \ times \ tfrac {3} {1} = 24. Aritméticas con fracciones

Fracciones, como números enteros, obedecer la conmutativa , asociativa y distributiva las leyes, y la norma que prohíbe la división por cero . Comparación de fracciones

Comparación de fracciones con el mismo denominador sólo requiere comparar los numeradores.

\ Tfrac {3} {4}> \ tfrac {2} {4} porque 3> 2.

Una forma de comparar fracciones con diferentes denominadores es encontrar un denominador común. Para comparar los \ Tfrac ā {b} y \ Tfrac {c} {d} , Estos se convierten en \ Tfrac {ad} {BD} y \ Tfrac {bc} {BD} . Luego bd es un denominador común y el anuncio numeradores y bc se puede comparar.

\ Tfrac {2} {3} ? \ Tfrac {1} {2} da \ Tfrac {4} {6}> \ tfrac {3} {6}

Como un atajo, conocida como “cruz multiplicando”, sólo se puede comparar ad y bc, sin calcular el denominador.

\ Tfrac {5} {18} ? \ Tfrac {4} {17}

Multiplica 17 por 5 y multiplicar 18 por 4. Dado que 85 es mayor que 72, \ Tfrac {5} {18}> \ tfrac {4} {17} .

Otro método de comparación de fracciones es la siguiente: si dos fracciones tienen el mismo numerador, la fracción con el denominador más pequeña es la fracción más grande. El razonamiento es que, dado que, en la primera fracción, menor número de piezas iguales se necesitan para hacer un conjunto, cada pieza debe ser mayor.

También tenga en cuenta que todos los números negativos, incluyendo fracciones negativo, es menor que cero, y todos los números positivos, entre fracciones positivas, es mayor que cero, por lo que cada fracción negativo es menor que cualquier fracción positiva. Además

La primera regla de la adición es que sólo las cantidades, como se puede agregar, por ejemplo, cantidades diversas de los barrios. A diferencia de las cantidades, como la adición de terceras partes a los cuartos, primero se debe convertir a las cantidades como se describe a continuación: Imagínese un bolsillo, con dos cuartos, y otro bolsillo que contiene tres cuartos, en total, hay cinco trimestres. Desde hace cuatro trimestres es equivalente a una (en dólares), esto puede ser representado de la siguiente manera:

\ Tfrac24 + \ tfrac34 = \ tfrac54 = 1 \ tfrac14 .

Si \ Tfrac12 de un pastel se va a agregar a \ Tfrac14 de un pastel, las piezas deben ser convertidas en cantidades comparables, como octavos torta o pastel de cuartos. Agregar a diferencia de las cantidades

Para sumar fracciones que contiene a diferencia de las cantidades (por ejemplo, cuartos y tercios), es necesario convertir todos los importes como las cantidades. Es fácil calcular el tipo elegido de la fracción de convertir a, simplemente se multiplican los dos denominadores (número inferior) de cada fracción.

Para añadir cuartos a terceros, ambos tipos de la fracción se convierten en \ Tfrac14 \ times \ tfrac13 = \ tfrac1 {12} (Doceavas partes).

Considere la posibilidad de añadir las siguientes dos cantidades:

\ Tfrac34 + \ tfrac23

En primer lugar, convertir \ Tfrac34 en doceavas partes, multiplicando el numerador y el denominador por tres: \ Tfrac34 \ times \ tfrac33 = \ tfrac9 {12} . Tenga en cuenta que \ Tfrac33 es equivalente a 1, lo que demuestra que \ Tfrac34 es equivalente a la resultante \ Tfrac9 {12} .

En segundo lugar, convertir \ Tfrac23 en doceavas partes, multiplicando el numerador y el denominador por cuatro: \ Tfrac23 \ times \ tfrac44 = \ tfrac8 {12} Tenga en cuenta que \ Tfrac44 es equivalente a 1, lo que demuestra que \ Tfrac23 es equivalente a la resultante \ Tfrac8 {12} .

