Fórmula Que Calcula Suma De Ángulos Interiores De Un Pol ígono

Fórmula Que Calcula Suma De Ángulos Interiores De Un Pol ígono

Polinomio

En las matemáticas, Un polinomio (Del griego Polloi, “Muchos”[1] + Griego nomus, “Parte, porción”[2]) Es un expresión de finitos de longitud construido a partir de variables (También conocido como indeterminadas) Y constantes, Usando solamente las operaciones de Además, resta, multiplicación, Y no negativos entero exponentes. Por ejemplo, x2 − 4x + 7 es un polinomio, pero x2 − 4/x + 7×3/2 no es, porque su segundo plazo implica la división de la variable x (4 / x) y debido a que su tercer mandato contiene un exponente que no es un número entero (2.3). El término “polinómica” también puede ser utilizado como un adjetivo, por las cantidades que se pueden expresar como un polinomio de algunos parámetros, como en “tiempo polinómico”Que se utiliza en teoría de la complejidad computacional.

Polinomios aparecen en una amplia variedad de áreas de las matemáticas y la ciencia. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinómicas, que codifican una amplia gama de problemas, desde la primaria problemas verbales a los problemas complicados de las ciencias, sino que se utilizan para definir las funciones polinómicas, que aparecen en los entornos que van desde la base química y la física a economía y ciencias sociales, Sino que se utilizan en cálculo y análisis numérico a la aproximación de otras funciones. En matemáticas avanzadas, polinomios se utilizan para construir anillos de polinomios, Un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

Información general

Un polinomio es cero, o puede ser escrito como la suma de uno o más distinto de cero términos. El número de términos es finito. Estas condiciones consisten en una constante (llamado coeficiente de del término) que puede ser multiplicado por un número finito de variables (Por lo general representados por letras). Cada variable puede tener un exponente que es un entero no negativo, es decir, un número natural. El exponente de una variable en un término que se llama el grado de esa variable en ese plazo, el grado del término es la suma de los grados de las variables en dicho plazo, y el grado de un polinomio es el mayor grado de cualquiera de los términos uno. Desde x = x1, El grado de una variable sin un exponente escrito es uno. Un término sin variables se llama término de constante, O simplemente una constante. El grado de un término constante es 0. El coeficiente de un término puede ser cualquier número de un grupo específico. Si ese conjunto es el conjunto de los números reales, se habla de “polinomios sobre los reales”. Otros tipos comunes de los polinomios son polinomios de coeficientes enteros, polinomios con coeficientes complejos, y los polinomios con coeficientes que son números enteros módulo de algunos número primo p. En la mayoría de los ejemplos de esta sección, los coeficientes son enteros.

Por ejemplo:

es un término. El coeficiente es de −5, las variables son x y y, El grado de x es de dos, y el grado de y es uno.

El grado de todo el término es la suma de los grados de cada variable en el mismo, así que en este ejemplo, el grado es 2 + 1 = 3.

Un polinomio es una suma de términos. Por ejemplo, el siguiente es un polinomio:

Se compone de tres términos: el primero es el grado dos, el segundo es un grado, y el tercero es el grado cero.

En polinomios en una variable, las condiciones suelen ser ordenados de acuerdo al grado, ya sea en “poderes descendente de x”, Con el término de los más grandes de primer grado, o en” poderes ascendente de x”. El polinomio en el ejemplo anterior está escrito en potencias descendentes de x. El primer término tiene coeficiente variable 3, x, Y el exponente 2. En el segundo período, el coeficiente es de −5. El tercer término es una constante. Desde el grado de un polinomio distinto de cero es el mayor grado de cualquiera de los términos uno, este polinomio tiene grado dos.

Dos términos con las mismas variables planteadas a las mismas competencias que se les llama “términos semejantes”. Los polinomios se agregó con el conmutativa, de asociación, Y leyes de distribución, Mediante la combinación de términos semejantes. Por ejemplo, si

a continuación,

que se puede simplificar a

Los mismos tres leyes se utilizan para multiplicar polinomios, con cada término de un polinomio multiplicado por cada término del otro. Por ejemplo, si

a continuación,

que se puede simplificar a

La suma o producto de dos polinomios es siempre un polinomio. Formas alternativas

En general, cualquier expresión puede ser considerado como un polinomio si se construye a partir de variables y constantes utilizando sólo Además, resta, multiplicación, Y el aumento de las expresiones de constantes número entero positivo poderes.

