El gráfico muestra de ecuaciones lineales.
Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la que cada término es o bien una constante del producto o de una constante y (la primera potencia) de una sola variable .
ecuaciones lineales puede tener una o más variables. ecuaciones lineales ocurren con gran regularidad en las matemáticas aplicadas . Si bien se presentan con toda naturalidad que muchos fenómenos de modelado, que son especialmente útiles ya que muchas ecuaciones no lineales se puede reducir a ecuaciones lineales, asumiendo que las cantidades de interés varían en sólo una pequeña parte de algunos “de fondo” del Estado.
Ecuaciones lineales con dos variables
Una forma común de una ecuación lineal en las dos variables x y y es
donde m y b constantes designar. El origen del nombre de “lineales” viene del hecho de que el conjunto de soluciones de una ecuación tal forma una línea recta en el plano. En particular, esta ecuación, la constante m determina la pendiente o inclinación de esa línea, y el término constante “b” determina el punto en que la línea cruza el y -eje, también conocida como la intersección.
Puesto que los términos de ecuaciones lineales no pueden contener los productos de igual o distintas variables, ni de alimentación (con excepción de 1) u otra función de una variable, ecuaciones con términos tales como xy , x 2 , y 1.3 , y el pecado ( x ) se no lineal .
Los formularios para 2D ecuaciones lineales
ecuaciones lineales se puede reescribir usando las leyes de álgebra elemental en varias formas diferentes. Estas ecuaciones se refieren a menudo como “ecuaciones de la recta”. En lo que sigue x , y , t y θ son variables; otras letras representan constantes (números fijos). Forma general
donde una y B tanto no son iguales a cero. La ecuación es generalmente escrito para que A ≥ 0, por convención. El gráfico de la ecuación es una línea recta , y cada línea recta se puede representar por una ecuación en la forma anterior. Si A es distinto de cero, entonces el x -intercepción, es decir, la x - coordenadas del punto donde la gráfica cruza el x -eje (donde, y es igual a cero), es - C / A . Si B es cero, entonces el y la intersección, que es el y la coordenada del punto donde la gráfica cruza el y -eje (donde x es cero), es - C / B , y la pendiente de la línea - Un / B .
Formulario estándar
donde una y B tanto no son iguales a cero, una , B y C son números enteros cuyo mayor factor común es 1, y A es no negativo (si es cero, B debe ser positivo). El impreso normalizado se puede convertir en la forma general, pero no siempre a todas las otras formas, si una o B es cero. Cabe señalar que, mientras que el término aparece con frecuencia en los EE.UU. el nivel de libros de texto de álgebra de la escuela, la mayoría de las líneas no pueden ser descritos por dichas ecuaciones. Por ejemplo, la línea x + y = √ 2 no puede ser descrito por una ecuación lineal con coeficientes enteros ya que √ 2 es irracional.
forma pendiente-intercepto
donde m es la pendiente de la recta y b es el y la intersección, que es el y la coordenada del punto donde la línea cruza el y eje. Esto puede ser visto por dejar que x = 0, lo que inmediatamente da y = b . Las líneas verticales, que tiene pendiente indefinido, no puede ser representado por esta forma.
Forma punto-pendiente
La forma punto-pendiente expresa el hecho de que la diferencia en el y la coordinación entre dos puntos en una línea (es decir, y - y 1 ) es proporcional a la diferencia en la x de coordenadas (es decir, x - x 1 ). La constante de proporcionalidad es m (la pendiente de la línea).
forma de dos puntos
donde ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) son dos puntos en la línea con x 2 ≠ x 1 . Esto es equivalente a la pendiente forma punto anterior, donde la pendiente es explícitamente dada comohttp://upload.wikimedia.org/math/1/0/5/105c9caf57ea2bc141db9088948d974e.png
Intercepción de forma
donde una y b debe ser distinto de cero. La gráfica de la ecuación tiene x -interceptar una y y -intercepción b . La forma de intersección y se puede convertir en el formulario normalizado mediante el establecimiento de un = 1 / uno , B = 1 / b y C = 1.
