En las matemáticas, Un lineal, aplicación lineal, transformación linealO operador lineal (En algunos contextos, también llamado función lineal) Es un función entre dos espacios vectoriales que conserva las operaciones de suma de vectores y escalar multiplicación. La expresión “operador lineal” se utiliza comúnmente para aplicaciones lineales de un espacio vectorial a sí misma (es decir, endomorfismos). A veces la definición de un función lineal coincide con la de una aplicación lineal, mientras que en geometría analítica no es así.
En el lenguaje de álgebra abstracta, Una aplicación lineal es una homomorfismo de los espacios vectoriales. En el lenguaje de categoría de la teoría se trata de un morfismo en K-Vect, La categoría de espacios vectoriales sobre un determinado campo K.
efinición y primeras consecuencias
Vamos a V y W ser espacios vectoriales sobre el mismo campo K. Una de las funciones f : V → W se dice que es un lineal si para cualquier par de vectores x y y en V y cualquier escalar α en K, Las dos siguientes condiciones:
aditividad
homogeneidad de grado 1.Esto equivale a exigir que para cualquier vectores x1, …, xm ∈ V y escalares una1, …, unam ∈ K, La siguiente igualdad se tiene:
Se sigue inmediatamente de la definición que f(0) = 0.
De vez en cuando, V y W puede ser considerado como espacios vectoriales en diferentes campos. Es entonces necesario especificar cuáles de estos campos de tierra se utiliza en la definición de “lineales”. Si V y W son considerados como espacios en el campo K que el anterior, hablamos de K-Mapas lineales. Por ejemplo, la conjugación de números complejos es una R-Lineal C → C, Pero no es C-Lineal.
Una aplicación lineal de V a K (Con K visto como un espacio vectorial sobre sí mismo) se llama funcional lineal.
Ejemplos
La identidad mapa y cero mapa son lineales.
El mapa x\mapsto cx, Donde c es una constante, es lineal.
Para los números reales, el mapa x\mapsto x^2 no es lineal.
Para los números reales, el mapa x\mapsto x+1 no es lineal (pero es un transformación afín, Y también un función lineal, Tal como se define en geometría analítica.)
Si Un es un verdadero m × n matriz, A continuación, Un define una aplicación lineal de Rn a Rm mediante el envío de la vector columna x ∈ Rn al vector columna Hacha ∈ Rm. Por el contrario, cualquier aplicación lineal entre de dimensión finita los espacios vectoriales se pueden representar de esta manera, ver la sección siguiente.
La integrante es una aplicación lineal del espacio de todas las funciones reales integrables en algunos intervalo de a R
Diferenciación es una aplicación lineal del espacio de todas las funciones diferenciables en el espacio de todas las funciones.
Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo F, Entonces las funciones que envían mapas lineales f : V → W para atenuarF(W) Por dimF(V) Matrices de la manera descrita en la secuela se están mapas lineales.
La valor esperado de una variable aleatoria X es lineal, como E[cX + una] = cE[X] + una, Pero la varianza de una variable aleatoria no es lineal, ya que viola la segunda condición, la homogeneidad de grado 1: V[cX + una] = c2V[X].
Matrices Artículo principal: Matriz de transformación
Si V y W se de dimensión finita, Y uno ha elegido las bases en esos espacios, entonces cada aplicación lineal de V a W puede ser representada como una matriz, Lo que es útil porque permite cálculos concretos. Por el contrario, las matrices de rendimiento de ejemplos de aplicaciones lineales: si Un es un verdadero mPorn la matriz, entonces la regla f(x) = Hacha describe una aplicación lineal Rn → Rm (Véase el El espacio euclidiano).
Vamos a \{\vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n\} servir de base para V. Entonces todo vector v en V es determinado únicamente por los coeficientes c_1, \cdots, c_n en
c_1 \vec{v}_1+\cdots+c_n \vec{v}_n.
Si f : V → W es una aplicación lineal,
f(c_1 \vec{v}_1+\cdots+c_n \vec{v}_n)=c_1 f(\vec{v}_1)+\cdots+c_n f(\vec{v}_n),
lo que implica que la función f está totalmente determinado por los valores de f(\vec{v}_1),\cdots,f(\vec{v}_n).
Ahora vamos a \{\vec{w}_1, \dots, \vec{w}_m\} servir de base para W. Entonces podemos representar los valores de cada f(\vec{v}_j) como
f(\vec{v}_j)=a_{1j} \vec{w}_1 + \cdots + a_{mj} \vec{w}_m.
Así, la función f está totalmente determinado por los valores de unai,j.
