Elevar Un Número Natural a Una Potencia De Exponente Negativo

Elevar Un Número Natural a Una Potencia De Exponente Negativo

Exponenciación

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Exponenciación es una matemática operación , escrito como n, con dos números, la base de uno y el exponente n. Cuando n es un entero positivo , la potencia corresponde a la repetición de la multiplicación , es decir, un producto de n factores de:

así como la multiplicación por un entero positivo corresponde a la repetición de otra :

El exponente es por lo general se muestra como un superíndice a la derecha de la base. La exponenciación puede ser un n leer como: un elevado a la n-ésima potencia, un elevado a la potencia [de] n, o posiblemente un elevado al exponente [de] n, o más brevemente como a la n. Algunos exponentes tienen su propia pronunciación: por ejemplo, un 2 por lo general es leído como un cuadrado y un 3 como en cubos.

El poder de un n se puede definir también cuando n es un entero negativo, cero para una. No hay extensión natural a todos los reales a y n existe, pero cuando la base a es un número real positivo, n se puede definir para todos e incluso exponentes complejos n real a través de la función exponencial e z. funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de exponencial compleja.

Exponenciación donde el exponente es una matriz se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales .

Exponenciación se utilizan de manera intensiva en muchos otros campos, incluyendo economía, biología, química, física y ciencias de la computación, con aplicaciones como el interés compuesto , crecimiento de la población , química cinética de la reacción , la onda comportamiento, y la criptografía de clave pública . Las gráficas de y = a x para diferentes bases a: base 10 (verde), en base e (rojo), base 2 (azul), y ½ de base (cian). Cada curva pasa por el punto (0,1) ya que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1. En x = 1, el valor y es igual a la base ya que cualquier número elevado a la potencia uno es en sí mismo.

Terminología

Cuando este artículo se refiere a “un poder extraño” de un número que significa el exponente es un número impar, no es que el resultado es impar. Por ejemplo 2 3 8 es que es una potencia impar de 2 porque el exponente es 3. Este es el uso habitual y se aplica a cualquier forma similar como un poder aún, el poder negativo o poder positivo. Exponentes enteros

La operación de exponenciación con exponentes enteros sólo requiere álgebra elemental . exponentes enteros positivos

La expresión a 2 = a · a se llama la plaza de una porque el área de un cuadrado con el lado de longitud a es un 2.

La expresión de 3 = a · a · a es llamado el cubo , ya que el volumen de un cubo con lados de longitud a es un 3.

Así que 3 2 se pronuncia “tres al cuadrado”, y 2 3 es “dos cubos”.

El exponente dice cuántas copias de la base se multiplican entre sí. Por ejemplo, 3 5 = 3.3.3.3.3 = 243. La base 3 aparece cinco veces en la multiplicación repetida, ya que el exponente es 5. En este caso, 3 es la base, 5 es el exponente, y 243 es el poder o, más concretamente, la quinta potencia de 3, 3 elevado a la quinta potencia, o 3 a la potencia de 5.

La palabra “relieve” se omite por lo general, y muy a menudo “poder” y, por lo que 3 5 suele ser pronunciado “tres a la quinta” o “tres de los cinco”.

Formalmente, las potencias con exponentes enteros positivos se puede definir por la condición inicial a 1 = a y la relación de recurrencia a n +1 = a · a n. Exponentes de uno y cero

Tenga en cuenta que un 1 es el “producto” de un solo uno, que se define como un archivo.

También tenga en cuenta que una n - 1 = a n / a. Suponiendo que n = 1, obtenemos un 0 = 1. Otra forma de decir esto es que cuando n, m, n - m son positivos (y si uno no es igual a cero), se puede ver que

 \ Frac {a ^ n} ā = m ^ a ^ {n - m}.

Extensión al caso especial cuando nym son iguales, la igualdad sería el siguiente

 1 = \ frac {a ^ n} {a ^ n} = a ^ {n - n} = a ^ 0

ya que tanto el numerador y el denominador son iguales. Por lo tanto, tomar esto como la definición de un 0. Esto lleva a la siguiente regla:

Cualquier número elevado a la potencia 1 es el número mismo.

Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1, una interpretación de estos poderes es como productos vacíos . El caso de 0 0 se discute a continuación .

Combinatoria interpretación

Para n números enteros no negativos y m, m la potencia n es igual a la cardinalidad del conjunto de m - tuplas de una n-elemento de conjunto , o el número de la carta de las palabras-m de una letra del alfabeto-n.

 0 5 = | {} | = 0. No hay 5-tupla del conjunto vacío. 

 1 4 = | (1,1,1,1) | = 1. Hay 4-tupla de un conjunto de un único elemento. 

 2 3 = | (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1, 2), (2,2,1), (2,2,2) | = 8. Hay ocho 3-tuplas de un conjunto de dos elementos. 

 3 2 = | (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3, 2), (3,3) | = 9. Hay nueve 2-tuplas de un conjunto de tres elementos. 

 4 1 = | (1), (2), (3), (4) | = 4. Hay cuatro 1-tuplas de un conjunto de cuatro elementos. 

 5 0 = | {()} | = 1. No es exactamente una tupla vacía. 

Véase también exponenciación sobre conjuntos

exponentes enteros negativos

Por definición, la crianza de un número distinto de cero a la potencia −1 produce su recíproco :

 a ^ {−1} = \ frac {1} ā.

También se define

 a ^ {-n} = \ frac {1} {a ^ n}

para cualquier distinto de cero y cualquier número entero positivo n. El aumento de 0 a una potencia negativa supondría la división por 0 , por lo que se deja sin definir.

La definición de un - n de un cero se hace para que la identidad de una m a n = a m + n, en un principio cierto sólo para m y n números enteros no negativos, es válido para números enteros m y n arbitraria. En particular, lo que requiere esta identidad para m =-n es que requieren

 a ^ {-n} \, a ^ {n} = a ^ {n-\, + \, n} = a ^ 0 = 1,

donde 0 es lo definido arriba, y esto motiva la definición a - n = 1 / a n ​​se muestra arriba.

Exponenciación a una potencia entera negativa como alternativa se puede ver como se repite la división de 1 por la base. Por ejemplo,

 3 ^ {−4} = (((1 / 3) / 3) / 3) / 3 = \ frac {1} {81} = \ frac {1} {3 ^ {4}} . 

Identidades y propiedades

El más importante de identidad satisfechos por exponenciación entero es

 a ^ {m + n} = a ^ m \ cdot a ^ n

Esta identidad tiene como consecuencia

 a ^ {m - n} = \ frac ā {m ^ a ^ n}

para un ≠ 0, y

(A ^ m) ^ n = a ^ {m \ cdot n}

Otra identidad básica es

(A, b \ cdot) ^ n = a ^ n \ cdot b n ^

Mientras que la adición y la multiplicación son conmutativa (por ejemplo, 2 +3 = 5 = 3 +2 = 6 y 2.3 = 3.2), la potencia no es conmutativo: 2 3 = 8, pero 3 2 = 9.

