Fórmula Genera

Fórmula Genera

Ecuación cuadrática

En matemáticas , una ecuación de segundo grado es un polinomio de la ecuación de segundo grado . La forma general es

donde x representa una variable , y a, b, yc, constantes , con a ≠ 0. (Si a = 0, la ecuación se convierte en una ecuación lineal .)

Las constantes a, b, yc, se llaman, respectivamente, el segundo grado coeficiente , el coeficiente lineal y el término constante sin plazo o. El término “segundo grado” viene de cuadrado, que es el latín de la palabra “ cuadrado “. Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver de factoraje , completar el cuadrado , gráfica , el método de Newton , y utilizando la fórmula cuadrática (a continuación).

Un uso común de ecuaciones de segundo grado está calculando las trayectorias de movimiento de proyectiles . Otro uso común es en el diseño de amplificador electrónico para el control de la respuesta al escalón y la estabilidad .

Fórmula cuadrática

Una ecuación de segundo grado con el real o complejo de coeficientes tiene dos soluciones, las raíces llamada. Estas dos soluciones puede o no puede ser distinto, y pueden o pueden no ser reales .

Las raíces están dadas por la fórmula cuadrática

donde el símbolo “±” indica que tanto

 

	y

son soluciones de la ecuación de segundo grado.

También hay una versión abreviada de la fórmula cuadrática que se utiliza comúnmente cuando el coeficiente de x es un número par :

    

En este caso las soluciones están dadas por:

    

Discriminante

n la fórmula anterior, la expresión bajo el signo de la raíz cuadrada se llama el discriminante de la ecuación de segundo grado, y es a menudo representado con una mayúscula griega delta , la inicial del griego la palabra Δ ιακρίνουσα, Diakrínousa, discriminante:

    \ Delta = b ^ 2 - 4ac \,.

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales puede tener una o dos raíces reales distintas, o dos raíces complejas distintas. En este caso, el discriminante determina el número y la naturaleza de las raíces. Hay tres casos:

    Si el discriminante es positivo, entonces hay dos raíces distintas, las cuales son números reales: 

        \ Frac {-b + \ sqrt {\ delta}} {2a}	y 	\ Frac {-b - \ sqrt {\ delta}} {2a}

    Para ecuaciones cuadráticas con entero coeficientes, si el discriminante es un cuadrado perfecto , entonces las raíces son números racionales , en otros casos pueden ser irracionales cuadráticos . 

    Si el discriminante es cero, entonces no es exactamente una distinta real de la raíz, a veces llamado raíz doble : 

        x = - \ frac {b} {2a}. \, \!

    Si el discriminante es negativo, entonces no hay raíces reales. Más bien, hay dos distintos (no real) complejo raíces, que son complejos conjugados entre sí: 

        \ Frac {-b} {2a} + i \ frac {\ sqrt {- \ delta}} {2a}	y 	\ Frac {-b} {2a} - i \ frac {\ sqrt {- \ delta}} {2a},

    donde i es la unidad imaginaria . 

Así, las raíces son distintos si y sólo si el discriminante es distinto de cero, y las raíces son reales si y solo si el discriminante es no negativo. Geometría Para la función cuadrática : f (x) = x 2 - x - 2 = (x + 1) (x - 2) de una verdadera variable x, la x - coordenadas de los puntos donde la gráfica cruza el eje x, x = −1 y x = 2, son las soluciones de la ecuación cuadrática: x 2 - x - 2 = 0.

Las soluciones de la ecuación cuadrática

    ax ^ 2 + bx + c = 0, \,

son también las raíces de la función cuadrática :

    f (x) ^ = ax 2 + bx + c, \,

ya que son los valores de x para los cuales

    f (x) = 0. \,

Si a, b, yc son números reales y el dominio de f es el conjunto de los números reales, entonces las raíces de f son exactamente x - coordenadas de los puntos donde los toques gráfico el eje X.

De ello se deduce de lo anterior que, si el discriminante es positivo, el toque gráfico del eje x en dos puntos, si es cero, los toques gráfico en un punto, y si es negativo, la gráfica no toca el eje “x”. Cuadrática factorización

El término

    x - r \,

es un factor del polinomio

    Ax ^ 2 + bx + c, 

si y sólo si r es una raíz de la ecuación cuadrática

    ax ^ 2 + bx + c = 0. 