Este tipo de expresión siempre puede volver a escribir como una suma de términos. Por ejemplo,(x + 1)3 es un polinomio, su forma estándar es x3 + 3×2 + 3x + 1.

División de un polinomio por otro no, en general, producen un polinomio, sino que produce un cociente y el resto una.[3] Un cociente de polinomios formales, es decir, una expresión en la forma de una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios, se llama una “expresión racional” o una “fracción algebraica” y no es, en general, un polinomio. División de un polinomio por un número, sin embargo, cede otro polinomio. Por ejemplo,

\frac{x^3}{12}

se considera un plazo de vigencia de un polinomio (y un polinomio por sí mismo), ya que es equivalente a \tfrac{1}{12}x^3 y \tfrac{1}{12} es una constante. Cuando esta expresión se usa como un término, su coeficiente es tanto \tfrac{1}{12}. Por razones similares, si los coeficientes complejos se les permite, uno puede tener un solo término, como (2 + 3i)x3, A pesar de que parece que debería ampliarse a dos períodos, el número complejo 2 + 3i es un número complejo, y es el coeficiente del término.

{1 \over x^2 + 1} \,

no es un polinomio, ya que incluye la división de un polinomio no constante.

( 5 + y ) ^ x ,\,

no es un polinomio, ya que contiene una variable que se utiliza como exponente.

Desde la resta puede ser reemplazado por la adición de la cantidad contrario, y como exponentes número entero positivo puede ser sustituida por la multiplicación repetida, todos los polinomios pueden construirse a partir de las constantes y variables usando la suma y la multiplicación sólo. Funciones polinómicas

Un función polinómica es una función que puede ser definido por la evaluación de un polinomio. Una de las funciones ƒ de un argumento que se llama una función polinómica si cumple

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,

para todos los argumentos x, Donde n es un entero no negativo y una0, una1,una2, …, unan son coeficientes constantes.

Por ejemplo, la función ƒ, Teniendo los números reales a los números reales, definido por

f(x) = x^3 - x\,

es una función polinómica de un argumento. Funciones polinómicas de varios argumentos también se puede definir, mediante polinomios en varias variables, como en

f(x,y)= 2x^3+4x^2y+xy^5+y^2–7.\,

Un ejemplo de ello es también la función f(x) = Cos (2arccos (x)) que, a pesar de que no se parece a un polinomio, es una función polinómica ya que por cada x es cierto que f(x) = 2×2 − 1 (Véase el Polinomios de Chebyshev).

Funciones polinómicas son una clase de funciones que tiene muchas propiedades importantes. Todos ellos son continua, suave, todo, calculable, Etc ecuaciones polinómicas

Un ecuación polinómica es una ecuación en el que un polinomio es igual a otro polinomio.

3x^2 + 4x −5 = 0 \,

es una ecuación polinómica. En caso de una ecuación polinómica la variable se considera una desconocido, Y uno trata de encontrar los posibles valores para los que ambos miembros de la ecuación de evaluar con el mismo valor (en general más de una solución puede existir). Una ecuación polinómica es ser contrastado con un identidad polinomio como (x + y)(x – y) = x2 – y2, Donde los dos miembros representan el mismo polinomio en diferentes formas, y como consecuencia de una evaluación tanto de los miembros le dará una igualdad válida. Esto significa que una identidad polinomio es una ecuación polinómica para que todos los valores posibles de las incógnitas son las soluciones. Propiedades elementales de los polinomios

Un suma de polinomios es un polinomio.

Un producto de polinomios es un polinomio

La derivados de una función polinómica es una función polinómica.

La derivada de unanxn + unan-1xn-1 + … + una2×2 + una1x + una0 es nunanxn-1 + (N-1)unan-1xn-2 + … + 2una2x + una1.

Cualquier primitivo o antiderivada de una función polinómica es una función polinómica.

Las primitivas de unanxn + unan-1xn-1 + … + una2×2 + una1x + una0 se unanxn +1/ (N +1) + unan-1xn/ N + … + una2×3/3 + una1×2/2 + una0x +c.

