Expresión Algebraica En Forma Y Ax B

Expresión Algebraica En Forma Y Ax B

Lineal mapa

En las matemáticas, Un lineal, aplicación lineal, transformación linealO operador lineal (En algunos contextos, también llamado función lineal) Es un función entre dos espacios vectoriales que conserva las operaciones de suma de vectores y escalar multiplicación. La expresión “operador lineal” se utiliza comúnmente para aplicaciones lineales de un espacio vectorial a sí misma (es decir, endomorfismos). A veces la definición de un función lineal coincide con la de una aplicación lineal, mientras que en geometría analítica no es así.

En el lenguaje de álgebra abstracta, Una aplicación lineal es una homomorfismo de los espacios vectoriales. En el lenguaje de categoría de la teoría se trata de un morfismo en K-Vect, La categoría de espacios vectoriales sobre un determinado campo K.

efinición y primeras consecuencias

Vamos a V y W ser espacios vectoriales sobre el mismo campo K. Una de las funciones f : V → W se dice que es un lineal si para cualquier par de vectores x y y en V y cualquier escalar α en K, Las dos siguientes condiciones:

aditividad
homogeneidad de grado 1.

Esto equivale a exigir que para cualquier vectores x1, …, xm ∈ V y escalares una1, …, unam ∈ K, La siguiente igualdad se tiene:

Se sigue inmediatamente de la definición que f(0) = 0.

De vez en cuando, V y W puede ser considerado como espacios vectoriales en diferentes campos. Es entonces necesario especificar cuáles de estos campos de tierra se utiliza en la definición de “lineales”. Si V y W son considerados como espacios en el campo K que el anterior, hablamos de K-Mapas lineales. Por ejemplo, la conjugación de números complejos es una R-Lineal C → C, Pero no es C-Lineal.

Una aplicación lineal de V a K (Con K visto como un espacio vectorial sobre sí mismo) se llama funcional lineal.

Ejemplos

La identidad mapa y cero mapa son lineales.

El mapa x\mapsto cx, Donde c es una constante, es lineal.

Para los números reales, el mapa x\mapsto x^2 no es lineal.

Para los números reales, el mapa x\mapsto x+1 no es lineal (pero es un transformación afín, Y también un función lineal, Tal como se define en geometría analítica.)

Si Un es un verdadero m × n matriz, A continuación, Un define una aplicación lineal de Rn a Rm mediante el envío de la vector columna x ∈ Rn al vector columna Hacha ∈ Rm. Por el contrario, cualquier aplicación lineal entre de dimensión finita los espacios vectoriales se pueden representar de esta manera, ver la sección siguiente.

 La integrante es una aplicación lineal del espacio de todas las funciones reales integrables en algunos intervalo de a R.

 Diferenciación es una aplicación lineal del espacio de todas las funciones diferenciables en el espacio de todas las funciones.

 Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo F, Entonces las funciones que envían mapas lineales f : V → W para atenuarF(W) Por dimF(V) Matrices de la manera descrita en la secuela se están mapas lineales.

La valor esperado de una variable aleatoria X es lineal, como E[cX + una] = cE[X] + una, Pero la varianza de una variable aleatoria no es lineal, ya que viola la segunda condición, la homogeneidad de grado 1: V[cX + una] = c2V[X].

Matrices Artículo principal: Matriz de transformación

Si V y W se de dimensión finita, Y uno ha elegido las bases en esos espacios, entonces cada aplicación lineal de V a W puede ser representada como una matriz, Lo que es útil porque permite cálculos concretos. Por el contrario, las matrices de rendimiento de ejemplos de aplicaciones lineales: si Un es un verdadero mPorn la matriz, entonces la regla f(x) = Hacha describe una aplicación lineal Rn → Rm (Véase el El espacio euclidiano).

Vamos a \{\vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n\} servir de base para V. Entonces todo vector v en V es determinado únicamente por los coeficientes c_1, \cdots, c_n en

c_1 \vec{v}_1+\cdots+c_n \vec{v}_n.

Si f : V → W es una aplicación lineal,

f(c_1 \vec{v}_1+\cdots+c_n \vec{v}_n)=c_1 f(\vec{v}_1)+\cdots+c_n f(\vec{v}_n),

lo que implica que la función f está totalmente determinado por los valores de f(\vec{v}_1),\cdots,f(\vec{v}_n).