Se deduce de la fórmula cuadrática que

    Ax ^ 2 + bx + c = a \ left (x - \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a} \ right) \ left (x - \ frac {-b - \ sqrt { b ^ 2–4ac}} {2a} \ right).

En el caso particular de (b 2 = 4 bis c) cuando el segundo grado sólo tiene una raíz distinta (es decir, el discriminante es cero), el polinomio de segundo grado puede ser factorizada como

    ax ^ 2 + bx + c = a \ left (x + \ frac {b} {2a} \ right) ^ 2. \, \!

Aplicación a las ecuaciones de grado superior

Algunas ecuaciones de grado superior se pueden poner en forma cuadrática y resuelto de esa manera. Por ejemplo, la ecuación de sexto grado en x:

    x ^ 6 - 4 x ^ 3 + 8 = 0 \,

puede ser reescrita como:

    (X ^ 3) ^ 2 - 4 (x ^ 3) + 8 = 0 \,,

o, equivalentemente, como una ecuación de segundo grado en una variable u nuevo:

    u ^ 2 - 4u + 8 = 0, \,

donde

    u = x ^ 3. \,

Solución de la ecuación cuadrática de los resultados u en las dos soluciones:

    u = 2 \ pm 2i \,.

Por lo tanto

    x ^ 3 = 2 \ pm 2i \,.

Concentración en la búsqueda de las tres raíces cúbicas de 2 + 2 i - las otras tres soluciones para x (las tres raíces cúbicas de 2 - 2 i) será su conjugados complejos - reescritura de la mano derecha utilizando la fórmula de Euler :

    x ^ 3 = 2 ^ {\ tfrac {3} {2}} e ^ {\ tfrac {1} {4} \ pi i} = 2 ^ {\ tfrac {3} {2}} e ^ {\ tfrac { 8k 1} {4} \ pi i} \,

(Desde el 2 k π i e = 1), da las tres soluciones:

    x = 2 ^ {\ tfrac {1} {2}} e ^ {\ tfrac {1} {8k 12} \ i pi} \, ~ k = 0, 1, 2 \,.

El uso de ‘fórmula Eulers nuevo junto con las identidades trigonométricas como cos (π/12) = (√ 2 + √ 6) / 4, y la adición de los conjugados complejos, ofrece la colección completa de soluciones como:

    x_ {1,2} i = −1 \ pm \,
    x_ {3,4} = \ frac {1 + \ sqrt {3}} {2} \ pm \ frac {1 - \ sqrt {3}} {2} i \,

y

    x_ {5,6} = \ frac {1 - \ sqrt {3}} {2} \ pm \ frac {1 + \ sqrt {3}} {2} i \,

Historia

Los matemáticos de Babilonia , ya en 2000 antes de Cristo (que se muestra en la Antigua Babilonia tablillas de arcilla ) podría resolver un par de ecuaciones simultáneas de la forma:

    x + y = p, \ \ xy = q 

que son equivalentes a la ecuación: [1]

    \ X ^ 2 + q = px

La pareja original de ecuaciones se resuelve de la siguiente manera:

    Forma    \ Frac {x + y} {2}
    Forma    \ Left (\ frac {x + y} {2} \ right) ^ 2
    Forma    \ Left (\ frac {x + y} {2} \ right) ^ 2 - xy
    Forma    \ Sqrt {\ left (\ frac {x + y} {2} \ right) ^ 2 - xy} = \ frac {xy} {2}      (Donde x ≥ se supone)
    Buscar x e y mediante la inspección de los valores en (1) y (4). [2] 

Hay pruebas de este nuevo empuje en cuanto a la Ur III dinastía. [3]

En los Sutras Sulba en la antigua India alrededor del siglo octavo antes de Cristo ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 = c y ax 2 + bx = c se analizaron utilizando métodos geométricos. matemáticos babilónicos de alrededor de 400 aC y matemáticos chinos de alrededor de 200 aC utilizó el método de completar el cuadrado para resolver ecuaciones de segundo grado con raíces positivas, pero no tienen una fórmula general. [ cita requerida ]

Euclides , el matemático griego , elaboró ​​un método abstracto geométrico cerca de 300 AC. Pitágoras y Euclides utilizó un enfoque estrictamente geométricos, y encontró un procedimiento general para resolver la ecuación cuadrática. [4] En su obra Arithmetica , el matemático griego Diofanto resuelto el ecuación de segundo grado, pero dando una sola raíz, aun cuando ambas raíces fueron positivos. [5]