Si ponemos estos valores en un mPorn matriz M, Entonces convenientemente se puede utilizar para calcular el valor de f para cualquier vector en V. Porque si ponemos los valores de c_1, \cdots, c_n en un nPor una matriz C, Tenemos MC = El mPor una matriz cuyos iésimo elemento es la coordenada del f(v), Que pertenece a la base \vec{w}_i.
Un mapa lineal simple se puede representar por las matrices de muchos. Esto se debe a los valores de los elementos de la matriz depende de las bases que se eligen. Ejemplos de matrices de transformación lineal
Algunos casos especiales de transformaciones lineales de dosdimensiones espacio R2 son esclarecedores:
la rotación 90 grados hacia la izquierda:
\mathbfĀ=\begin{bmatrix}0 & −1\\ 1 & 0\end{bmatrix}
la rotación por θ grados hacia la izquierda:
\mathbfĀ=\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}
la reflexión en contra de la x eje:
\mathbfĀ=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & −1\end{bmatrix}
la reflexión en contra de la y eje:
\mathbfĀ=\begin{bmatrix}−1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}
ampliación un 2 en todas las direcciones:
\mathbfĀ=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}
asignación cortante horizontal:
\mathbfĀ=\begin{bmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{bmatrix}
apretar:
\mathbfĀ=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & 1/k\end{bmatrix}
proyección en el y eje:
\mathbfĀ=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}.
La formación de nuevos mapas lineales de las dadas
La composición de aplicaciones lineales es lineal: si f : V → W y g : W → Z son lineales, entonces también lo es su composición g o f : V → Z. De ello se desprende que el clase de todos los espacios vectoriales sobre un campo determinado K, Junto con K Lineales? mapas morfismos, Forma una categoría.
La inversa de una aplicación lineal, que se definen, es de nuevo una aplicación lineal.
Si f1 : V → W y f2 : V → W son lineales, también lo es su suma f1 + f2 (Que se define por (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)).
Si f : V → W es lineal y una es un elemento del campo de tierra K, Entonces el mapa af, Definido por (af)(x) = una (f(x)), También es lineal.
Así, el conjunto L(V,W) De los mapas lineales de V a W se forma un espacio vectorial sobre K, A veces denota Hom (V,W). Por otra parte, en el caso de que V=W, Este espacio vectorial (Fin denotado (V)) Es un álgebra asociativa bajo composición de mapas, Ya que la composición de dos aplicaciones lineales es de nuevo una aplicación lineal, y la composición de mapas siempre es asociativa. Este caso se analiza con más detalle a continuación.
Teniendo en cuenta de nuevo el caso de dimensión finita, si las bases han sido elegidos, a continuación, la composición de aplicaciones lineales corresponde a la multiplicación de matrices, La adición de mapas lineal corresponde a la Además de la matriz, Y la multiplicación de los mapas lineales con escalares corresponde a la multiplicación de matrices con escalares. Endomorfismos y automorfismos
Una transformación lineal f : V → V es una endomorfismo de V, El conjunto de todos los endomorfismos de finalización tales (V) Junto con la adición, la composición y la multiplicación escalar según la definición anterior forma álgebra asociativa con el elemento de identidad sobre el campo K (Y, en particular, una anillo). El elemento identidad multiplicativo de esta álgebra es el identidad mapa Identificación: V → V.
Un endomorfismo de V que es también un isomorfismo se llama automorfismo de V. La composición de dos automorfismos es de nuevo un automorfismo, y el conjunto de todos los automorfismos de V forma un grupo, La grupo de automorfismos de V que se denota por Aut (V) O GL (V). Desde la automorfismos son precisamente los endomorfismos que poseen inversas en la composición, Aut (V) Es el grupo de unidades en el extremo del anillo (V).
Si V tiene dimensión finita n, Luego de finalización (V) Es isomorfo a la álgebra asociativa de todos los n por n matrices con entradas en K. El grupo de automorfismos de V es isomorfo a la grupo lineal general GL (n, K) De todos los n por n matrices invertibles con las entradas en K. Kernel, la imagen y el teorema de base nulidad
Si f : V → W es lineal, se define el del núcleo y el imagen o rango de f por
\operatorname{\ker}(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}
\operatorname{im}(f)=\{\,w\in W:w=f(x),x\in V\,\}
ker (f) Es un subespacio de V y soy (f) Es un subespacio de W. Los siguientes dimensión fórmula es conocida como la -Rango de nulidad teorema:
\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( V ).