Polinomios sirven para aproximar otros funciones, Tales como seno, coseno, Y exponencial.

Todos los polinomios tienen una forma ampliada, en la que el ley distributiva se ha utilizado para eliminar todos los soportes. Todos los polinomios con real o complejo coeficientes también tienen una forma factorizada en la que se escribe el polinomio como producto de polinomios lineales complejos. Por ejemplo, el polinomio

x^2 - 2x - 3 \,

es la forma desarrollada del polinomio

x - 3)(x + 1),\,

que está escrito en forma factorizada. Tenga en cuenta que las constantes en los polinomios lineales (por ejemplo, −3 y 1 en el ejemplo anterior) puede ser números complejos en algunos casos, incluso si todos los coeficientes de la forma desarrollada son números reales. Esto se debe a que el campo de los números reales no es algebraicamente cerradoSin embargo, el teorema fundamental del álgebra afirma que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado.

Todo polinomio en una variable es equivalente a un polinomio de la forma

a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0.

Esta forma a veces se toma como la definición de un polinomio en una variable.

Evaluación de un polinomio consiste en asignar un número a cada variable y la realización de las multiplicaciones indicadas y adiciones. evaluación real suele ser más eficiente con el Horner régimen:

(\cdots((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \cdots + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.\,

En primaria álgebra, Se dan los métodos para la solución de todos los de primer grado y ecuaciones de segundo grado del polinomio en una variable. En el caso de las ecuaciones polinómicas, la variable a menudo se llama una desconocido. El número de soluciones no puede exceder el grado, y será equivalente a la medida cuando multiplicidad de soluciones y soluciones complejas número se cuentan. Este hecho se conoce como el teorema fundamental del álgebra.

Un sistema de ecuaciones polinómicas es un conjunto de ecuaciones en las que cada variable debe tener el mismo valor en todas partes aparece en cualquiera de las ecuaciones. Sistemas de ecuaciones suelen agruparse con una sola llave de apertura a la izquierda. En álgebra elemental, En particular en álgebra lineal, Se dan los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en varias incógnitas. Si hay más incógnitas que ecuaciones, el sistema se denomina indeterminado. Si hay más ecuaciones que incógnitas, el sistema se llama sobredeterminado. sistemas sobredeterminados son comunes en las aplicaciones prácticas. Por ejemplo, un estudio de mapeo EE.UU. utiliza computadoras para resolver ecuaciones de 2,5 millones en 400 mil incógnitas.[4]

fórmulas de Viète relacionar los coeficientes de un polinomio de simétrica polinomio funciones de sus raíces. Historia

La determinación de las raíces de polinomios, o “la resolución de ecuaciones algebraicas”, es uno de los problemas más antiguos en matemáticas. Sin embargo, la notación elegante y práctico que utilizamos hoy en día solo se desarrolla a partir del siglo 15. Antes de eso, las ecuaciones se escriben las palabras. Por ejemplo, un problema de álgebra de los chinos Aritmética en nueve secciones, Alrededor del año 200 aC, se inicia “tres haces de buena cosecha, dos gavillas de la cosecha de mediocres, y un fajo de mala cosecha se venden para el 29 de dou”. Queremos escribir 3x + 2y + z = 29. Notación Artículo principal: Historia de la notación matemática

El primer uso conocido del signo igual en Robert Recorde’S La piedra de afilar de Witte, 1557. Los signos + para sumar, - para la resta, y el uso de una carta de un desconocido aparece en Michael Stifel’S Arithemetica integración, 1544. René Descartes, En La GéométrieDe 1637, introdujo el concepto de la gráfica de una ecuación polinómica. Él popularizó el uso de las letras desde el principio del alfabeto para designar las constantes y las letras a partir del final del alfabeto para designar las variables, como puede verse más arriba, en la fórmula general de un polinomio en una variable, donde la una ‘S constantes denotan y x denota una variable. Descartes introdujo el uso de superíndices para denotar exponentes también.[5] Resolución de ecuaciones polinómicas