Del mismo modo, mientras que la adición y la multiplicación son asociativas (por ejemplo, (2 +3) +4 = 9 = 2 + (3 +4) y (2.3) · 4 = 24 = 2 · (3,4), la potencia es no asociativa o bien: 2 3 elevado a 4 es 8 4 o 4096, pero 2 al 4 de potencia 3 es 2 81 2.417.851.639.229.258.349.412.352 o no. Sin paréntesis para modificar el orden de cálculo, el orden se entiende en general que se arriba, abajo de abajo hacia arriba:

una ^ ^ {b} c = a ^ (b ^ c) \ ne (a ^ b) ^ c = a ^ (b \ cdot c) = a ^ {b \ cdot c}.

Potencias de diez

Ver notación científica

En la base diez ( decimal ) sistema de numeración, los poderes de número entero de 10 se escribe como el dígito 1 seguido o precedido de un número de ceros determinado por el signo y la magnitud del exponente. Por ejemplo, 10 3 = 1000 y 10 −4 = 0,0001.

Exponenciación con la base 10 se usa en la notación científica para describir o pequeñas grandes números. Por ejemplo, 299.792.458 metros / segundo (la velocidad de la luz en el vacío, en metros por segundo) se puede escribir como 2,99792458 · 10 8 m / s, y luego aproximar como 2.998 · 10 8 m / s.

SI prefijos basados ​​en potencias de 10 se utiliza también para describir o grandes cantidades pequeñas. Por ejemplo, el prefijo kilo significa 10 3 = 1000, por lo que un kilómetro es de 1000 metros . Potencias de dos

El positivo potencias de 2 son importantes en ciencias de la computación , porque hay dos posibles valores de n para un n - bit binario variable .

Potencias de 2 son importantes en la teoría de conjuntos desde un conjunto con n elementos tiene un conjunto potencia o conjunto de todos los subconjuntos del conjunto original, con 2 n elementos.

Las potencias negativas de 2 son de uso común, y los dos primeros tienen nombres especiales: media y cuarto .

En la base 2 sistema numérico (binario), potencias enteras de 2 se escriben como un seguido o precedido de un número de ceros determinado por el signo y la magnitud del exponente. Por ejemplo, dos a la potencia de los tres se escribe 1000 en binario. Poderes de un

Los poderes son un número entero de uno: 1 n = 1. Potencias de cero

Si el exponente es positivo, la potencia de cero es cero: 0 n = 0, donde n> 0.

Si el exponente es negativo, el poder de cero (0 n, donde n <0) no está definido, porque la división por cero es implícita.

Si el exponente es cero, algunos autores definen 0 0 = 1, mientras que otros lo deje sin definir, como se discute a continuación . Potencias de menos uno

Si n es un entero par, entonces (−1) n = 1.

Si n es un entero impar, entonces (−1) n = −1.

Debido a esto, los poderes de −1 son útiles para la expresión de secuencias alternas. Para un análisis similar de las competencias de la i número complejo, vea la sección sobre potencias de los números complejos . Grandes exponentes

El límite de una sucesión de potencias de un número mayor que uno se aleja, es decir, que crecen sin límite:

una ∞ → n cuando n ∞ → cuando a> 1.

Esto puede ser leído como “una a la potencia de n tiende a + ∞ cuando n tiende a infinito cuando uno es mayor que uno “.

Potencias de un número con valor absoluto de menos de un tienden a cero:

un n → 0 cuando n → ∞ cuando | a | <1.

Cualquier poder de uno es siempre en sí:

a n = 1 para todo n si un = 1.

Si el número varía de una tienda a 1 como el exponente tiende a infinito, entonces el límite no es necesariamente uno de los de arriba. Un caso particularmente importante es

(1 + n-1) e n → n → ∞ como

consulte la sección siguiente Poderes de correo .

otros límites, en particular, de los que tienden a formas indeterminadas , se describen en los límites de las competencias de abajo. poderes reales de los números positivos

La crianza de un número real positivo a un poder que no es un número entero se puede lograr de dos maneras.

Número racional exponentes puede ser definida en términos de n º raíces , y distinto de cero exponentes arbitraria puede ser definido por la continuidad.

El logaritmo natural se puede utilizar para definir exponentes real utilizando la función exponencial.

Las identidades y las propiedades de arriba para exponentes enteros son verdaderos para los números reales positivos con exponentes no enteros también. Sin embargo, la identidad

(R ^) ^ s = a ^ {r \ cdot s}

no se puede ampliar constantemente a donde a es un número real negativo, ver las raíces negativas n º . El hecho de que esta identidad es la base de los problemas con las potencias de números complejos se detalla en el fracaso de las identidades y el logaritmo de la energía . n principal de la raíz ª

De arriba a abajo: x 1 / 8 x 1 / 4 x 1 / 2 x 1, x 2, x 4, x 8.

Artículo principal: -ésima raíz n

Una raíz n-ésima de un número a es un número x tal que x n = a.

Si a es un número real positivo y n es un entero positivo, entonces no es exactamente una verdadera solución positiva para x = a n. Esta solución se llama el director -ésima raíz n de un archivo. Se denota n √ a, donde √   es el radical símbolo , alternativamente, se puede escribir un 1 / n

Por ejemplo: 4 1 / 2 = 2, 8 1 / 3 = 2,

Cuando se habla de la raíz n-ésima de un positivo número real a, por lo general se entiende la n-ésima raíz principal. Racional de las competencias

Una potencia de un número real positivo una con una racional exponente m / n en los términos más satisface

a ^ {m / n} = \ left (a, m ^ \ right) ^ {1 / n} = \ sqrt [n] ā m ^

donde m es un entero y n es un entero positivo. Potencias de e Artículo principal: Función exponencial

La importancia constante matemática e , a veces llamado número de Euler , es aproximadamente igual a 2,718 y es la base del logaritmo natural . Proporciona un camino para definir la exponenciación con exponentes no enteros. Se define como el límite siguiente, en que el poder tiende a infinito cuando la base tiende a uno:

e = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac 1 n \ right) ^ n.

La función exponencial , definida por

E ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac xn \ right) ^ n,

tiene la x por escrito como una potencia, ya que satisface la identidad exponencial de base

E ^ {x + y} = e ^ {x} \ cdot e ^ {y}.