En 628 dC, Brahmagupta , un matemático de la India , dio el primer explícita (aunque todavía no del todo en general) solución de la ecuación cuadrática

    ^ \ Ax 2 + bx = c

de la siguiente manera: “ Para el número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, agregue la plaza de la [coeficiente del] término medio, la raíz cuadrada de la misma, menos el [coeficiente del] término medio, se divide por el doble el [coeficiente del] cuadrado es el valor. (Brahmasphutasiddhanta (traducción Colebrook, 1817, página 346) [2] ”

Esto es equivalente a:

    x = \ frac {\ sqrt {^ 4ac + b 2-b}} {2a}.

El Manuscrito Bakhshali escrito en la India en el siglo séptimo dC contenía una fórmula algebraica para resolver ecuaciones de segundo grado, así como cuadrática indeterminada ecuaciones (originalmente de tipo hacha / c = y).

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ( Persia , siglo 9), inspirado por Brahmagupta, desarrolló un conjunto de fórmulas que trabajó para soluciones positivas. [4] Al-Khwarizmi va más allá al ofrecer una solución completa a la ecuación cuadrática general, aceptar uno o dos respuestas numéricas para cada ecuación de segundo grado, mientras que proporciona geométricas pruebas en el proceso. [6] También se describe el método de completar el cuadrado y reconoció que el discriminante debe ser positivo, [7] , que fue probada por su contemporáneo ‘Abd al- Hamid ibn Turco (Asia Central, noveno siglo) que dio figuras geométricas para demostrar que si el discriminante es negativo, una ecuación de segundo grado no tiene solución. [8] Mientras que al-Khwarizmi mismo no aceptar las soluciones negativas, más tarde los matemáticos islámicos que le sucedió Aceptamos las soluciones negativas, [9] , así como los números irracionales como soluciones. [10] Abu Kamil Shuja ibn Aslam (Egipto, siglo 10), en particular, fue el primero en aceptar los números irracionales (a menudo en forma de raíz cuadrada , raíz cúbica o cuarta raíz ) como soluciones a ecuaciones de segundo grado o como coeficientes en una ecuación. [11]

Los judíos matemático Abraham bar Ḥiyya Ha-Nasi (siglo 12, España) el autor del libro europeo primero en incluir la solución completa a la ecuación cuadrática general. [12] Su solución se basa en gran medida de-Khwarizmi trabajo Al. [13] La escritura del matemático chino Yang Hui (1238–1298 dC) representa la primera en la que las ecuaciones cuadráticas con coeficientes negativos de la “x” aparece, aunque lo atribuye a la anterior Yi Liu .

En 1545 Gerolamo Cardano compilado los trabajos relacionados con las ecuaciones cuadráticas. La fórmula cuadrática que cubre todos los casos se obtuvo por primera vez por Simon Stevin en 1594. [14] En 1637, René Descartes publicó La Geometría que contiene la fórmula cuadrática en la forma que conocemos hoy en día. [4] La primera aparición de la solución general de la matemática moderna la literatura apareció en un documento de 1896 por Henry Heaton. [15] Derivaciones Al completar el cuadrado

La fórmula cuadrática puede ser obtenida por el método de completar el cuadrado , [16] con el fin de hacer uso de la identidad algebraica:

    X ^ 2 ^ 2 xh + h 2 = (x + h) ^ 2. \, \!

Dividiendo la ecuación cuadrática

    Ax ^ 2 + bx + c = 0 \, \!

por una (la que se permite porque no es cero), se obtiene:

    X ^ 2 + \ frac {b} ā x + \ frac {c} ā = 0, \, \!

o

    X ^ 2 + \ frac {b} ā x = - \ frac {c} ā

La ecuación de segundo grado se encuentra ahora en una forma que puede ser el método de completar el cuadrado aplicado. Para “completar el cuadrado” es agregar una constante a ambos lados de la ecuación de tal manera que el lado izquierdo se convierte en un completo cuadro:

    X ^ 2 + \ frac {b} ā x + \ left (\ frac {1} {2} \ frac {b} ā \ right) ^ 2 =- \ frac {c} ā + \ left (\ frac {1} {2} \ frac {b} ā \ right) ^ 2, \!

que produce

    \ Left (x + \ frac {b} {2a} \ right) ^ 2 =- \ frac {c} ā + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. \, \!