Cada polinomio P en x corresponde a una función, ƒ(x) = P (Donde las ocurrencias de x en P son interpretadas como el argumento de ƒ), Llamado el función polinómica de P, La ecuación en x establecimiento f(x) = 0 es el ecuación polinómica que corresponde a P. Las soluciones de esta ecuación se llama el raíces del polinomio, son los ceros de la función ƒ (Correspondientes a los puntos donde la gráfica de ƒ cumple con los x-Eje). Un número una es una raíz de P si y sólo si el polinomio x − una (De grado uno en x) Divide P. Puede suceder que x − una divide P más de una vez: si (x − una)2 divide P a continuación, una se llama raíz múltiple de P, Y de otra manera una se llama raíz simple de P. Si P es un polinomio distinto de cero, hay una mayor potencia m tal que (x − una)m divide P, Que se llama el multiplicidad de la raíz una en P. Cuando P es el polinomio cero, la ecuación polinómica correspondiente es trivial, y en este caso suele ser excluidos cuando las raíces teniendo en cuenta: con las definiciones anteriores cada número sería una raíz del polinomio cero, con el indefinido (o infinito) la multiplicidad. Con esta excepción hecha, el número de raíces de P, Incluso cuentan con sus respectivas multiplicidades, no puede exceder el grado de P.

Algunos polinomios, como x2+ 1, no tenemos raíces entre los números reales. Sin embargo, si el conjunto de candidatos admitidos se amplía a la números complejos, Todo polinomio no constante tiene por lo menos una raíz, lo que es el teorema fundamental del álgebra. Al dividir sucesivamente por los factores x − una, Se ve que cualquier polinomio con coeficientes complejos se puede escribir como (su coeficiente principal) constante veces un producto de tales factores polinomio de grado 1, como consecuencia, el número de la (compleja) raíces cuentan con sus multiplicidades es exactamente igual a la grado del polinomio.

Hay una diferencia entre la aproximación de las raíces y la búsqueda de expresiones exactas para las raíces. Fórmulas para expresar las raíces de los polinomios de grado 2 en términos de raíces cuadradas se han conocido desde la antigüedad (ver ecuación de segundo grado), Y para los polinomios de grado 3 o 4 fórmulas similares (usando raíces cúbicas, además de raíces cuadradas) se encontraron en el siglo 16 (ver Niccolo Fontana Tartaglia, Ludovico Ferrari, Gerolamo Cardano, Y Vieta). Pero las fórmulas para el grado 5 investigadores eludido. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el resultado de la atención que no puede haber ningún general (finita) la fórmula, con la participación únicas operaciones aritméticas y los radicales, que expresa las raíces de un polinomio de grado 5 o mayor, en términos de sus coeficientes (véase Abel-Ruffini teorema). Este resultado marcó el inicio de Teoría de Galois que se dedica a un estudio detallado de las relaciones entre las raíces de polinomios.

aproximaciones numéricas de las raíces de ecuaciones polinómicas con una incógnita es fácil de hacer en un equipo por el Durand-Kerner método o por algún otro la raíz del algoritmo de búsqueda.

Para polinomios en más de una variable de la noción de raíz no existe, y por lo general hay un número infinito de combinaciones de valores para las variables para las que la función polinómica toma el valor cero. Sin embargo, para ciertos conjuntos de polinomios como puede suceder que por sólo un número finito de combinaciones de todas las funciones polinómicas tomar el valor cero.

Para un conjunto de ecuaciones polinómicas de varias incógnitas, hay algoritmos para decidir si tienen un número finito de soluciones complejas. Si el número de soluciones es finito, hay algoritmos para calcular las soluciones. Los métodos se basan estos algoritmos se describen en el artículo sistemas de ecuaciones polinómicas. El caso especial donde todos los polinomios de grado uno se denomina sistema de ecuaciones lineales, Por lo que otra gama de diferentes métodos de solución existen, incluyendo el clásico eliminación de Gauss.

Se ha demostrado por Richard Birkeland y Karl Meyr que las raíces de cualquier polinomio se puede expresar en términos de múltiples variables funciones hipergeométrica. Ferdinand von Lindemann y Hiroshi Umemura mostraron que las raíces también pueden ser expresados ​​en términos de Siegel modular funciones, Las generalizaciones de la funciones theta que aparecen en la teoría de la las funciones elípticas. Estas caracterizaciones de las raíces de polinomios arbitrarios son generalizaciones de los métodos descubiertos con anterioridad para resolver el ecuación de quinto grado. Método basado en los valores propios de cálculo

Un método numérico para la eliminación progresiva de las raíces múltiples, sobre la base de cálculo de valores propios, se ha propuesto.[6][7] El método convierte el problema en una secuencia de problemas de valores propios participación de matrices tridiagonales sólo con valores propios simple: los valores propios como fácilmente se puede aproximar por medio de la Algoritmo QR. Gráficos

Una función polinómica de una variable real puede ser representado por un gráfico.