La función exponencial se define para todos los enteros, fracciones, raíces y complejos los valores de x. Incluso se puede utilizar para ampliar la exponenciación de algunas entidades no numéricos, tales como matrices cuadradas , sin embargo, la identidad exponencial sólo se mantiene cuando x e y conmutar.

Una prueba corta que el correo a un entero k poder positivo es el mismo que k e es:

(E) k ^ = \ left (\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n \ right) ^ k = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty } \ left (\ left

(1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n \ right) ^ k = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {k \ n k cdot } \ right) ^ {n \ cdot k}

 = \ Lim_ {n \ cdot k \ rightarrow \ infty} \ left (1 {k n \ cdot} + \ frac k \ right) ^ {n \ cdot} k = \ lim_ {m \ rightarrow \ infty} \ left ( 1 + \ frac

 kilometros \ right) ^ m = k ^ e.

Esta prueba muestra también que el e x + y satisface la identidad exponencial cuando x e y son números enteros positivos. Estos resultados son, de hecho, cierto en general para todos los números, no sólo para los enteros positivos. poderes Real

Puesto que cualquier número real puede ser aproximado por los números racionales, exponenciales a un verdadero exponente arbitraria x puede ser definido por la continuidad de la norma

b = x ^ \ lim_ {r \ ax} r ^ b \ quad (r \ in \ mathbb Q, \, x \ in \ mathbb R),

donde el límite cuando r se aproxima a x se toma sólo por valores racionales de r.

Por ejemplo, si

x \ aproximadamente 1.732

a continuación,

5 x ^ \ ^ unos 5 {1,732} = 5 ^ {433/250} = \ sqrt [250] {5 ^ {433}} \ aproximadamente 16.241.

Exponenciación por un poder real se realiza normalmente mediante logaritmos en lugar de utilizar los límites de las competencias de racional.

El logaritmo natural ln (x) es la inversa de la función exponencial e x. Se define para b> 0, y satisface

b = e ^ {\ b ln}. \,

Si b es x que se define a fin de preservar y exponente normas logaritmo, entonces uno debe tener

B ^ x = (e ^ {\ ln b}) ^ x = e ^ {x \ cdot \ ln b}. \,

Esto motiva a la definición

b ^ x = e ^ {x \ cdot b \ ln} \,

para cada número real x.

Esta definición del número b poder real x está de acuerdo con la definición anterior usando exponentes racionales y continuidad. La definición de exponenciación usando logaritmos es más común en el contexto de los números complejos, como veremos a continuación. Negativo º n raíces

Potencias de un número real positivo son siempre números reales positivos. La solución de x 2 4, sin embargo, puede ser = 2 o −2. El principal valor de 4 1 / 2 es 2, pero −2 es también una raíz cuadrada válida. Si la definición de los exponentes de los números reales se amplía para permitir resultados negativos, el resultado ya no se comportan bien.

Si n es aun , entonces x n = a tiene dos soluciones si a es positivo, que son los n º negativos y las raíces positivas. La ecuación no tiene solución en números reales si a es negativo.

Si n es impar, entonces x n = a tiene una solución real. La solución es positiva si uno es positivo y negativo si es negativa.

Racional m poderes / n, donde m / n es en los términos más simples, son positivos si m es par, negativo para una negativa si m y n son impares, y puede ser firme si uno es positivo y n es par. (−27) 1 / 3 = −3, (−27) 2 / 3 = 9, y 4 3 / 2 tiene dos raíces 8 y −8. Dado que no existe un número real x tal que x 2 = −1, la definición de un m / n cuando a es negativo y n es par debe utilizar la unidad imaginaria i, tal como se describe con más detalle en la sección de potencias de los números complejos .

Ni el método ni el método de logaritmo exponente racional puede ser utilizado para definir una r como un número real de un número real negativo y un número real r arbitrario. De hecho, r e es positivo para cada número real r, por lo que ln (a) no se define como un número real de ≤ 0. (Por otra parte, arbitraria competencias complejas de los números negativos uno puede ser definido por la elección de un logaritmo complejo de una.)

El método de exponente racional no se puede utilizar para los valores negativos de una porque se basa en la continuidad . La función f ® = r tiene una continua extensión única de los números racionales a los números reales para cada a> 0. Pero cuando a <0, la función f no es continua, incluso en el conjunto de números racionales r para el que se define.

Por ejemplo, considere a = −1. El n º raíz de −1 es −1 por cada número natural n impar. Así que si n es un entero positivo impar, (−1) (m / n) = −1 si m es impar, y (−1) (m / n) = 1 si m es par. Así, el conjunto de q los números racionales para los que −1 q = 1 es denso en los números racionales, como es el conjunto de q que q = −1 −1. Esto significa que la función de (−1) q no es continua en cualquier número racional q si se define.

El cuidado necesita ser tomado para la aplicación de la ley de potencia con identidades negativas º n raíces. Por ejemplo, −27 = (−27) ((2 / 3) x (2.3)) = ((−27) 2 / 3) 3 / 2 = 9 3 / 2 = 27 es claramente errónea. El problema se produce al tomar la raíz cuadrada positiva en vez de la negativa en el último paso, pero en general el mismo tipo de problemas se producen como se describe para los números complejos en la sección de incumplimiento de las identidades y el logaritmo de la energía .

poderes Complejo de números reales positivos

poderes e imaginaria de

Artículo principal: Función exponencial

La función exponencial e z puede ser defin

ido como el límite de (1 + z / N) N, N tiende a infinito, y por lo tanto iπ e es el límite de (1 + iπ / N) N.

En esta animación N tiene varios valores creciente de 1 a 100. El cálculo de (1 + iπ / N) N se muestra como el efecto combinado de N multiplicaciones repetidas en el plano complejo , con el punto final es el valor real de (1 + iπ / N) N. Se puede observar que a medida que N se hace más grande (1 + iπ / N) N se acerca a un límite de 1. Por lo tanto, e iπ = −1, lo que se conoce como la identidad de Euler .

La interpretación geométrica de las operaciones con números complejos y la definición de las competencias de correo es la clave para la comprensión e ix de verdad x. Considere el triángulo rectángulo (0, 1, 1 + ix / n). Para valores grandes de n el triángulo es casi un sector circular con un centro pequeño ángulo igual que x n / radianes . Los triángulos (0, (1 + ix / n) k, (1 + ix / n) k +1) son mutuamente similares para todos los valores de k. Así que para valores grandes de n el punto límite de (1 + ix / n) n es el punto en el círculo de la unidad cuyo ángulo desde el eje real positivo x radianes. Las coordenadas polares de este punto son (r, θ) = (1, x), y las coordenadas cartesianas son (cos x, sen x). Así ix e = cos + i sen x x, y esta es la fórmula de Euler , la conexión de álgebra a la trigonometría por medio de números complejos .