El lado derecho se puede escribir como una sola fracción, con el denominador común de 4 a 2. Esto le da

    \ Left (x + \ frac {b} {2a} \ right) ^ 2 = \ frac {b ^ 2–4ac} {4a ^ 2}.

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados rendimientos

    x + \ frac {b} {2a} = \ pm \ frac {\ sqrt {b ^ 2–4ac \}} {2a}.

Aislando x, da

    x =- \ frac {b} {2a} \ pm \ frac {\ sqrt {b ^ 2–4ac \}} {2a} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac \}} { 2a}.

Al cambiar ax 2 ax 2 con vértice desplazado desde el origen hasta (x V, y V). a =- 1 en este ejemplo.

La fórmula cuadrática se puede derivar a partir de la ecuación

    a ^ (x-x_V) 2 + y_V = 0 \, \!

que describe la parábola que constituye el eje 2, con el vértice desplazado desde el origen hasta (x V, y V).

Resolviendo esta ecuación para x es sencillo y los resultados en

    x = x_V \ pm \ sqrt {- \ frac {y_V} ā}.

Uso de fórmulas de Viète para el vértice coordenadas

    \ Begin {align} x_V y = \ frac {-b} {2a} \ \ y_V y = - \ frac {b ^ 2–4ac}} {4 bis, \ \ \ end {align}

los valores de x se puede escribir como

    x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a}.

Nota. Las fórmulas para x V y V y se pueden derivar mediante la comparación de los coeficientes de

    Ax ^ 2 + bx + c = 0 \, \!

y

    a (x-x_V) ^ 2 + y_V = 0 \, \!.

Reescribiendo la ecuación de este último como

    ax ^ 2 + (−2ax_V) x + (a {x_V} ^ 2 + y_V) = 0

y comparando con los resultados anteriores en

    b =- 2ax_V \!
    c = a {x_V} ^ 2 + y_V \!,

de la que Viète las expresiones para x V y V y puede ser derivado. Por resolventes de Lagrange Para más detalles sobre este tema, consulte resolventes de Lagrange .

Una forma alternativa de obtener la fórmula cuadrática es a través del método de resolventes de Lagrange , que es una primera parte de la teoría de Galois . [17] Una de las ventajas de este método es que se generaliza a dar la solución de los polinomios cúbicos y polinomios de cuarto grado , y conduce a la teoría de Galois, que permite comprender la solución de los polinomios de cualquier grado, en términos del grupo de simetría de sus raíces, el grupo de Galois .

Este enfoque se centra en las raíces más que en la reordenación de la ecuación original. Dado un polinomio cuadrático monic

    x ^ 2 + px + q, \!

asumir que factores como

    x ^ 2 + px + q = (x-\ alpha) (x-\ beta). \!

Ampliación de los rendimientos

    X ^ 2 + px + q = x ^ 2 - (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta, \!

donde

    p =- (\ alpha + \ beta) \!

y

    q = \ alpha \ beta. \!

Dado que el orden de la multiplicación no importa, uno puede cambiar α y β y los valores de p y q no va a cambiar: se dice que p y q son polinomios simétricos en α y β. De hecho, son los polinomios simétricos elementales - cualquier polinomio simétrico en α y β se puede expresar en términos de α + β y αβ. teoría de Galois El enfoque para analizar y resolver polinomios se da los coeficientes de un polinomio, que son simétricas funciones en las raíces, se puede “romper la simetría” y recuperar las raíces? Por lo tanto la solución de un polinomio de grado n se relaciona con las formas de reorganizar (“permutar”) n términos, que se llama el grupo simétrico de n letras, y se denota S n. Para el polinomio de segundo grado, la única manera de reorganizar dos términos es les de intercambio (“ adaptación “ellos), y por lo tanto la solución de un polinomio de segundo grado es simple.

Para encontrar las raíces α y β, consideran que su suma y la diferencia:

    \ Begin {align} r_1 y alfa = \ + \ beta \ \ r_2 & = \ alpha -. Beta \ \ \ \ end {align}

Estos se llaman resolventes de Lagrange del polinomio, anuncio que estas dependen del orden de las raíces, que es el punto clave. Se puede recuperar las raíces de la resolventes invirtiendo las ecuaciones anteriores:

    \ Begin {align} \ alpha & = \ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (r_1 + r_2 \ right) \ \ \ beta y = \ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (r_1-r_2 \ right). \ \ \ end {align}

Por lo tanto, la solución para el resolventes da las raíces originales.