La gráfica del polinomio cero

f(x) = 0

es el xEjes.

La gráfica de un polinomio de grado 0

f(x) = una0, Donde una0 ≠ 0,

es una línea horizontal con yIntercepto una0

La gráfica de un polinomio de grado 1 (o una función lineal)

f(x) = una0 + una1x , Donde una1 ≠ 0,

es una línea oblicua con yIntercepto una0 y pendiente una1.

La gráfica de un polinomio de grado 2

f(x) = una0 + una1x + una2×2, Donde una2 ≠ 0

es una parábola.

La gráfica de un polinomio de grado 3

f(x) = una0 + una1x + una2×2, + una3×3, Donde una3 ≠ 0

es una curva cúbica.

La gráfica de cualquier polinomio con grado 2 o superior

f(x) = una0 + una1x + una2×2 + … + unanxn , Donde unan ≠ 0 y n ≥ 2

es una curva continua no lineal.

La gráfica de una no-constante (univariante) polinomio de siempre tiende a infinito cuando la variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto).

gráficos polinomio se analizan en el cálculo utilizando intersecciones, pendientes, concavidad, y el comportamiento final.

Las siguientes ilustraciones muestran los gráficos de polinomios.

Polinomio de grado 2:

f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)

Polinomio de grado 3:

f(x) = x3/4 + 3×2/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 (x+4)(x+1)(x-2)

Polinomio de grado 4:

f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5

Polinomio de grado 5:

f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

Polinomio de grado 6:

f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x

+1)(x-1)(x-3)(x-4) + 2

Polinomio de grado 7:

f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1) (x+2)(x+3)

Polinomios y cálculos Artículo principal: Cálculo con polinomios

Un aspecto importante del cálculo es el proyecto de análisis de funciones complejas por medio de la aproximación con funciones polinómicas. La culminación de estos esfuerzos es Teorema de Taylor, Que a grandes rasgos establece que todos los diferenciable función a nivel local se ve como una función polinómica, y el Casa de teorema de Weierstrass, Que establece que todos los función continua definido en una compacto intervalo de del eje real se puede aproximar en el intervalo de toda la medida de lo deseado por una función polinómica. Funciones polinómicas son también de uso frecuente para interpolar funciones.

Cálculo de derivadas e integrales de funciones polinómicas es particularmente simple. Para la función polinómica

\sum_{i=0}^n a_i x^i

la derivada con respecto a x es

\sum_{i=1}^n a_i i x^{i-1}

y la integral indefinida es

\sum_{i=0}^n {a_i\over i+1} x^{i+1}+c.

Resumen de álgebra Artículo principal: Anillo de polinomios

En álgebra abstracta, Se distingue entre polinomios y funciones polinómicas. Un polinomio f en una variable X más de un anillo R se define como la expresión formal de la forma

f = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_1 X^1 + a_0X^0

donde n es un número natural, los coeficientes a_0,\ldots,a_n son elementos de R, Y X es un símbolo oficial, cuyos poderes Xi son marcadores de posición de los coeficientes correspondientes unai, De modo que la expresión dada formal es sólo una manera de codificar la secuencia (a_0, a_1, \ldots), Donde hay una n de tal manera que unai= 0 para todo i > n. Dos polinomios compartir el mismo valor de n se consideran iguales si y sólo si las secuencias de sus coeficientes son iguales, por otro lado cualquier polinomio es igual a cualquier polinomio con mayor valor de n obtenidos de ella mediante la adición de términos ante cuyo coeficiente es igual a cero. Estos polinomios se pueden añadir simplemente añadiendo los correspondientes coeficientes (el Estado para extender los términos con coeficientes cero se puede utilizar para asegurarse de que los coeficientes que existen). Así, cada polinomio en realidad es igual a la suma de los términos utilizados en su expresión formal, en caso de un término unaiXi se interpreta como un polinomio que tiene coeficientes cero en todos los poderes del X que no sea Xi. Luego de definir la multiplicación, es suficiente por el ley distributiva para describir el producto de dos términos, que viene dada por la regla

a X^k \; b X^l = ab X^{k+l}

para todos los elementos una, b del anillo R y todos los números naturales k y l.