Las soluciones a la ecuación e = z 1 son los múltiplos enteros de 2 iπ:

\ {Z: e ^ z = 1 \} = \ {i 2k \ pi: k \ in \ mathbb {Z} \}.

De manera más general, si b e = a, entonces todas las soluciones de e z = a se puede obtener mediante la adición de un múltiplo entero de 2π i de b:

\ {Z: e ^ z = a \} = \ {b + i 2k \ pi: k \ in \ mathbb {Z} \}.

Así, la función exponencial compleja es una función periódica con periodo 2π i.

Más sencillamente: e iπ = −1; e x + iy = e x (y + sen y cos i). Funciones trigonométricas

Artículo principal: la fórmula de Euler

Se deduce de la fórmula de Euler que la funciones trigonométricas seno y coseno son

\ Cos (z) = \ frac {e ^ {i \ cdot z +} e ^ {-i \ cdot z}} {2} \ qquad \ sin (z) = \ frac {e ^ {i \ cdot z} - e ^ {-i \ cdot z}} {2 \ cdot i} \,.

Históricamente, coseno y seno se definen geométricamente antes de la invención de los números complejos. La fórmula anterior reduce las fórmulas complicadas para las funciones trigonométricas de la suma en la fórmula exponencial simple

e ^ {i \ cdot (x + y)} = e ^ {i \ cdot e ^ x} \ cdot {i \ y cdot}. \,

Uso de exponenciación con exponentes complejos pueden reducir los problemas de trigonometría al álgebra. Complejo de poderes e

La energía e i + x · y es e calcula x · e y i ·. El correo verdadero factor x es el valor absoluto de x e y + · i y el factor de complejidad e i · y se identifica la dirección de e x + y i.

poderes Complejo de números reales positivos

Si a es un número real positivo, y z es cualquier número complejo, el poder de un z se define como e z · ln (a), donde x = ln (a) es la única solución real a la ecuación e x = a. Así que el mismo método de trabajo para los exponentes real también funciona para los exponentes complejos. Por ejemplo:

2 i = e i · ln (2) = cos (ln (2)) + i pecado · (ln (2)) = 0,7692 + i · 0,63896

e i = 0,54030 0,84147 + i.

10 i = −0.66820 + i · 0,74398

(E π 2 ·) i = 535.49 i = 1

Potencias de números complejos

poderes de enteros de los números complejos no nulos se define por la multiplicación o división repetida que el anterior. Si i es la unidad imaginaria y n es un entero, entonces n es igual a 1 i, i, 1, o - i, según que el entero n es congruente con 0, 1, 2 o 3 módulo 4. Debido a esto, los poderes de i son útiles para la expresión de secuencias de período de 4 .

Complejo de poderes reales positivos se definen a través del correo x como en la sección poderes Complejo de números reales positivos anteriormente. Estas son funciones continuas.

Tratando de ampliar estas funciones para el caso general de las competencias no enteros de los números complejos que no son reales positivos conduce a dificultades. O bien definir funciones o funciones con varios valores . Ninguna de estas opciones es totalmente satisfactoria.

El poder racional de un número complejo debe ser la solución a una ecuación algebraica. Por lo tanto, siempre tiene un número finito de valores posibles. Por ejemplo, w = z 1 / 2 debe ser una solución a la ecuación w = z 2. Pero si w es una solución, entonces también lo es - w, ya que (−1) 2 = 1. Una solución, pero un tanto arbitraria único llamado el valor principal se puede elegir mediante una regla general que se aplica también para las potencias racionales.

competencias complejas y los logaritmos son más natural manejado como una sola las funciones con valores en una superficie de Riemann . Solo versiones valorados son definidos por la elección de una hoja. El valor tiene una discontinuidad a lo largo de una rama que se corta . Elegir una de muchas soluciones como el valor principal que nos deja con las funciones que no son continuas, y las normas habituales para la manipulación de poderes puede llevarnos por mal camino.

Todo el poder irracional de un número complejo tiene un número infinito de valores posibles debido a la naturaleza multi-valor del logaritmo complejo (véase a continuación ). El principal valor es un valor único elegido de estos por una norma que, entre sus otras propiedades, garantiza las competencias de los números complejos con una parte real positiva y parte imaginaria cero da el mismo valor que para los números reales correspondientes.

Exponenciación un número real a una potencia compleja es formalmente una operación diferente de la de los números complejos correspondientes. Sin embargo, en el caso común de un número real positivo el principal valor es el mismo.

Los poderes de los números reales negativos no siempre son definidos y son discontinuas, incluso cuando se define. Cuando se trabaja con números complejos de la operación número complejo se utiliza normalmente en su lugar.

Complejo de energía de un número complejo

Para los números complejos a y b con a ≠ 0, la notación a, b es ambigua en el mismo sentido en que un registro es.

Para obtener un valor de a, b, en primer lugar elegir un logaritmo de un; lo llaman un registro. Esta elección puede ser el valor principal registro de una (el valor predeterminado, si no se da otra especificación), o tal vez un valor determinado por algún otro ramo de registro z fijado por anticipado. Luego, utilizando la función exponencial compleja se define

a = e b b registro de una

porque esto está de acuerdo con la definición anterior , en el caso donde a es un número real positivo y lo real) principal valor (de un registro se utiliza.

Si b es un número entero , entonces el valor de a, b es independiente de la elección de un registro, y está de acuerdo con la definición anterior de exponentation con un exponente entero .

Si b es un número racional n / m en términos más simples con m> 0, entonces las muchas opciones infinitamente de registro de un rendimiento sólo m valores diferentes de a, b, estos valores son el complejo de soluciones m z de la ecuación m z = a n .

Si b es un número irracional , entonces las muchas opciones infinitamente de registro de un lugar a distintas infinitamente muchos valores para un b.

El cálculo de las competencias complejas se facilita mediante la conversión de la base de una forma polar , tal como se describe en detalle a continuación .

Una construcción similar se emplea en cuaterniones

raíces complejas de la unidad

Artículo principal: Raíz de la unidad

Las tres raíces de un tercero

Un número complejo a tal que a n = 1 para un entero positivo n es un n º raíz de la unidad. Geométricamente, las raíces de la unidad n º situados en el círculo unitario del plano complejo en los vértices de un n-gon regular con un vértice en el número real 1.

Si z n = 1, pero ≠ k z 1 para todos los números naturales k tal que 0 <n <k, entonces z se llama enésima raíz primitiva de la unidad. La unidad negativo −1 es la única plaza raíz primitiva de la unidad. La unidad imaginaria i es uno de los dos 4 º raíces primitivas de la unidad, el otro es - i.