Ahora se puede observar que:

\ Tfrac34 + \ tfrac23

es equivalente a:

\ Tfrac9 {12} + \ tfrac8 {12} = \ tfrac {17} {12} = 1 \ tfrac5 {12}

Este método se puede expresar algebraicamente:

\ Tfrac ā {b} + \ tfrac {c} {d} = \ tfrac {ad + cb} {BD}

Y para las expresiones que consiste en la adición de tres fracciones:

\ Tfrac ā {b} + \ tfrac {c} {d} + \ tfrac ē {f} = \ tfrac {a (df) + c (BF) + e (bd)}} {BDF

Este método siempre funciona, pero a veces hay un denominador más pequeño que se puede utilizar (un mínimo común denominador). Por ejemplo, para agregar \ Tfrac {3} {4} y \ Tfrac {5} {12} el denominador 48 puede ser utilizado (el producto de 4 y 12), pero el denominador más pequeño 12 también puede ser utilizada, siendo el mínimo común múltiplo de 4 y 12.

\ Tfrac34 + \ tfrac {5} {12} = \ tfrac {9} {12} + \ tfrac {5} {12} = \ tfrac {14} {12} = \ tfrac76 = 1 \ tfrac16

Resta

El proceso para restar fracciones es, en esencia, el mismo que el de la adición de ellos: encontrar un denominador común, y cambiar cada fracción de una fracción equivalente con el denominador común elegido. La fracción resultante tendrá que denominador y el numerador será el resultado de restar los numeradores de las fracciones originales. Por ejemplo,

\ Tfrac23-\ tfrac12 = \ tfrac46-\ tfrac36 = \ tfrac16

Multiplicación Multiplicar por un número entero

Teniendo en cuenta el ejemplo de la torta anterior, si usted tiene una cuarta parte de la torta y se multiplica la cantidad por tres, a continuación, usted termina con tres cuartas partes. Podemos escribir esta numéricamente de la siguiente manera:

\ Textstyle {3 \ times {1 \ over 4} = {3 \ times 1 \ over 4} = {3 \ over 4}} \, \!

Como otro ejemplo, supongamos que cinco personas trabajan durante tres horas de un día de siete horas (es decir, durante tres séptimas partes de la jornada de trabajo). En total, se han trabajado durante 15 horas (5 x 3 horas cada una), o 15 / 7 de un día. Desde 7 / 7 de un día es un día y 14 / 7 es de dos días, a continuación, en total, se han trabajado durante 2 días y el séptimo de un día. Numéricamente:

\ Textstyle {5 \ times {3 \ en 7} = {15 \ más de 7 = 2} {1 \ over 7}} \, \!

Multiplicar por una fracción

Teniendo en cuenta el ejemplo de la torta anterior, si usted tiene una cuarta parte de la torta y se multiplica la cantidad por la tercera, a continuación, terminar con una doceava parte de la torta. En otras palabras, un tercio de un cuarto (o una tercera ocasión en un cuarto) es un doceavo. ¿Por qué? Debido a que estamos dividiendo cada trimestre en tres pedazos, y los cuartos de cuatro veces tres hace 12 partes (o doceavas partes). Podemos escribir esta numéricamente de la siguiente manera:

\ Textstyle {1 \ over 3} \ times {1 \ over 4} = {1 \ over 12} \, \!

Como otro ejemplo, supongamos que cinco personas hacen la misma cantidad de trabajo que asciende a tres horas de una jornada de siete horas. Cada persona tendrá que hacer una quinta parte de la obra, por lo que se ha trabajado para un quinto de las tres séptimas partes de un día. Numéricamente:

\ Textstyle {1 \ over 5} \ times {3 \ en 7} = {3 \ más de 35} \, \!

En general, cuando se multiplica fracciones, multiplicamos los dos numeradores (los números de arriba) para que el nuevo numerador, y multiplicar los dos denominadores (los números de abajo) para que el nuevo denominador. Por ejemplo:

\ Textstyle {5 \ over 6} \ times {7 \ más de 8} = {5 \ veces 7 \ de 6 \ 8 veces} = {35 \ más de 48} \, \!

Al multiplicar (o dividir), puede ser posible optar por cancelar por lo ancho múltiples (a menudo llamado simplemente, “cancelación de las tapas y las líneas de abajo”) que comparten un factor común. [4] Por ejemplo:

\ Textstyle {2 \ over 7} \ times {7 \ más de 8} = {\ cancelar {2} ^ {} ~ 1 \ over \ cancelar {7} ~ ^ {1}} \ times {\ cancelar {7} ^ ~ {1} \ over \ cancelar {8} ^ {4}} ~ = {1 \ over 1} \ times {1 \ over 4} = {1 \ over 4} \, \!