El número tenue (im (f)) También se llama el rango de f y se escribe como rango (f), O, a veces, ρ (f), El número tenue (ker (f)) Se denomina nulidad de f y escrito como nulo (f) O ν (f). Si V y W son de dimensión finita, las bases han sido elegidos y f está representada por la matriz Un, Entonces el rango y la nulidad de f son iguales a los Rango y nulidad de la matriz Un, Respectivamente. Conúcleo Artículo principal: Conúcleo
Un invariante más sutiles de una transformación lineal es la codel núcleo, Que se define como
\mathrm{coker}\,f := W/f(V) = W/\mathrm{im}(f).
Este es el doble idea al kernel: al igual que el núcleo es un subespacio de la de dominio, el co-kernel es un cociente espacio de la de destino. Formalmente, se tiene la secuencia exacta
0 \to \ker f \to V \to W \to \mathrm{coker}\,f \to 0.
Estos pueden ser interpretados de esta manera: dada una ecuación lineal f(v) = w para resolver,
el núcleo es el espacio de soluciones a la homogénea ecuación f(v) = 0, y su dimensión es el número de grados de libertad en una solución, si es que existe;
el co-kernel es el espacio de limitaciones que deben cumplirse para que la ecuación es tener una solución, y su dimensión es el número de limitaciones que deben ser satisfechas para que la ecuación tiene una solución.
La dimensión de la co-núcleo y la dimensión de la imagen (el rango) se suman a la dimensión del espacio de destino. Para las dimensiones finitas, esto significa que la dimensión del espacio cociente W / f(V) es la dimensión del espacio objetivo menos la dimensión de la imagen.
Como un simple ejemplo, considere el mapa f\colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}^2, propuesta por f(x,y) = (0,y). Luego de una ecuación f(x,y) = (una,b) tener una solución, debemos tener una = 0 (Una restricción), y en ese caso el espacio de soluciones es (x,b), o equivalente declaró, (0,b) + (x,0), (Un grado de libertad). El núcleo se puede expresar como el subespacio (x,0) < V: el valor de x es la libertad en una solución -, mientras que el conúcleo se puede expresar a través del mapa W \to \mathbf{R}^1, (a,b) \mapsto (a): dado un vector (una,b), el valor de una es el obstrucción a que exista una solución.
Un ejemplo que ilustra el caso de dimensión infinita es otorgada por el mapa g\colon \mathbf{R}^\infty \to \mathbf{R}^\infty, \{a_n\} \mapsto \{b_n\} con b1 = 0 y bn + 1 = unan de n > 0. Su imagen se compone de todas las secuencias con primer elemento 0, por lo que su conúcleo consta de las clases de secuencias con el primer elemento idéntico. Así, mientras que su núcleo tiene dimensión 0 (se asigna sólo la secuencia de cero a la secuencia de cero), su co-núcleo tiene dimensión 1. Desde el dominio y el espacio de destino son los mismos, el rango y la dimensión del núcleo se suman a la misma suma como el rango y la dimensión de la co-núcleo ( \aleph_0 + 0 = \aleph_0 + 1 ), Pero en el caso de dimensión infinita que no se puede deducir que el núcleo y la co-núcleo de un endomorfismo tienen la misma dimensión (0 \neq 1). La situación inversa se obtiene para el mapa h\colon \mathbf{R}^\infty \to \mathbf{R}^\infty, \{a_n\} \mapsto \{c_n\} con cn = unan + 1. Su imagen es el espacio blanco entero, y por lo tanto, su co-núcleo tiene dimensión 0, pero como los mapas de todas las secuencias en las que sólo el primer elemento es distinto de cero a la secuencia cero, su núcleo tiene dimensión 1. Índice
Para un operador lineal con el núcleo de dimensión finita y el núcleo co-, se puede definir índice de como:
\mathrm{ind}\,f := \dim \ker f - \dim \mathrm{coker}\,f,
es decir, los grados de libertad, menos el número de restricciones.
Para una transformación entre espacios vectoriales de dimensión finita, esto es sólo la diferencia oscuroV - Dim W?, por rango-nulidad. Esto da una indicación de cómo las soluciones o cuántas restricciones se tiene: si la cartografía de un espacio más grande a una más pequeña, el mapa puede ser en, por lo que tendrán los grados de libertad, incluso sin restricciones. Por el contrario, si la cartografía de un espacio más pequeño a uno más grande, el mapa no puede ser en, por lo que uno tiene limitaciones, incluso sin grados de libertad.
El índice viene de sus propias dimensiones infinitas: es la forma homología se define, que es una teoría central en el álgebra y la topología algebraica, El índice de un operador es precisamente el Característica de Euler de la 2-término complejo 0 \to V \to W \to 0. En operador de la teoría, El índice de Fredholm los operadores es un objeto de estudio, con un resultado importante es el Atiyah-Singer Teorema del Índice. Algebraica clasificaciones de las transformaciones lineales
No existe una clasificación de los mapas lineales podía esperar a ser exhaustiva. La lista incompleta siguiente se enumeran algunas clasificaciones importantes que no requiere ninguna estructura adicional en el espacio vectorial.