El número e 2 πi (1 / n) es la enésima raíz primitiva de la unidad más pequeña con el positivo argumento complejo . (A veces se llama la raíz n º principal de la unidad, aunque esta terminología no es universal y no debe ser confundido con el principal valor de n √ 1, que es 1. [1] )

El n º otras raíces de la unidad están dadas por

\ Left (e ^ {i 2 \ pi (1 / n)} \ right) ^ ^ k = e {ik 2 \ pi / n}

para 2 ≤ k ≤ n. Las raíces de números complejos arbitrarios

Aunque hay un número infinito de valores posibles para un logaritmo complejo en general, sólo hay un número finito de valores para el poder una z en el caso especial importante cuando z = 1 / n, y n es un entero positivo. Estas son las raíces de un n º, son soluciones de la ecuación x = a n. Al igual que con raíces reales, una segunda raíz también se le llama raíz cuadrada y una tercera raíz también se le llama raíz cúbica.

Es convencional de las matemáticas para definir un 1 / n como el principal valor de la raíz. Si a es un número real positivo, es también convencional para seleccionar un número real positivo como el valor principal de la raíz de 1 / n. Para los números complejos en general, la raíz enésima con el menor argumento suele ser seleccionado como el principal valor de la operación de la raíz n º, al igual que los principales valores de las raíces de la unidad.

El conjunto de n º raíces de un número complejo a se obtiene multiplicando el valor principal de 1 / n por cada una de las raíces n º de unidad. Por ejemplo, la raíz cuarta de 16 son 2, −2, 2 i, y i-2, ya que el valor principal de la raíz cuarta de 16 es 2 y la raíz cuarta de la unidad son 1, −1, i, y - i. Informáticos complejos poderes

A menudo es más fácil de calcular las competencias complejas por escrito el número que se exponentes en forma polar . Cada número complejo z se puede escribir en forma polar

z = re ^ {i \ theta} = e ^ {\ ln ® + i \ theta} \,,

donde r es un número real no negativo y θ es el (verdadero) el argumento de z. La forma polar tiene una interpretación geométrica simple: si un número complejo u + iv es considerada como representación de un punto (u, v) en el plano complejo usando coordenadas cartesianas , entonces (r, θ) es el mismo punto en coordenadas polares . Es decir, r es la “radio” r 2 = u 2 + v 2 y θ es el ángulo “θ = atan2 (v, u). El ángulo polar θ es ambigua ya que cualquier múltiplo de 2π se podría agregar a θ sin cambiar la ubicación del punto. Cada elección de θ da en general un valor diferente posible del poder. Una rama que se corta se puede utilizar para elegir un valor específico. El valor del principal (el corte de la rama más común), corresponde a θ elegido en el intervalo (-π, π]. Para los números complejos con una parte real positiva y parte imaginaria cero con el valor principal da el mismo resultado que con el correspondiente real número.

Con el fin de calcular la potencia compleja a, b, escribir una en forma polar:

r = e ^ {i \ theta} \, .

A continuación,

\ Log a = \ log r + i \ theta \,,

y por lo tanto

a ^ b = e ^ {b \ log a} = e ^ {b (r \ log + i \ theta)}. \,

Si b se descompone como c + di, entonces la fórmula de a, b se puede escribir de manera más explícita como

\ Left (r ^ ce ^ {-d \ theta} \ right) e ^ {i (r d \ log + c \ theta)} = \ left (r ^ ^ ce-d {\ theta} \ right) \ left [\ cos (r d \ log + c \ theta) + i \ sin (r d \ log + c \ theta) \ right].

Esta fórmula permite a los poderes final complejo para ser calculada fácilmente a partir de descomposiciones de la base en forma polar y el exponente en forma cartesiana. Aquí se muestra tanto en forma polar y en forma cartesiana (a través de la identidad de Euler).

Los ejemplos siguientes utilizan el valor principal, el corte de ramas que hace que θ estar en el intervalo (-π, π] formas. Para calcular i i, i escribir polares y cartesianas en:

i = e 1 \ cdot ^ {i \ pi / 2}, \,

i = 0 + 1i. \,

A continuación, la fórmula anterior, con r = 1, = π / 2, c θ = 0, y = d, los rendimientos de 1:

\ I ^ i = \ left (1 ^ 0 e ^ {- \ pi / 2} \ right) e ^ {i (1 \ cdot \ log 1 + 0 \ cdot \ pi / 2)} = e ^ {- \ pi / 2} \ aproximadamente 0,2079.

Del mismo modo, para encontrar (−2) 3 + 4 i, calcular la forma polar de −2,

-2 = 2e ^ {i \ pi} \,,

y el uso de la fórmula anterior para calcular

(−2) ^ 3 +4 ī = \ e izquierda (2 ^ 3 e ^ {−4 \ pi} \ right) ^ {i (4 \ log (2) + 3 \ pi)} \ approx (2.602 - 1.006 i) \ cdot 10 ^ {−5}.

El valor de una potencia compleja depende de la rama utilizado. Por ejemplo, si la forma polar i = 1 e i (5π / 2) se utiliza para calcular i i, el poder se encuentra en este e-5π / 2, el principal valor de i i, calculado anteriormente, es el e-π / 2. El conjunto de todos los valores posibles de i i es igual a: [2]

i = e 1 \ cdot ^ {i \ pi / 2 + i k 2 \ pi} \ \ text {} donde k \ {texto es un número entero}, \,

i ^ i = e ^ {i \ left (i \ pi / 2 + i 2 \ pi k \ right)},

= E ^ {- \ left (\ pi / 2 + k 2 \ pi \ right)}.

Así que hay una infinidad de valores que son posibles candidatos para el valor de i i, uno para cada entero k. Todos ellos tienen una parte imaginaria cero, por lo que se puede decir i i tiene una infinidad de valores válidos real. El incumplimiento de las identidades y el logaritmo de la energía

Algunas identidades de los poderes y los logaritmos de los números reales positivos se producirá un error de números complejos, no importa cómo los poderes complejos y logaritmos complejos se definen. Por ejemplo:

El registro de identidad (a, b) = b · registrar una tiene siempre es un número real positivo yb es un número real. Sin embargo, para la rama principal del logaritmo complejo cuenta con un

i \ pi = \ log (−1) = \ log ((-i) ^ 2) \, \ neq \, 2 \ log (-i) = 2 (-i \ pi / 2) =-i \ pi.

Independientemente de la rama del logaritmo se usa, un fallo similar de la identidad que existe. Lo mejor que se puede decir (aunque sólo sea con este resultado) es que:

\ Log (a ^ b) \ equiv b \ cdot \ log (a) \ pmod {i 2 \ pi}.