Así, el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en el anillo R las formas en sí un anillo, el anillo de polinomios más R, Que se denota por R[X]. El mapa de R a R[X] El envío de r a rX0 es un homomorfismo inyectivo de anillos, en la que R es visto como un subanillo de R[X]. Si R es conmutativa, A continuación, R[X] Es una álgebra más R.

Uno puede pensar en el anillo R[X] Como el resultado de R añadiendo un nuevo elemento X a R, Y se amplía de forma mínima a un anillo en el que X no satisface las relaciones que no sean los obligatorios, además de la conmutación con todos los elementos de R (Es decir Xr = rX). Para ello, hay que añadir todos los poderes del X y sus combinaciones lineales también.

Formación del anillo de polinomios, junto con la formación de anillos factor por el factoring a cabo ideales, Son herramientas importantes para la construcción de nuevos anillos de los conocidos. Por ejemplo, el anillo (en el campo de datos) de los números complejos, que puede ser construido por el anillo de polinomios R[X] Sobre los números reales por factoring a cabo el ideal de los múltiplos del polinomio X2 + 1. Otro ejemplo es la construcción de campos finitos, Que procede de manera similar, comenzando con el campo de los enteros modulo algunos número primo como el anillo de coeficientes R (Véase el aritmética modular).

Si R es conmutativo, entonces se puede asociar a cada polinomio P en R[X], Un función polinómica f con el dominio y el rango igual a R (Más en general, uno puede tomar dominio y el rango de ser el mismo unital álgebra asociativa más R). Se obtiene el valor f® Por sustitución del valor r para el símbolo X en P. Una de las razones para distinguir entre los polinomios y funciones polinomiales es que en algunos anillos polinomios diferentes pueden dar lugar a la función polinómica mismo (véase el pequeño teorema de Fermat para un ejemplo en el R es el módulo enteros p). Este no es el caso cuando R son los números reales o complejos, donde los dos conceptos no siempre se distinguen en análisis. Una razón aún más importante hacer una distinción entre polinomios y funciones polinomiales es que muchas operaciones con polinomios (como Euclidiana división) Requieren mirar lo que un polinomio se compone de una expresión en lugar de evaluar en algún valor constante para X. Y hay que señalar que si R no es conmutativo, no existe el concepto (de buen comportamiento) de la función polinómica en absoluto. Divisibilidad

En álgebra conmutativa, Uno de los focos principales de estudio es divisibilidad entre los polinomios. Si R es una dominio de integridad y f y g son polinomios en R[X], Se dice que f divide g o f es un divisor de g si existe un polinomio q en R[X] Tal que f q = g. Se puede demostrar que cada cero da lugar a un divisor lineal, o más formalmente, si f es un polinomio en R[X] Y r es un elemento de R de tal manera que f® = 0, entonces el polinomio (X − r) Divide f. Lo contrario también es cierto. El cociente se calcula utilizando el Horner régimen.

Si F es una campo y f y g son polinomios en F[X] Con g ≠ 0, entonces existen polinomios únicos q y r en F[X] Con

f = q \, g + r

y de tal manera que el grado de r es menor que el grado de g. Los polinomios q y r son determinados únicamente por f y g. Esto se llama división euclidiana, la división con resto o división larga polinomio y muestra que el anillo F[X] Es un Euclidiana de dominio.

De forma análoga, polinomios de primer (Más correctamente, irreducible polinomios) Puede definirse como polinomios que no se puede factorizar en el producto de dos polinomios no constantes. Cualquier polinomio se puede descomponer en el producto de una constante por un producto de polinomios irreducibles. Esta descomposición es única hasta la orden de los factores y la multiplicación de los factores constante por una constante (y la división de la constante por la misma constante. Cuando los coeficientes de pertenecer a un cuerpo finito o son números racionales, existen algoritmos para irreductibilidad de prueba y para calcular la factorización en polinomios irreducibles. Estos algoritmos no son viables para la mano de cálculo por escrito, pero están disponibles en cualquier Sistema informático de álgebra (Véase el algoritmo de Berlekamp para el caso en el que los coeficientes de pertenecer a un cuerpo finito o la Berlekamp-Zassenhaus algoritmo cuando se trabaja sobre los números racionales [8]). criterio de Eisenstein También se puede utilizar en algunos casos para determinar irreductibilidad.

