Determinar El Teorema De Tales Mediante Construcciones Con Segmentos

Determinar El Teorema De Tales Mediante Construcciones Con Segmentos

Teorema de Thales

En geometría , el teorema de Thales (el nombre de Tales de Mileto ), establece que si A, B y C son puntos en un círculo en la línea AC es un diámetro del círculo, el ángulo ABC es un ángulo recto . “Teorema de Thales es un caso especial del teorema del ángulo inscrito . En general se atribuye a Tales, que se dice que han sacrificado un buey en honor del descubrimiento, pero a veces se atribuye a Pitágoras .

Prueba

Utilizamos los siguientes hechos:

    la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos (180 ° ),
    los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. 

Sea O el centro del círculo. Desde la OA = OB = OC, OBA y OBC son triángulos isósceles, y por la igualdad de los ángulos de la base de un triángulo isósceles, OBC = OCB y BAO = ABO. Vamos a α = BAO y β = OBC. Los tres ángulos internos del triángulo ABC son α, β y α + β. Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos, que han

    

a continuación,

    

o simplemente

Conversar

La conversación de Thales Teorema también es válida, sino que afirma que un triángulo rectángulo ‘s hipotenusa es el diámetro de la circunferencia circunscrita .

Combinando el teorema de Thales con su opuesto obtenemos que:

    El centro del triángulo de la circunferencia circunscrita uno se encuentra en uno de los lados del triángulo si y sólo si el triángulo es un triángulo rectángulo. 

La prueba de la conversación con la geometría La figura de la prueba de lo contrario

Esta prueba consiste en “completar” el triángulo de la derecha para formar un rectángulo y darse cuenta de que el centro de ese rectángulo es equidistante de los vértices y así es el centro del círculo circunscrito del triángulo original, que utiliza dos hechos:

    ángulos adyacentes en un paralelogramo son suplementarios (suman 180 ° ) y,
    las diagonales de un rectángulo son iguales y se cruzan en su punto medio. 

Que haya un ángulo recto ABC, paralelo ra línea para pasar a. C. por A y la línea paralela a la aprobación de AB SA de C., siendo D el punto de intersección de los ejes r y s (Tenga en cuenta que no se ha demostrado que la D se encuentra en el círculo)

El cuadrilátero ABCD un paralelogramo formas de construcción (como los lados opuestos son paralelos). Dado que en un paralelogramo los ángulos adyacentes son suplementarios (suman 180 °) y ABC es un ángulo recto (90 °), entonces los ángulos BAD y BCD, y ADC también recto (90 °) y, en consecuencia ABCD es un rectángulo.

Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD. Entonces, el punto O, por encima del segundo hecho, es equidistante de A, B y C. Y así O es el centro del círculo circunscrito, y la hipotenusa del triángulo AC es un diámetro del círculo. Prueba de lo contrario el uso del álgebra lineal

Esta prueba utiliza dos hechos:

    dos líneas forman un ángulo recto si y sólo si el producto punto de su dirección vectores es cero, y
    el cuadrado de la longitud de un vector viene dada por el producto escalar del vector por sí mismo. 

Que haya un ángulo recto ABC y M círculo con AC como diámetro. Que mentira M en el centro de origen, para facilitar el cálculo. Entonces sabemos

    A = - C, porque el círculo centrado en el origen tiene aire acondicionado como el diámetro, y
    (A - B) · (B - C) = 0, porque ABC es un ángulo recto. 

De ello se deduce

    0 = (A - B) · (B - C) = (A - B) · (B + A) = | A | 2 - | B | 2. 

Por lo tanto:

    | A | = | B |. 

Esto significa que A y B son equidistantes del origen, es decir, desde el centro de M. Puesto que A se encuentra en M, también lo hace B, y la M círculo es por lo tanto triángulo de la circunferencia circunscrita.

Los cálculos anteriores en el hecho de establecer que los dos sentidos de «teorema de Thales son válidos en cualquier espacio con producto interno . Generalización

Teorema de Thales es un caso especial del teorema siguiente:

    Teniendo en cuenta tres A, B y C los puntos de un círculo con centro O, el ángulo AOC es dos veces mayor que el ángulo ABC. 

Ver ángulo inscrito , la demostración de este teorema es bastante similar a la prueba del teorema de Thales dado anteriormente.

Aplicación

La construcción de una tangente usando el teorema de Thales.

“Teorema de Thales se puede utilizar para construir la tangente a un círculo dado que pasa a través de un punto dado. (Ver figura). Dado un k círculo, con centro O, y un punto P fuera del círculo, queremos construir el (rojo) tangente (s) de k que pasan por P. Supongamos que el hasta ahora desconocido) tangente t toca (el círculo en el punto T. De la simetría, es claro que el Antiguo Testamento radio es ortogonal a la tangente. Así que construir el punto medio H entre O y P, y dibujar un círculo con centro en H que pasa por O y P. Por el teorema de Thales, el punto T buscada es la intersección de este círculo con el k círculo dado, porque ese es el punto de k que completa un triángulo rectángulo la Fiscalía.

Desde allí los dos círculos se cortan en dos puntos, podemos construir dos tangentes en esta moda.

Historia

Thales no fue el primero en descubrir este teorema desde la egipcios y babilonios que [ cita requerida ] han conocido de esta forma empírica, sin embargo no hay constancia de una prueba del teorema por uno de ellos. El teorema recibe su nombre de Thales, porque se decía que había sido el primero en demostrar el teorema, utilizando sus propios resultados que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales, y que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos .

Thales’ theorem. (2011, March 7). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 20:32, May 1, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Thales%27_theorem&oldid=417586850


Determinar el teorema de tales mediante construcciones con segmento

Primer teorema

Es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.

La primera figura corresponde a medidas algebraicas positivas - los vectores OA, OA’, OB y OB’ tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d’), y la segunda a cocientes negativos.

Si se aplica el teorema, tenemos además otra consecuencia: si se orienta de la misma manera las dos rectas paralelas (AB) y (A’B’), es decir con el mismo vector, entonces el tercer cociente (de medidas algebraicas): A’B’ / AB es igual a los dos anteriores.

A veces se reserva el nombre de teorema de Tales al sentido directo de la equivalencia, y el otro sentido recibe el nombre de recíproca del teorema de Tales.

Este teorema es un caso particular de los triángulos similares o semejantes. Una aplicación del Teorema de Tales

Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol.

1. Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = C

2. Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un lápiz) en el mismo instante. = B

3. Medimos la longitud real del mismo cuerpo. = A

Teorema de Tales. (2008, 22) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 05:14, noviembre 6, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Tales&oldid=21162595.


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