Esta identidad no se mantiene incluso cuando se consideran de registro en función de varios valores. Los valores posibles de log (a, b) contener las de un registro · B como un subconjunto. Uso de registros (a) para el valor principal de log (a) y m, n como cualquier enteros los posibles valores de las dos partes son:

\ Left \ {\ log (a ^ b) \ right \} = \ left \ {b \ cdot \ operatorname {Registro} (a) + b \ cdot 2 \ pi en im + 2 \ pi \ right \},

\ Left \ {b \ cdot \ log (a) \ right \} = \ left \ {b \ cdot \ operatorname {Registro} (a) + b \ cdot 2 \ pi \ right \}.

Las identidades (ab) c = a b c c y (a / b), c = a / c c b son válidas cuando ayb son números reales positivos y c es un número real. Pero un cálculo utilizando ramas principales muestra que

1 = (−1 \ veces −1) ^ {1 / 2} \, no = (−1) ^ {1 / 2} (−1) ^ {1 / 2} = −1,

y

i = (−1) ^ {1 / 2} = \ left (\ frac {1} {1} \ right) ^ {1 / 2} \, no = \ frac {1 ^ {1 / 2}} {( −1) ^ {1 / 2}} = \ frac {1} ī =-i.

Por otro lado, cuando c es un número entero, las identidades son válidas para todos los números complejos no nulos.

Si exponenciación se considera como una función de varios valores a continuación, los posibles valores de (−1 × −1) 1 / 2 son {1, −1}. La identidad tiene, pero diciendo {1} = {(−1 × −1) 1 / 2} es un error.

La identidad (E a) b ab e = vale para los números reales a y b, pero asumiendo la verdad de los números complejos lleva a la siguiente paradoja, ubierta en 1827 por Clausen : [3]

Para cualquier entero n, tenemos:

E ^ {1 + 2 \ pi} = e ^ {1} e ^ {2 \ pi} = e \ cdot 1 = e \,;

\ Left (e ^ {1 2 \ pi} \ right) ^ {1 + 2 \ pi} = e \,;

E ^ {1 + 4 \ pi n i - 4 \ pi ^ {2} ^ n {2}} = e \,;

^ E 1 e ^ {4 \ pi n i} e ^ {−4 \ pi ^ 2 ^ n = 2} e \,;

E ^ {−4 \ pi ^ 2 ^ n 2} = 1 \,.

pero esto es falso cuando el entero n es distinto de cero.

Hay una serie de problemas en el razonamiento:

El error principal es que cambiar el orden de exponenciación al pasar de la línea dos a tres cambios en lo que el principal valor elegido será.

Desde el multi-punto valioso de ver el primer error se produce incluso antes, está implícito en la primera línea y no es evidente. Es que e es un número real, mientras que el resultado de e π 2 en 1 es un número complejo mejor representado comLa substitución del número complejo para el verdadero en la segunda línea hace el poder tener valores posibles múltiples. El cambio de la orden de exponentiation de líneas dos a tres también afecta cuantos valores posibles el resultado puede tener. Cero al Complot de poder cero de z = abs (x) y con curvas rojas que ceden límites diferentes como (x, y) acercamientos (0,0). Las curvas verdes toda la producción un límite de 1. La mayor parte de autores están de acuerdo con las declaraciones relacionadas con 0 0 en las dos listas abajo, pero toman decisiones diferentes cuando esto viene a la definición 0 0 o no: ver la siguiente subdivisión. En la mayor parte de ajustes que no implican la continuidad en el exponente, interpretando 0 0 como 1 simplifica fórmulas y elimina la necesidad de casos especiales en teoremas. (Ver el siguiente párrafo para algunos ajustes que implican realmente la continuidad.) Por ejemplo: en Cuanto a 0 cuando un producto vacío lo adjudica el valor 1, aun cuando un =0. La interpretación combinatoria de 0 0 es el número de tuples vacío de elementos del juego vacío. Hay exactamente un tuple vacío. Equivalentemente, la interpretación teórica de juego de 0 0 es el número de funciones del juego vacío al juego vacío. Hay exactamente una tal función, la función vacía. [4] La nota La notación para polinomios y serie de poder confía en la definición 0 0 = 1. Las identidades como y y y el teorema de dos términos no son válidas para x = 0 a menos que 0 0 = 1. [5] En el cálculo diferencial, la regla de poder no es válida para n = 1 en x = 0 a menos que 0 0 = 1. Por otra parte, cuando 0 0 proviene de un límite de la forma, debe ser manejado como una forma indeterminada. Los límites que implican operaciones algebraicas a menudo pueden ser evaluados sustituyendo subexpresiones por sus límites; si la expresión que resulta no determina el límite original, la expresión es conocida como una forma indeterminada. [6] de Hecho, cuando f (t) y g (t) son verdaderos-valorados funciones ambo acercamiento 0 (cuando el t se acerca a un verdadero número o ± ∞), con f (t)> 0, la función f (t) g (t) no tiene que acercarse 1; según f y g, el límite de f (t) g (t) puede ser cualquier verdadero número no negativo o , o puede ser indeterminado. Por ejemplo, las funciones abajo son de la forma f (t) g (t) con f (t), g (t) → 0 como t → 0, pero los límites son diferentes:.. Tan 0 0 es una forma indeterminada. Este comportamiento muestra que la función de dos variables x y, aunque continuo en el juego {(x, y): x> 0}, no puede ser ampliado a una función continua en ningún juego que contiene (0,0), no importa como 0 0 es definido. [7] sin Embargo, en ciertas condiciones, como cuando f y g son tanto funciones analíticas como f es no negativo, el límite que se acerca del derecho es siempre 1. [8] [9] [10] En la esfera compleja, la función z w es definida para z distinto a cero eligiendo una rama del tronco z y poniéndose z w: = e los w registran z, pero no hay ninguna rama del tronco z definida en z = 0, sin mencionar en una vecindad de 0. [11]