Un dos es un común factor tanto en el numerador de la fracción de izquierda y el denominador de la derecha de modo se divide a los dos. El siete es un factor común denominador de la izquierda y la derecha numerador. Los números mixtos

Al multiplicar números mixtos, lo mejor es convertir el número mixto en una fracción impropia. Por ejemplo:

\ Textstyle {3 \ times 2 {3 \ over 4} = 3 \ times \ left ({{8 \ over 4} + {3 \ over 4}} \ right) = 3 \ times {11 \ over 4} = { 33 \ over 4} = 8 {1 \ over 4}} \, \!

En otras palabras, \ Textstyle {2 {3 \ over 4}} es el mismo que \ Textstyle {({8 \ over 4} + {3 \ over 4})} , Con 11 cuartos en total (ya que 2 tortas, cada una dividida en cuatro partes hace ocho cuartos en total) y los cuartos de 33 es \ Textstyle {8 {1 \ over 4}} , Desde el 8 de tortas, cada una de los barrios, es de 32 cuartos en total. División

La división por una fracción se realiza multiplicando el dividendo por el recíproco del divisor, de acuerdo con la identidad

m \ p \ frac ā {b} = m \ times \ frac {b} ā.

Una prueba de la identidad, de los principios fundamentales, se puede dar de la siguiente manera:

m \, \ p \, \ frac ā {b} = \ frac {m} {\ frac ā {b}} = m \; \ times \, \ frac {1} {\ frac ā {b}} = m \; \ times \, \ left (\ frac ā {b} \ right) ^ {−1} = m \; \ times \, \ frac {\ frac {1} ā } {\ frac {1} {b}} = m \; \ times \, \ frac {1} ā \; \ times \, \ frac {1} {\ frac {1} {b}} = m \; \ times \, \ frac {1} ā \; \ times \ b = m \; \ times \, \ frac {b} ā.

Una prueba algebraica es la siguiente. Set x igual al cociente que estamos buscando (m ÷ a / b). Por la definición de la división , esto significa que estamos buscando el número x tal que:

x \ times \ frac ā {b} = m

Multiplica ambos lados de esta ecuación por \ Frac {b} ā :

x \ times \ frac ā {b} \ times \ frac {b} ā = m \ times \ frac {b} ā

x \ times 1 = m \ times \ frac {b} ā

x = m \ times \ frac {b} ā

Acerca de hace 4.000 años los egipcios dividieron con fracciones utilizando métodos levemente diferentes. Utilizaron al menos múltiplos comunes con fracciones unitarias . Sus métodos le dio la misma respuesta que nuestros métodos modernos dar. [5] Conversión de decimales periódicos a fracciones Ver también: Repetición de decimales

Los números decimales, mientras que sin duda más útil para trabajar con al realizar cálculos, la falta de la misma clase de precisión que las fracciones regulares (como se explica en este artículo) han. A veces, un número infinito de decimales se requiere para transmitir el mismo tipo de precisión. Por lo tanto, a menudo es útil para convertir decimales periódicos en fracciones.

Para los patrones que se repiten en el patrón de repetición comienza inmediatamente después del punto decimal, una simple división del patrón por el mismo número de nueves como números de cuenta será suficiente. Por ejemplo (el modelo se destaca en negrita):

0. 5 55555555555 … = 9.5

0. … 62 6262626262 = 62/99

0. … 264 264 264 264 = 264 / 999

0. 62.916.291 6,291 … = 6291/9999

En ceros caso preceder a la modelo, de punta en blanco son el sufijo por el mismo número de ceros:

0,0 5 = 55 … 5 / 90

0.000 392 3.923 92 … = 392 / 999000

0.00 12 1,212 … = 12 / 9900

En caso de que un conjunto no-repetición de decimales preceden el patrón (por ejemplo, 0,1523 987 987 987 …), tenemos que igualar a la suma de la de repetición y la repetición de las partes no:

0.1523 + 0.0000987987987 …

A continuación, convertir a estas dos fracciones. Desde la primera parte no se repite, no se convierte de acuerdo con las instrucciones dadas anteriormente:

1523/10000 + 987/9990000

Añadimos estas fracciones expresando ambos con un divisor común …

1521477/9990000 + 987/9990000

Y añadirlos.