Formalmente, el resolventes reciben el nombre de transformada de Fourier discreta (DFT) de orden 2, y la transformación se puede expresar por la matriz \ Left (\ begin {smallmatrix} 1 & 1 \ \ 1 y −1 \ end {smallmatrix} \ right), con la matriz inversa \ Left (\ begin {smallmatrix} 1 / 2 y 1 / 2 \ \ 1 / 2 y −1 2 / \ end {smallmatrix} \ right). La matriz de transformación es también llamada la DFT de la matriz o matriz de Vandermonde .

Ahora r 1 = α + β es una función simétrica en α y β, por lo que se puede expresar en términos de p y q, r, y en un hecho = - p, como se señaló anteriormente. Por el contrario, r 2 = α - β no es simétrica, ya que α de conmutación y los rendimientos de β - r 2 = β - α (formalmente, se denomina un grupo de acción del grupo simétrico de las raíces). Desde r 2 no es simétrica, no puede ser expresado en términos de p y q raíces, ya que son simétricas en las raíces y por lo tanto también lo es cualquier expresión polinómica que participen. Sin embargo, cambiar el orden de los únicos cambios raíces r 2 por un factor de - 1, y por lo tanto la plaza \ Scriptstyle r_2 ^ 2 = (\ alpha - \ beta) ^ 2 es simétrica en las raíces, y por lo tanto expresarse en términos de p y q. Usando la ecuación

    (\ Alpha - \ beta) ^ 2 = (\ alpha + \ beta) ^ 2–4 \ alpha \ beta \!

los rendimientos

    R_2 ^ 2 ^ p = 2 - 4q \!

y por lo tanto

    r_2 = \ pm \ sqrt {p ^ 2 - 4q} \! . 

Si se toma la raíz positiva, ruptura de la simetría, se obtiene:

    \ Begin {align} r_1 y =-p \ \ r_2 y = \ sqrt {p ^ 2 - 4q} \ \ \ end {align}

y por lo tanto

    \ Begin {align} \ alpha & = \ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (-p + \ sqrt {p ^ 2 - 4q} \ right) \ \ \ beta y = \ textstyle {\ frac { 1} {2}} \ left (-p-\ sqrt {p ^ 2 - 4q} \ right) \ \ \ end {align}

Así, las raíces son

    \ Textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (-p \ pm \ sqrt {p ^ 2 - 4q} \ right)

que es la fórmula cuadrática. Sustituyendo \ Scriptstyle p = \ tfrac {b} ā, q = \ tfrac {c} ā \! los rendimientos de la forma habitual para cuando un cuadrática no es monic. El resolventes puede ser reconocido como \ Scriptstyle \ frac {r_1} {2} = \ frac {-p} {2} = \ frac {-b} {2a} \! siendo el vértice, y \ Scriptstyle r_2 ^ 2 = p ^ 2–4q \! es el discriminante (de un polinomio mónico).

A, pero más complicado método obras similares para las ecuaciones cúbicas, donde uno tiene tres resolventes y una ecuación de segundo grado (la “solución polinómica”) en relación r 2 y r 3, que se puede resolver por la ecuación de segundo grado, y lo mismo para un (grado cuártica 4) la ecuación, cuya solución es un polinomio cúbico, que a su vez pueden ser resueltos. Sin embargo, el mismo método para un rendimiento ecuación de quinto grado un polinomio de grado 24, que no simplifica el problema, y ​​en las soluciones a las ecuaciones de quinto hecho, en general, no se puede expresar utilizando sólo raíces. Alternativa fórmula

En algunos casos es preferible expresar las raíces en una forma alternativa.

    x = \ frac {} {2c-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac \}} = \ frac {} {2c-b \ pm \ sqrt \ delta}.

Esta alternativa requiere de c para ser distinto de cero, porque, si c es cero, la fórmula correctamente da cero como una raíz, pero falla al dar cualquier momento, no cero de la raíz. En su lugar, una de las dos opciones para ∓ produce la forma indeterminada 0 / 0, que no está definido. Sin embargo, la forma alternativa funciona cuando uno es igual a cero (que da la única solución como una de las raíces y la división por cero de nuevo por el otro), que la forma normal no (en lugar de producir una división por cero en ambos casos).