La historia de puntos de vista que se diferencian autores Diferentes interpreta la situación encima de modos diferentes: Unos sostienen que el mejor valor para 0 0 depende del contexto, y de ahí que la definición de ello de una vez para siempre es problemática. [12] Según Benson (1999), “la opción si hay que definir 0 0 está basada en la conveniencia, no en el exactitud.” [13] Los otros sostienen que 0 0 es 1. Según p. 408 de Knuth (1992), “tiene que ser 1″, aunque él continúe a decir que “Cauchy tenía la buena razón para considerar 0 0 como una forma restrictiva indeterminada” y que “en este sentido mucho más fuerte, el valor de 0 0 es menos definido que, supongamos, el valor de 0 0″ (énfasis en el original). [14] el debate ha estado continuando al menos desde principios del 19o siglo. Entonces, la mayor parte de matemáticos estuvieron de acuerdo que 0 0 = 1, hasta que en 1821 Cauchy [15] pusiera en una lista 0 0 junto con expresiones como 0 ⁄ 0 en una mesa de formas indeterminadas. En los años 1830 Libri [16] [17] publicó un argumento poco convincente para 0 0 = 1, y el M ö el bius [18] sided con él, erróneamente afirmando que siempre que cada vez que un comentarista que firmó su nombre simplemente como “S” proporcionara el contraejemplo (de e 1/t) t, y este calmó el debate durante algún tiempo, con la conclusión aparente de este episodio que es esto 0 0 debería ser indeterminado. Más detalles pueden ser encontrados en Knuth (1992). [14] Tratamiento en computadoras IEEE que pone a flote el estándar de punto el IEEE 754–2008 estándar de punto flotante es usado en el diseño de la mayoría de las bibliotecas de punto flotantes. Esto recomienda varias funciones diferentes para calcular un poder: [19] pow trata 0 0 como 1. Este es la versión definida más vieja. Si el poder es un número entero exacto el resultado es el mismo en cuanto a pown, por otra parte el resultado es en cuanto a powr (excepto algunos casos excepcionales). el pown trata 0 0 como 1. El poder debe ser un número entero exacto. El valor es definido para bases negativas, eg pown (−3,5) es 243. el powr trata 0 0 como NaN (No-número - indeterminado). El valor es también NaN para casos como powr (−3,2) donde la base es menos que el cero. El valor es definido por el poder e ×log (base). Los lenguajes de programación Lenguajes de programación la Mayor parte de lenguaje de programación con una función de poder son puestos en práctica usando el IEEE pow funcionan y por lo tanto evalúan 0 0 como 1. Más tarde los C [20] y los estándares C describen este como el comportamiento normativo. El estándar de Java [21] mandatos este comportamiento. El Sistema de método de Marco .NET. Matemáticas. El Pow también trata 0 0 como 1. [22] el Sabio de software de Matemáticas simplifica 0 a 1, aun si ningunas coacciones son colocadas en a. [23] Esto no simplifica 0 a, y esto toma 0 0 para ser 1. El arce simplifica 0 a 1 y 0 un a 0, aun si ningunas coacciones son colocadas en un (la simplificación última es sólo válida para a> 0), y evalúa 0 0 a 1. [la cita necesitó] Macsyma también simplifica 0 a 1 y 0 un a 0, aun si ningunas coacciones son colocadas en a, pero publica un error para 0 0. [la cita necesitó] Mathematica y la Alfa de Volframio simplifican 0 en 1, aun si ningunas coacciones son colocadas en a. Mientras Mathematica no simplifica 0 a, la Alfa de Volframio devuelve dos resultados, 0 e indeterminado, para 0 a. Tanto Mathematica como la Alfa de Volframio toman 0 0 para ser una forma indeterminada. [24] Límites de poderes el cero de sección al poder cero da varios ejemplos de límites que son de la forma indeterminada 0 0. Los límites en estos ejemplos existen, pero tienen valores diferentes, mostrando que la función de dos variables x y no tiene ningún límite en el punto (0,0). Uno puede preguntar en que puntos esta función tiene realmente un límite. Más exactamente, considere la función f (x, y) = x y definida en D = {(x, y) ∈ R 2: x> 0}. Entonces D puede ser visto como un subconjunto de R 2 (es decir el juego de todos los pares (x, y) con x, y perteneciendo a la verdadera línea de número ampliada R = [∞, ∞], dotado con la topología de producto), que contendrá los puntos en los cuales la función f tiene un límite. De hecho, el f tiene un límite en todos los puntos de acumulación de D, excepto (0,0), (∞, 0), (1, ∞) (y 1, ∞). [25] en Consecuencia, este permite que defina los poderes x y por la continuidad siempre que 0 ≤ x ≤ ∞, ∞ ≤ y ≤ ∞, excepto 0 0, (∞) 0, 1 ∞ y 1 ∞, que permanecen formas indeterminadas

El Generalizaciones En el álgebra abstracta Exponentiation para exponentes de número entero puede ser definido para estructuras completamente generales en el álgebra abstracta. Deje a X ser un juego con una operación binaria asociativa de poder que es escrita multiplicatively. Entonces x el n es definido para cualquier elemento x de X y cualquier número natural distinto a cero n como el producto de copias de n de x, que es recurrentemente definido por Uno tiene las propiedades siguientes Si la operación tiene un elemento de identidad dos-sided 1 (a menudo denotado por e), entonces x 0 es definido para ser igual a 1 para cualquier x. Si la operación también tiene inversos dos-sided, y la multiplicación es asociativa entonces el magma es un grupo. El inverso de x puede ser denotado por x 1 y sigue todas las reglas habituales para exponentes. Si la operación de multiplicación es conmutativa (en cuanto al caso en grupos abelian), entonces holdss siguiente: Si la operación binaria es escrita aditivamente, cuando a menudo es para grupos abelian, entonces “exponentiation es la multiplicación repetida” puede ser reinterpretado cuando “la multiplicación es la adición repetida”. Así, cada una de las leyes de exponentiation encima tiene un análogo entre leyes de la multiplicación. Cuando uno tiene varias operaciones alrededor, cualquiera de las cuales podría ser repetido usando exponentiation, es común indicar qué operación está siendo repetida colocando su símbolo en la superescritura. Así, x * el n es x * ··· * x, mientras x * n es x * ··· * x, independientemente de las operaciones * y * podrían ser. La nota de superescritura también es usada, sobre todo en la teoría de grupo, indicar la conjugación. Es decir g h = h 1 gh, donde g y h son elementos de algún grupo. Aunque la conjugación obedezca algunas mismas leyes que exponentiation, esto no es un ejemplo de la multiplicación repetida en ningún sentido. Un quandle es una estructura algebraica en la cual estas leyes de la conjugación desempeñan un papel central. Sobre juegos