Ahora vamos a \{\vec{w}_1, \dots, \vec{w}_m\} servir de base para W. Entonces podemos representar los valores de cada f(\vec{v}_j) como

f(\vec{v}_j)=a_{1j} \vec{w}_1 + \cdots + a_{mj} \vec{w}_m.

Así, la función f está totalmente determinado por los valores de unai,j.

Si ponemos estos valores en un mPorn matriz M, Entonces convenientemente se puede utilizar para calcular el valor de f para cualquier vector en V. Porque si ponemos los valores de c_1, \cdots, c_n en un nPor una matriz C, Tenemos MC = El mPor una matriz cuyos iésimo elemento es la coordenada del f(v), Que pertenece a la base \vec{w}_i.

Un mapa lineal simple se puede representar por las matrices de muchos. Esto se debe a los valores de los elementos de la matriz depende de las bases que se eligen. Ejemplos de matrices de transformación lineal

Algunos casos especiales de transformaciones lineales de dosdimensiones espacio R2 son esclarecedores:

la rotación 90 grados hacia la izquierda:

\mathbfĀ=\begin{bmatrix}0 & −1\\ 1 & 0\end{bmatrix}

la rotación por θ grados hacia la izquierda:

\mathbfĀ=\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}

la reflexión en contra de la x eje:

\mathbfĀ=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & −1\end{bmatrix}

la reflexión en contra de la y eje:

\mathbfĀ=\begin{bmatrix}−1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}

ampliación un 2 en todas las direcciones:

\mathbfĀ=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}

asignación cortante horizontal:

\mathbfĀ=\begin{bmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{bmatrix}

apretar:

\mathbfĀ=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & 1/k\end{bmatrix}

proyección en el y eje:

\mathbfĀ=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}.

La formación de nuevos mapas lineales de las dadas

La composición de aplicaciones lineales es lineal: si f : V → W y g : W → Z son lineales, entonces también lo es su composición g o f : V → Z. De ello se desprende que el clase de todos los espacios vectoriales sobre un campo determinado K, Junto con K Lineales? mapas morfismos, Forma una categoría.

La inversa de una aplicación lineal, que se definen, es de nuevo una aplicación lineal.

Si f1 : V → W y f2 : V → W son lineales, también lo es su suma f1 + f2 (Que se define por (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)).

Si f : V → W es lineal y una es un elemento del campo de tierra K, Entonces el mapa af, Definido por (af)(x) = una (f(x)), También es lineal.

Así, el conjunto L(V,W) De los mapas lineales de V a W se forma un espacio vectorial sobre K, A veces denota Hom (V,W). Por otra parte, en el caso de que V=W, Este espacio vectorial (Fin denotado (V)) Es un álgebra asociativa bajo composición de mapas, Ya que la composición de dos aplicaciones lineales es de nuevo una aplicación lineal, y la composición de mapas siempre es asociativa. Este caso se analiza con más detalle a continuación.

Teniendo en cuenta de nuevo el caso de dimensión finita, si las bases han sido elegidos, a continuación, la composición de aplicaciones lineales corresponde a la multiplicación de matrices, La adición de mapas lineal corresponde a la Además de la matriz, Y la multiplicación de los mapas lineales con escalares corresponde a la multiplicación de matrices con escalares. Endomorfismos y automorfismos

Una transformación lineal f : V → V es una endomorfismo de V, El conjunto de todos los endomorfismos de finalización tales (V) Junto con la adición, la composición y la multiplicación escalar según la definición anterior forma álgebra asociativa con el elemento de identidad sobre el campo K (Y, en particular, una anillo). El elemento identidad multiplicativo de esta álgebra es el identidad mapa Identificación: V → V.

Un endomorfismo de V que es también un isomorfismo se llama automorfismo de V. La composición de dos automorfismos es de nuevo un automorfismo, y el conjunto de todos los automorfismos de V forma un grupo, La grupo de automorfismos de V que se denota por Aut (V) O GL (V). Desde la automorfismos son precisamente los endomorfismos que poseen inversas en la composición, Aut (V) Es el grupo de unidades en el extremo del anillo (V).

Si V tiene dimensión finita n, Luego de finalización (V) Es isomorfo a la álgebra asociativa de todos los n por n matrices con entradas en K. El grupo de automorfismos de V es isomorfo a la grupo lineal general GL (n, K) De todos los n por n matrices invertibles con las entradas en K. Kernel, la imagen y el teorema de base nulidad

Si f : V → W es lineal, se define el del núcleo y el imagen o rango de f por

\operatorname{\ker}(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}

\operatorname{im}(f)=\{\,w\in W:w=f(x),x\in V\,\}

ker (f) Es un subespacio de V y soy (f) Es un subespacio de W. Los siguientes dimensión fórmula es conocida como la -Rango de nulidad teorema:

\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( V ).