Paramétrico forma
y
Dos ecuaciones simultáneas en términos de un parámetro variable t , con pendiente m = V / T , x -intercepción ( VU - PESO ) / V y y -intercepción ( PESO - VU ) / T .
Esto también puede estar relacionado con el punto de formar dos, donde T = p - h , U = h , V = q - k y W = k :
y
En este caso t varía de 0 en el punto ( h , k ) y 1 en el punto ( p , q ), con valores de t entre 0 y 1 proporciona la interpolación y otros valores de t proporcionar extrapolación .
Forma Polar
donde m es la pendiente de la recta yb es la intersección . Cuando θ = 0 el gráfico será indefinido. La ecuación puede ser reescrita para eliminar las discontinuidades:
Forma normal
La normal para una línea determinada se define como el segmento más corto entre la línea y el origen. La forma normal de la ecuación de una línea recta está dada por:
donde θ es el ángulo de inclinación de la normal, y p es la longitud de la normal. La forma normal se puede derivar de forma general al dividir todos los coeficientes por
Esta forma también se conoce como la forma estándar de Hesse, después de que el matemático alemán Ludwig Otto Hesse .
Casos especiales
Este es un caso especial de la forma estándar donde A = 0 y B = 1, o de la intersección en forma de la pendiente donde la pendiente M = 0. La gráfica es una línea horizontal con y intercepto igual a b . No hay x intersección, a menos que b = 0, en cuyo caso la gráfica de la línea es el x -axis, y por lo que cada número real es un x -intercepción.
Este es un caso especial de la forma estándar donde A = 1 y B = 0. La gráfica es una línea vertical con x interceptar igual a uno . La pendiente no está definido. No hay y la intersección, a menos que uno = 0, en cuyo caso la gráfica de la línea es el y -axis, y por lo que cada número real es una y la intersección.
En este caso todas las variables y constantes han cancelado, dejando una verdadera declaración de trivial. La ecuación original, por lo tanto, sería llamado una identidad y uno normalmente no consideran su gráfica (sería todo el xy el plano). Un ejemplo es de 2 x 4 + y = 2 ( x + 2 y ). Las dos expresiones a ambos lados del signo igual son siempre iguales, sin importar qué valores se utilizan para x y y .
En situaciones en las que la manipulación algebraica lleva a una afirmación como 1 = 0 , entonces la ecuación original se llama incoherente , lo que significa que no es cierto para cualquier valor de x , y y (es decir, su gráfica sería el conjunto vacío ) Un ejemplo podría ser de 3 x + 2 = 3 x - 5.
Relación con las funciones lineales
Una ecuación lineal, escrito en la forma y = f ( x ) cuya gráfica pasa por el origen, es decir que y la intersección es 0, tiene las siguientes propiedades:
y
donde uno es cualquier escalar . Una función que satisface estas propiedades se llama una función lineal (o operador lineal , o más generalmente una aplicación lineal ). Sin embargo, las ecuaciones lineales que tienen distinto de cero y intersecciones no tendrá ni la propiedad por encima y por lo tanto no son funciones lineales, en este sentido. Ecuaciones lineales en más de dos variables Artículo principal: Sistema de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal puede afectar a más de dos variables. La ecuación lineal general en n variables es:
De esta forma, un 1 , un 2 , …, un n son los coeficientes, x 1 , x 2 , …, x n son las variables, y b es la constante. Cuando se trata o menos tres variables, es común para reemplazar x 1 con sólo x , x 2 , con y , y x 3 con z , según corresponda.
Tal ecuación se representa una ( n −1)-dimensionales hiperplano en n -dimensional del espacio euclidiano (por ejemplo, un plano en 3-espacio).
Linear equation. (2011, May 14). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 23:44, May 14, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Linear_equation&oldid=429131915
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia .
En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
3x + 2y = 10 4a + 38b = 6a + 21b
Ecuación lineal. (2008, 29) de septiembre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:15, octubre 16, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_lineal&oldid=20504976.
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