Si n es un número natural y A es un juego arbitrario, la expresión un n a menudo es usada para denotar el juego de n pedido-tuples de elementos de A. Este es el equivalente con el piso de laquiler de un n denotar el juego de funciones del juego {0, 1, 2…, n 1} al juego A; el n-tuple (0, 1, unos 2…, un n 1) representa la función que envía yo a un yo. Para un número cardinal infinito κ y un juego A, la nota un  también es usado para denotar el juego de todas las funciones de un juego de tamaño κ a A. Este es a veces escrito κ un para distinguirlo de exponentiation cardinal, definido abajo. Este generalizó exponencial también puede ser definido para operaciones en juegos o para juegos con la estructura suplementaria. Por ejemplo, en el álgebra lineal, tiene sentido de poner índice a sumas directas de espacios de vector sobre juegos de índice arbitrarios. Es decir podemos hablar de donde cada V soy un espacio de vector. Entonces si V yo = V para cada uno yo, la suma directa que resulta puede ser escrita en la nota exponencial como V () N, o simplemente V N con el entendimiento que la suma directa es la falta. Podemos sustituir otra vez el juego N por un número cardinal n para conseguir V n, aunque sin elegir un juego estándar específico con cardinality n, este sea definido sólo hasta el isomorfismo. Tomando V para ser el campo R de verdaderos números (pensado como un espacio de vector sobre sí) y n para ser algún número natural, conseguimos el espacio de vector que es el más comúnmente estudiado en el álgebra lineal, el espacio Euclidiano R n. Si la base de la operación exponentiation es un juego, la operación exponentiation es el producto Cartesiano a menos que por otra parte no declarado. Ya que productos Cartesianos múltiples producen un n - tuple, que puede ser representado por una función en un juego de cardinality apropiado, S el N se hace simplemente el juego de todas las funciones de N a S en este caso: Este cabe en con el exponentiation de números cardinales, en el sentido que | S N | = | S | | N |, donde | X | es el cardinality de X. Cuando N =2 = {0,1}, tenemos |2 X | = 2 | X |, donde 2 X, por lo general denotados por P X, son el juego de poder de X; cada subconjunto Y de X corresponde únicamente a una función en X la toma del valor 1 para x ∈ Y y 0 para x ∉ Y. En teoría de categoría artículo Principal: Categoría cerrada cartesiano En una categoría cerrada Cartesiano, la operación exponencial puede ser usada para subir un objeto arbitrario al poder de otro objeto. Este generaliza el producto Cartesiano en la categoría de juegos. Si 0 es un objeto inicial en una categoría cerrada Cartesiano, entonces el objeto exponencial 0 0 es isomorphic a cualquier objeto terminal 1. De números cardinales y ordinales artículos Principales: aritmética aritmética y ordinal cardinal En la teoría de juego, hay operaciones exponenciales para números cardinales y ordinales. Si κ y  son números cardinales, la expresión κ λ representa el cardinality del juego de funciones de cualquier juego de cardinality λ a cualquier juego de cardinality κ. [4] Si κ y  son finitos, entonces este está de acuerdo con la operación exponencial aritmética ordinaria. Por ejemplo, el juego de los 3-tuples de elementos de un juego de 2 elementos tiene cardinality 8 = 2 3. El Exponentiation de números cardinales es distinto de exponentiation de números ordinales, que es definido por un proceso de límite que implica transfinite inducción. Repetido exponentiation Como exponentiation de números naturales es motivado por la multiplicación repetida, es posible definir una operación basada en exponentiation repetido; esta operación es a veces llamada tetration. La iteración tetration conduce a otra operación, etcétera. Esta secuencia de operaciones es expresada por la función de Ackermann y la nota de flecha de Knuth. Como el exponentiation se pone más rápido que la multiplicación, que crece más rápido que adición, el tetration crece más rápido que exponentiation. Evaluado en (3,3), la adición de funciones, la multiplicación, exponentiation, tetration cede 6, 9, 27, y 7,625,597,484,987 respectivamente. En lenguajes de programación la nota de superescritura x y es conveniente en la letra, pero inoportuna para máquinas de escribir y terminales de computadora que alinean las líneas de fondo de todos los carácteres en cada línea. Muchos lenguajes de programación tienen modos alternos de expresar exponentiation que no usan superescrituras: x ↑ y: Algol, Comodoro x básico ^ y: BÁSICO, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX (y sus derivados), TI-BASIC, bc (para exponentes de número entero), Haskell (para exponentes de número entero no negativos), Lua, ÁSPID y la mayor parte de sistemas de álgebra de computadora x ^^ y: Haskell (para base fraccionaria, exponentes de número entero), D x ** y: Ada, Golpe, COBOL, Fortran, Fox Pro?, Gnuplot, O Caml?, Perl, PL/I, Pitón, Rexx, Rubí, SAS, Tcl, ABAP, Haskell (para exponentes de punto flotante), Turing, VHDL x⋆y: Poder de APL (x, y): Microsoft Excel, Delphi/Pascal (declarado en “Matemáticas” - unidad) pow (x, y): C, C, PHP, Tcl math.pow (x, y) o x ** y: Pitón Math.pow (x, y): Java, Java Script?, Modula-3, Matemáticas de ML estándares. Pow (x, y) o Big Integer?. Pow (x, y): C * (y otras lenguas usando el BCL) (expunto xy): Ceceo Común, el Esquema math:pow (x, y): el Erlang En Golpe, C, C, C *, Java, Java Script, Perl, PHP, Pitón y Rubí, el símbolo ^ representa bitwise XOR. En Pascal, esto representa el engaño.

En O Caml y ML estándar, esto representa el encadenamiento de cuerda. La historia de la nota el poder de término fue usada por el matemático griego Euclid para el cuadrado de una línea. [27] En el 9o siglo, Muhammad ibn Mūs ā ī Al—Khwārizm usó los términos mal para un cuadrado y kab para un cubo, que los matemáticos más tarde Islámicos representaron en la nota matemática como el m y k, respectivamente, antes del 15o siglo, como visto con el trabajo de Ab ū ī Al—Qalasd ī Al-ibn Al—Hasan. [28] Nicolas Chuquet usó una forma de la nota exponencial en el 15o siglo, que fue usada más tarde por Henricus Grammateus y Michael Stifel en el 16o siglo. Samuel Jeake introdujo los índices de término en 1696. [27] En el 16o siglo Robert Recorde usó el cuadrado de términos, el cubo, zenzizenzic (cuarto poder), surfolide (quinto), zenzicube (sexto), segundo surfolide (séptimo) y Zenzizenzizenzic (octavo). El Biquadrate ha sido usado para referirse al cuarto poder también. Algunos matemáticos (eg, Isaac Newton) exponentes usados sólo para poderes mayores que dos, prefiriendo representar cuadrados como multiplicación repetida. Así ellos escribirían polinomios, por ejemplo, cuando reducen bxx cx 3 d. Otro sinónimo histórico, involución, [29] es raro ahora y no debería ser aturdido con su sentido más común.

Exponentiation. (2011, May 1). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 01:57, May 2, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Exponentiation&oldid=426858046

Elevar un numero natural a una potencia de exponente negativo

Potencia de exponente negativo

Una potencia que tenga exponente negativo se cambia de lugar y de este modo su exponente automaticamente cambiara a ser positivo

a − b = 1 / ab

Potenciación. (2008, 16) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 00:44, octubre 20, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Potenciaci%C3%B3n&oldid=21021920.


Mis sitios nuevos:
Emprendedores
Politica de Privacidad