Ver también: Máximo común divisor de dos polinomios. Clasificaciones

Los polinomios se clasifican de acuerdo con muchas características diferentes. Una clasificación de los polinomios se basa en el número de variables distintas. Un polinomio en una variable se llama univariante polinomio, Un polinomio en más de una variable se llama multivariado polinomio. Estos conceptos se refieren más a la clase de polinomios es un general que a trabajar con polinomios individuales, por ejemplo cuando se trabaja con polinomios univariado no se excluye polinomios constante (que puede resultar, por ejemplo, de la resta de polinomios no constantes), aunque estrictamente hablando polinomios constantes no contienen ninguna variable en absoluto. Es posible clasificar más polinomios multivariados como bivariado, trivariado, Y así sucesivamente, de acuerdo con el número máximo de variables permitido. Una vez más, por lo que el conjunto de los objetos en cuestión se cerrará en la resta, un estudio de los polinomios trivariado por lo general permite polinomios bivariados, y así sucesivamente. Es común, también, para decir simplemente “polinomios en x, y, Y z”, La lista de las variables permitidas. En este caso, xy está permitido.

Una segunda manera de clasificar los principales polinomios es por su grado. Recordemos que el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables, y que el grado de un polinomio es el mayor grado de cualquiera de los términos uno.

Por lo general, un polinomio de grado n, para n mayor que 3, se llama polinomio de grado n, Aunque las frases cuártica polinomio y polinomio de quinto grado A veces se usan. El uso de nombres para los grados superior a 5 es mucho menos común. Los nombres de los grados se puede aplicar al polinomio o sus términos. Por ejemplo, en x2 + 2x + 1 el término 2x es un término de primer grado de un polinomio de segundo grado.

En el contexto de la interpolación polinómica hay cierta ambigüedad al combinar las dos clasificaciones anteriores. Por ejemplo, un interpolante bilineal, Siendo el producto de dos polinomios lineales univariados, es bivariado, pero es no lineales; Ambigüedad similar afecta a la interpolante bicúbico.

El polinomio 0, lo que puede considerarse que no tienen en todos los términos, se llama polinomio cero. A diferencia de otros polinomios constante, su nivel no es cero. Más bien, el grado del polinomio cero es dejado sin definir explícitamente, o definido a ser negativo (ya sea 1 o - ∞).[9] Estos convenios son importantes en la definición Euclidiana división de polinomios. El polinomio cero es también único porque es el único polinomio que tiene un número infinito de raíces.

Si un polinomio tiene sólo una variable, entonces las condiciones suelen ser por escrito ya sea desde el más alto grado en el grado más bajo (“poderes descendente”) o de grado más bajo al más alto nivel (“poderes ascendente”). Un polinomio univariado en x de grado n entonces toma la forma general

c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_2x^2+c_1x+c_0

donde

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 y c0 son constantes, los coeficientes de este polinomio.

Aquí el término cnxn se llama el principales plazo y su coeficiente cn el coeficiente principal, Si el coeficiente principal es una, El polinomio univariado se llama monic.

Tenga en cuenta que, aparte de la principal coeficiente de cn (Que debe ser distinto de cero, o bien el polinomio no sería de grado n) Permite esta forma general para los coeficientes a cero, cuando esto ocurre, el término correspondiente es cero y puede ser removido de la suma sin cambiar el polinomio. Sin embargo, es común referirse a ci como el coeficiente de xi, Aun cuando ci pasa a ser 0, por lo que xi en realidad no se producen en cualquier término, por ejemplo, uno puede hablar de la término de constante del polinomio, es decir, c0 incluso si es cero.

En el caso de los polinomios en más de una variable, un polinomio se llama homogénea de grado n si todos los sus términos han grado n. Por ejemplo, x3y2 + 7×2y3 − 3×5 es homogénea.