El número tenue (im (f)) También se llama el rango de f y se escribe como rango (f), O, a veces, ρ (f), El número tenue (ker (f)) Se denomina nulidad de f y escrito como nulo (f) O ν (f). Si V y W son de dimensión finita, las bases han sido elegidos y f está representada por la matriz Un, Entonces el rango y la nulidad de f son iguales a los Rango y nulidad de la matriz Un, Respectivamente. Conúcleo Artículo principal: Conúcleo

Un invariante más sutiles de una transformación lineal es la codel núcleo, Que se define como

\mathrm{coker}\,f := W/f(V) = W/\mathrm{im}(f).

Este es el doble idea al kernel: al igual que el núcleo es un subespacio de la de dominio, el co-kernel es un cociente espacio de la de destino. Formalmente, se tiene la secuencia exacta

0 \to \ker f \to V \to W \to \mathrm{coker}\,f \to 0.

Estos pueden ser interpretados de esta manera: dada una ecuación lineal f(v) = w para resolver,

el núcleo es el espacio de soluciones a la homogénea ecuación f(v) = 0, y su dimensión es el número de grados de libertad en una solución, si es que existe;

    el co-kernel es el espacio de limitaciones que deben cumplirse para que la ecuación es tener una solución, y su dimensión es el número de limitaciones que deben ser satisfechas para que la ecuación tiene una solución.

La dimensión de la co-núcleo y la dimensión de la imagen (el rango) se suman a la dimensión del espacio de destino. Para las dimensiones finitas, esto significa que la dimensión del espacio cociente W / f(V) es la dimensión del espacio objetivo menos la dimensión de la imagen.

Como un simple ejemplo, considere el mapa f\colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}^2, propuesta por f(x,y) = (0,y). Luego de una ecuación f(x,y) = (una,b) tener una solución, debemos tener una = 0 (Una restricción), y en ese caso el espacio de soluciones es (x,b), o equivalente declaró, (0,b) + (x,0), (Un grado de libertad). El núcleo se puede expresar como el subespacio (x,0) < V: el valor de x es la libertad en una solución -, mientras que el conúcleo se puede expresar a través del mapa W \to \mathbf{R}^1, (a,b) \mapsto (a): dado un vector (una,b), el valor de una es el obstrucción a que exista una solución.

Un ejemplo que ilustra el caso de dimensión infinita es otorgada por el mapa g\colon \mathbf{R}^\infty \to \mathbf{R}^\infty, \{a_n\} \mapsto \{b_n\} con b1 = 0 y bn + 1 = unan de n > 0. Su imagen se compone de todas las secuencias con primer elemento 0, por lo que su conúcleo consta de las clases de secuencias con el primer elemento idéntico. Así, mientras que su núcleo tiene dimensión 0 (se asigna sólo la secuencia de cero a la secuencia de cero), su co-núcleo tiene dimensión 1. Desde el dominio y el espacio de destino son los mismos, el rango y la dimensión del núcleo se suman a la misma suma como el rango y la dimensión de la co-núcleo ( \aleph_0 + 0 = \aleph_0 + 1 ), Pero en el caso de dimensión infinita que no se puede deducir que el núcleo y la co-núcleo de un endomorfismo tienen la misma dimensión (0 \neq 1). La situación inversa se obtiene para el mapa h\colon \mathbf{R}^\infty \to \mathbf{R}^\infty, \{a_n\} \mapsto \{c_n\} con cn = unan + 1. Su imagen es el espacio blanco entero, y por lo tanto, su co-núcleo tiene dimensión 0, pero como los mapas de todas las secuencias en las que sólo el primer elemento es distinto de cero a la secuencia cero, su núcleo tiene dimensión 1. Índice

Para un operador lineal con el núcleo de dimensión finita y el núcleo co-, se puede definir índice de como:

\mathrm{ind}\,f := \dim \ker f - \dim \mathrm{coker}\,f,

es decir, los grados de libertad, menos el número de restricciones.