1522464/9990000

Finalmente, se simplifican:

31718/208125

Racionalización

Artículo principal: Racionalización (matemáticas)

Una fracción puede ser necesario racionalizar si el denominador contiene números irracionales , números imaginarios y números complejos , a fin de que sea más fácil trabajar con ellos. Cuando el denominador es un monomio raíz cuadrada, que se puede racionalizar multiplicando parte superior e inferior de la fracción por el denominador:

\ Frac {3} {\ sqrt {7}} = \ frac {3} {\ sqrt {7}} \ cdot \ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {7}} = \ frac {3 \ sqrt {7}} {7}

El proceso de racionalización del binomio implica multiplicar la parte superior e inferior de una fracción por el conjugado del denominador para que el denominador se convierte en un número racional. Por ejemplo:

\ Frac {3} {2.3 \ sqrt {5}} = \ frac {3} {3.2 \ sqrt {5}} \ cdot \ frac {3 2 \ sqrt {5}} {3 +2 \ sqrt {5}} = \ frac {3 (3 +2 \ sqrt {5} })}{{ 3 ^ 2 - (2 \ sqrt {5}) ^ 2} = \ frac {3 (3 + 2 \ sqrt {5})} {9–20} = - \ frac {9 6 \ sqrt {5}} {11}

\ Frac {3} {3 2 \ sqrt {5}} = \ frac {3} {3 2 \ sqrt {5}} \ cdot \ frac {2.3 \ sqrt {5}} {2.3 \ sqrt {5}} = \ frac {3 (3–2 \ sqrt {5} })}{{ 3 ^ 2 - (2 \ sqrt {5}) ^ 2} = \ frac {3 (3 - 2 \ sqrt {5})} {9–20} = - \ frac {6.9 \ sqrt {5}} {11}

 \ Frac {3} {i + 2.2 \ cdot i} = \ frac {3} {i + i 2.2 \ cdot} \ cdot \ frac {2 2 \ cdot i} {2 i 2 \ cdot } = \ frac {3} {i + i 2.2 \ cdot} \ cdot \ frac {2 2 \ cdot i} {2 2 \ cdot i} = \ frac {6 i 2 \ cdot 6 \ cdot i-2}} {4 +4 = \ frac {4 +8 i} {8} = \ frac {1} {2} + i

Incluso si este proceso resulta en el numerador ser irracional o complejo, como en los ejemplos anteriores, el proceso todavía puede facilitar la manipulación posterior de la reducción del número de los irracionales uno tiene que trabajar en el denominador, o mediante el denominador real en el caso de una expresión compleja. Casos especiales

Una fracción unitaria es un fracción con un numerador de 1, por ejemplo, \ Tfrac {1} {7} .

Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias distintas, por ejemplo, \ Tfrac {1} {2} + \ tfrac {1} {3} . Este término se deriva del hecho de que los antiguos egipcios expresaron todas las fracciones, excepto \ Tfrac {1} {3} , \ Tfrac {2} {3} y \ Tfrac {3} {4} de esta manera.

Una fracción diádica es un fracción en la que el denominador es una potencia de dos , por ejemplo, \ Tfrac {1} {8} .

Una expresión que tiene la forma de una fracción, pero en realidad representa la división por o en un número irracional a veces se llama una “fracción de lo irracional”. Un ejemplo común es \ Textstyle {\ frac {\ pi} {2}} , La medida en radianes de un ángulo recto.

Los números racionales son los de cocientes de enteros. funciones racionales son funciones evaluadas en la forma de una fracción, donde el numerador y el denominador son polinomios. Estas expresiones racionales son el campo cociente entre el polinomios (en algunos dominio de integridad ).

Una fracción continua es una expresión como

a_0 + \ cfrac {1} {a_1 + \ cfrac {1} {a_2 + \ ddots}},

donde los a i son enteros. Esto no es un elemento de un campo de cociente.