Otra clasificación de los polinomios es por el tipo de valores constantes permitido como coeficientes. Se puede trabajar con polinomios con enteros, coeficientes racionales, reales o complejos, y en polinomios álgebra abstracta con muchos otros tipos de coeficientes se puede definir, como enteros módulo p. Al igual que en la clasificación por el número de variables, cuando se trabaja con coeficientes para un sistema dado, como los números complejos, los coeficientes de cualquier subgrupo se les permite. Por lo tanto x2 + 3x − 5 es un polinomio con coeficientes enteros, pero también es un polinomio con coeficientes complejos, ya que los enteros son un subconjunto de los números complejos.

Y los polinomios se pueden clasificar por el número de términos no nulos (después de los términos como se combinan), para que un polinomio de un término se denomina monomio, Un polinomio de dos términos se llama binomio, Y así sucesivamente. (Algunos autores utilizan “monomio” en el sentido de “monomio armónica”.[10]) Polinomios asociados a otros objetos

Polinomios se utilizan con frecuencia para codificar información sobre algún otro objeto. La polinomio característico de un operador de la matriz o lineal contiene información sobre el operador de valores propios. La mínima polinomio de un elemento algebraico los registros de la simple relación algebraica satisfecha por ese elemento. La cromática polinomio de un gráfico cuenta el número de colorantes adecuado de ese gráfico. Extensiones del concepto de un polinomio

Polinomios puede involucrar a más de una variable, en los que se les llama multivariante. Anillos de polinomios en un número finito de variables que son de importancia fundamental en geometría algebraica que estudia la simultánea cero conjuntos de varios polinomios multivariados tales. Estos anillos alternativamente, se puede construir mediante la repetición de la construcción de polinomios univariados como anillo con coeficiente de otro anillo de polinomios: así, el anillo R[X,Y] De polinomios en X y Y se puede ver como el anillo (R[X])[Y] De polinomios en Y como polinomios con coeficientes en X, O como el anillo (R[Y])[X] De polinomios en X como polinomios con coeficientes en Y. Estas identificaciones son compatibles con las operaciones aritméticas (son isomorfismos de los anillos), pero algunos conceptos tales como el grado o si se considera un polinomio mónico puede cambiar entre estos puntos de vista. Uno puede construir anillos de polinomios en un número infinito de variables, pero como son polinomios (finito) las expresiones, cualquier polinomio individuo sólo puede contener un número finito de variables.

Un polinomio binario en el que la segunda variable toma la forma de una función exponencial se aplica a la primera variable, por ejemplo P(X,eX ), Puede ser llamado polinomio exponencial.

Laurent polinomios son como los polinomios, pero permiten que las potencias negativas de la variable (s) que se produzca.

Cocientes de polinomios se llaman expresiones racionales, Y funciones que evalúan expresiones racionales se llaman funciones racionales. Funciones racionales son cocientes de polinomios formales (que se forman a partir de polinomios como números racionales se forman a partir enteros, Escribir una fracción de dos de ellos; fracciones relacionadas con la cancelación de los factores comunes se identifican entre sí). Las funciones racionales contienen los polinomios de Laurent, pero no limitan denominadores que los poderes de una variable. Una función racional produce una salida racional para cualquier entrada racional, esto no es cierto de otras funciones tales como funciones trigonométricas, logaritmos y funciones exponenciales.

Formal serie de potencias son como los polinomios, pero permiten un número infinito de términos no nulos que se produzca, por lo que no tiene grado finito. A diferencia de polinomios no pueden, en general, expresa y plenamente por escrito (al igual que números reales no se puede), pero las reglas para la manipulación de sus términos son los mismos que para los polinomios.

Polynomial. (2011, May 14). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 00:52, May 22, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Polynomial&oldid=429050354

Formula que calcula suma de angulos interiores de un polinomio

En matemáticas un polinomio es una expresión matemática que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. x^2 - 4x + 7 es un polinomio.

Debe mencionarse en particular que la división por una expresión que contiene una variable no es un polinomio sino una función racional.

Por extensión las funciones polinómicas son las funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase importante de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner. En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.

Polinomio. (2008, 7) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 05:11, octubre 19, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomio&oldid=20728084.


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