Vamos a V y W designar espacios vectoriales sobre un campo, F. Vamos a T:V → W una aplicación lineal.
T se dice que es inyectiva o una monomorfismo si alguna de las condiciones equivalentes siguientes:
T es uno-a-uno como un mapa de conjuntos.
kerT = {0V}
T es monic o hacia la izquierda-cancelables, es decir, para cualquier espacio vectorial U y cualquier par de aplicaciones lineales R:U → V y S:U → V, La ecuación TR=TS implica R=S.
T es izquierda invertible, Es decir, existe una correlación lineal S:W → V de tal manera que ST es el identidad mapa en V.
T se dice que es sobreyectiva o una epimorfismo si alguna de las condiciones equivalentes siguientes:
T es en como un mapa de conjuntos.
coker T = {0W}
T es épica o la derecha-cancelables, es decir, para cualquier espacio vectorial U y cualquier par de aplicaciones lineales R:W → U y S:W → U, La ecuación RT=ST implica R=S.
T es derecho invertible, Es decir, existe una correlación lineal S:W → V de tal manera que TS es el identidad mapa en W.
T se dice que es un isomorfismo si es a la vez de izquierda y derecha invertible. Esto es equivalente a T ser a la vez uno a uno y en (un biyección de conjuntos) o también a T ser a la vez épico y armónica, y siendo así que un bimorphism.
Si T: V → V es un endomorfismo, entonces:
Si, para algún entero positivo n, La n-Ésima iteración del T, Tn, Es igual a cero, entonces T se dice que es nilpotente.
Si T T = T, A continuación, T se dice que es idempotente
Si T = k I, Donde k es un escalar, entonces T se dice que es una transformación de escala o mapa multiplicación escalar, ver escalar de la matriz.
Continuidad Artículo principal: lineal discontinua
Un operador lineal entre espacios topológicos del vector, Por ejemplo espacios normados, También puede ser continua y por lo tanto ser un operador lineal continuo. En un espacio normado, un operador lineal es continua si y sólo si es delimitadas, Por ejemplo, cuando el dominio es de dimensión finita. Si el dominio es de dimensión infinita, entonces puede haber discontinuos operadores lineales. Un ejemplo de una ilimitada, por lo tanto no continua, transformación lineal es la diferenciación en el espacio de funciones suaves equipado con la norma del supremo (una función con valores pequeños pueden tener un derivado con grandes valores, mientras que la derivada de 0 es 0). Aplicaciones
Una aplicación específica de los mapas es lineal para las transformaciones geométricas, como las realizadas en gráficos por ordenador, Cuando la traducción, rotación y escala de 2D o 3D, los objetos se realiza mediante el uso de un matriz de transformación.
Otra aplicación de estas transformaciones está en optimizaciones del compilador de código de bucle anidado, y en la paralelización de las técnicas de compilación.
Linear map. (2011, March 2). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 00:43, May 22, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Linear_map&oldid=416670785
Expresion algebraica en forma y=axb
Una función lineal de una variable real es una función matemática de la forma:
f(x)= mx + b
donde m y b son constantes. Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente
y = mx + b
que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.
m es denominada la pendiente de la recta.
b es la ordenada en el origen, el valor de y en el punto x= 0.
Función lineal. (2008, 10) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:01, octubre 19, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_lineal&oldid=20850388.
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pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar encerrarla entre comillas.
pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y relevancia al resumen del tema.
- PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados.
- Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.
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pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea, seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la biblioteca o un cafe internet.
- Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.
pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy condensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y conceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.
pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o tres parrafos de conclusiones y bibliografia.
- Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,
- Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.
pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.
pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho espacio para desplegar fotos o imagenes.
pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.
pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:
1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.
pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.
2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.
3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.
4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.
- Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema o post que se esta construyendo en Blogger.
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- Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta pagina.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)
pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.
- Crear al menos dos archivos de audio mp3:
1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)
2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)
3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.
4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:
- Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
- Para producir video se pueden usar tres fuentes:
1) Localizar Videos apropiados en Youtube.
2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.
3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que se hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalar el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.
3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.
- Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada)
- Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( puden usar la presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas, rotafolios, etc.)
- Subir los videos a su cuenta en Youtube e incluirlos o ligarlos en la pagina en Blogger, tambien los pueden subir directamente a BLOGGER ver VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.
Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.