El término en fracciones parciales se utiliza en el álgebra, al descomponerse expresiones racionales (una fracción con una expresión algebraica en el denominador). El objetivo es escribir la expresión racional como la suma de otras expresiones racionales con denominadores de menor grado. Por ejemplo, la expresión racional \ Textstyle {2x \ over x ^ 2–1} se puede escribir como la suma de dos fracciones: \ Textstyle {1 \ over x +1} y \ Textstyle {1 \ over x-1} . Esto es útil para el cálculo de integrales determinados en el cálculo. Herramientas pedagógicas

En las escuelas primarias , las fracciones se han demostrado a través de las barras de Cuisenaire , barras de fracción , tiras de fracciones, fracción de los círculos, de papel (para el plegado o corte), bloques de patrones , en forma de trozos de pastel, rectángulos de plástico, papel cuadriculado, papel de puntos , geoplanos , contadores y software. Historia Véase también: Historia de los números irracionales

Los egipcios utilizan fracciones egipcias ca. 1000 AC. Los griegos utilizan fracciones de la unidad y continuó fracciones más tarde y seguidores del filósofo griego Pitágoras , ca. 530 aC, descubrió que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como una fracción. En 150 a. C. Jain matemáticos de la India escribió el “ Sutra Sthananga “, que contiene trabajos sobre la teoría de números, operaciones aritméticas, operaciones con fracciones .

En la literatura sánscrita , fracciones o números racionales siempre se expresaban mediante un número entero seguido de una fracción. Cuando el número entero se escribe en una línea, la fracción se coloca debajo de él y se está escrita en dos líneas, el numerador llamada AMSA parte en la primera línea, el denominador cheda llamado “divisor” de la segunda a continuación. Si la fracción está escrito sin ningún signo adicional particular, se entiende que se agrega al número entero superior. Si está marcada por un pequeño círculo o una cruz (la forma del signo «más» en el Oeste) colocado en su derecho, se entiende que se resta el número entero. Por ejemplo, Bhaskara me escribe [6]

6 1 2 1 1 1 0 4 5 9

Es decir,

6 1 2 1 1 1 0 4 5 9

para referirse a un 6 / 4, 1 1 / 5, y 2–1/9

Al-Hassar , un matemático musulmanes de Fez , Marruecos, especializada en la jurisprudencia de la herencia islámica en el siglo 12, desarrolló la simbólica de la moderna notación matemática para las fracciones, donde el numerador y el denominador están separados por una barra horizontal. [ cita requerida ] Esta notación fraccionaria mismo aparece poco después en la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo 13. [ cita requerida ]

Al hablar de los orígenes de las fracciones decimales , Dirk Jan Struik establece que (p. 7): [7]

“La introducción de las fracciones decimales como una práctica común de cálculo puede ser de fecha posterior a la flamenca folleto De Thiende, publicada en Leiden en 1585, junto con una traducción al francés, La Disme, por el matemático flamenco Simon Stevin (1548–1620), a continuación, se establecieron en el norte de los Países Bajos . Es cierto que las fracciones decimales fueron utilizados por los chinos muchos siglos antes de Stevin y que el astrónomo persa Al-Kashi utilizado tanto decimal y sexagesimal fracciones con gran facilidad en su clave a la aritmética (Samarcanda, siglo XV) . [8] “

Mientras que el persa matemático Jamshid al-Kashi afirmó haber descubierto las fracciones decimales a sí mismo en el siglo 15, J. Lennart Berggren notas que se equivocó, como fracciones decimales se utilizó por primera vez cinco siglos antes que él por el Baghdadi matemático Abu-l-Hasan al -Uqlidisi ya en el siglo 10.

Fraction (mathematics). (2011, May 1). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 03:41, May 2, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fraction_(mathematics)&oldid=426857460

Coeficiente Fraccionario

En matemáticas, una fracción (del vocablo latín frāctus, roto), o quebrado es la expresión de una cantidad dividida por otra.

tres cuartos más un cuarto

Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, en sentido estricto, número racional.

Suma de fracciones

La suma de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:

Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.

Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador x denominador común y dividido por denominador.

Se suman los numeradores (dado que las fracciones modificadas tienen el mismo denominador).

Suma de fracciones. (2008, 14) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:11, octubre 16, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Suma_de_fracciones&oldid=20944299.


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