Para una transformación entre espacios vectoriales de dimensión finita, esto es sólo la diferencia oscuroV - Dim W?, por rango-nulidad. Esto da una indicación de cómo las soluciones o cuántas restricciones se tiene: si la cartografía de un espacio más grande a una más pequeña, el mapa puede ser en, por lo que tendrán los grados de libertad, incluso sin restricciones. Por el contrario, si la cartografía de un espacio más pequeño a uno más grande, el mapa no puede ser en, por lo que uno tiene limitaciones, incluso sin grados de libertad.

El índice viene de sus propias dimensiones infinitas: es la forma homología se define, que es una teoría central en el álgebra y la topología algebraica, El índice de un operador es precisamente el Característica de Euler de la 2-término complejo 0 \to V \to W \to 0. En operador de la teoría, El índice de Fredholm los operadores es un objeto de estudio, con un resultado importante es el Atiyah-Singer Teorema del Índice. Algebraica clasificaciones de las transformaciones lineales

No existe una clasificación de los mapas lineales podía esperar a ser exhaustiva. La lista incompleta siguiente se enumeran algunas clasificaciones importantes que no requiere ninguna estructura adicional en el espacio vectorial.

Vamos a V y W designar espacios vectoriales sobre un campo, F. Vamos a T:V → W una aplicación lineal.

T se dice que es inyectiva o una monomorfismo si alguna de las condiciones equivalentes siguientes:

T es uno-a-uno como un mapa de conjuntos.

kerT = {0V}

T es monic o hacia la izquierda-cancelables, es decir, para cualquier espacio vectorial U y cualquier par de aplicaciones lineales R:U → V y S:U → V, La ecuación TR=TS implica R=S.

T es izquierda invertible, Es decir, existe una correlación lineal S:W → V de tal manera que ST es el identidad mapa en V.

T se dice que es sobreyectiva o una epimorfismo si alguna de las condiciones equivalentes siguientes:

T es en como un mapa de conjuntos.

coker T = {0W}

T es épica o la derecha-cancelables, es decir, para cualquier espacio vectorial U y cualquier par de aplicaciones lineales R:W → U y S:W → U, La ecuación RT=ST implica R=S.

T es derecho invertible, Es decir, existe una correlación lineal S:W → V de tal manera que TS es el identidad mapa en W.

T se dice que es un isomorfismo si es a la vez de izquierda y derecha invertible. Esto es equivalente a T ser a la vez uno a uno y en (un biyección de conjuntos) o también a T ser a la vez épico y armónica, y siendo así que un bimorphism.

Si T: V → V es un endomorfismo, entonces:

Si, para algún entero positivo n, La n-Ésima iteración del T, Tn, Es igual a cero, entonces T se dice que es nilpotente.

Si T T = T, A continuación, T se dice que es idempotente

Si T = k I, Donde k es un escalar, entonces T se dice que es una transformación de escala o mapa multiplicación escalar, ver escalar de la matriz.

Continuidad Artículo principal: lineal discontinua

Un operador lineal entre espacios topológicos del vector, Por ejemplo espacios normados, También puede ser continua y por lo tanto ser un operador lineal continuo. En un espacio normado, un operador lineal es continua si y sólo si es delimitadas, Por ejemplo, cuando el dominio es de dimensión finita. Si el dominio es de dimensión infinita, entonces puede haber discontinuos operadores lineales. Un ejemplo de una ilimitada, por lo tanto no continua, transformación lineal es la diferenciación en el espacio de funciones suaves equipado con la norma del supremo (una función con valores pequeños pueden tener un derivado con grandes valores, mientras que la derivada de 0 es 0). Aplicaciones

Una aplicación específica de los mapas es lineal para las transformaciones geométricas, como las realizadas en gráficos por ordenador, Cuando la traducción, rotación y escala de 2D o 3D, los objetos se realiza mediante el uso de un matriz de transformación.

Otra aplicación de estas transformaciones está en optimizaciones del compilador de código de bucle anidado, y en la paralelización de las técnicas de compilación.

Linear map. (2011, March 2). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 00:43, May 22, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Linear_map&oldid=416670785

Expresion algebraica en forma y=axb

Una función lineal de una variable real es una función matemática de la forma:

f(x)= mx + b

donde m y b son constantes. Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente

y = mx + b

que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

m es denominada la pendiente de la recta.

b es la ordenada en el origen, el valor de y en el punto x= 0.

Función lineal. (2008, 10) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:01, octubre 19, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_lineal&oldid=20850388.

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