Las raíces son las mismas independientemente de la expresión que utilizamos, la otra forma es simplemente una variante algebraica de la forma común:

    \ Begin {align} \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2–4ac \}} {2a} y {} = \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2–4ac \}} {2a} \ cdot \ frac {-b - \ sqrt {b ^ 2–4ac \}} {-b - \ sqrt {b ^ 2–4ac \}} \ \ {} = \ frac {b ^ 2 - (b ^ 2 - 4ac)} {2a \ left (-b - \ sqrt {b ^ 2–4ac} \ right)} \ \ {} = \ frac {} {2a 4ac \ left (-b - \ sqrt {b ^ 2 −4ac} \ right)} \ \ {} = \ frac {} {2c-b - \ sqrt {b ^ 2–4ac \}}. \ End {align}

La fórmula alternativa puede reducir la pérdida de precisión en la evaluación numérica de las raíces, lo que puede ser un problema si una de las raíces es mucho más pequeño que el otro en magnitud absoluta. En este caso, b es muy cercano a \ Scriptstyle \ pm \ sqrt {x} , Y la resta en el numerador causa la pérdida de importancia .

Un enfoque mixto evita tanto todos los problemas de cancelación (sólo los números del mismo signo se suman), y el problema de c es cero:

    \ Begin {align} x_1 y = \ frac {-b - \ sgn (b) \, \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a}, \ \ x_2 y = \ frac {} {2c-b - \ sgn (b) \, \ sqrt {b ^ 2–4ac}} = \ frac {c} {} ax_1. \ End {align}

Aquí SGN denota la función de signo . Monic forma

La división de la ecuación de segundo grado por un da la simplificación armónica forma de

    x 2 + x p + q = 0 

donde p = b / ay q = c / una. A su vez, simplifica las ecuaciones de la raíz y discriminante tanto a

    x = \ frac {1} {2} \ left (-p \ pm \ sqrt {p ^ 2 - 4q} \, \ right)
    Δ = p 2–4 q 

(Cf. completar el cuadrado y los métodos resolventes de Lagrange derivación anterior.) aplicación de punto flotante

Un cuidado de punto flotante de la aplicación informática difiere un poco de las dos formas para producir un resultado robusto. Suponiendo que el discriminante, b 2–4 CA, es positivo y b es distinto de cero, el código será algo como lo siguiente: [18]

    q = - \ tfrac12 \ grande (a + b \ sgn (b) \ sqrt {b ^ 2–4ac} \ grande) \, \!
    x_1 = q / a \, \!
    x_2 = c / q \, \!

Aquí sgn (b) es la función de signo , donde sgn (b) es 1 si b es positivo y −1 si b es negativo, su uso se asegura de que las cantidades añadidas son del mismo signo, evitando la cancelación catastrófica . El cálculo de x 2 utiliza el hecho de que el producto de las raíces es c / una. las fórmulas de Viète Artículo principal: las fórmulas de Viète

fórmulas de Viète de dar una simple relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes. En el caso del polinomio de segundo grado, toman la forma siguiente:

    x_1 + x_2 = - \ frac {b} ā

y

    x_1 \ x_2 = \ frac {c} ā.

Estos resultados se deduce directamente de la relación:

    \ Left (x - x_1 \ right) \ \ left (x-x_2 \ right) = x ^ 2 \ - \ left (x_1 + x_2 \ derecha) x + x_1 \ x_2 \ = 0 \,

que se puede comparar término a término con:

    X ^ 2 + (b / a) x + c / a = 0 \.

La primera fórmula por encima de los rendimientos de una expresión conveniente cuando graficar una función cuadrática. Dado que la gráfica es simétrica con respecto a una línea vertical que pasa por el vértice , cuando hay dos raíces reales del vértice de la coordenada x se encuentra en el promedio de las raíces (o intersecciones). Así, la coordenada x del vértice está dado por la expresión:

    x_V = \ frac {x_1 + x_2} {2} = - \ frac {b} {2a}.

La coordenada y se obtiene sustituyendo el resultado anterior en la ecuación cuadrática dada, dando

    y_V = - \ frac {b ^ 2}} {4a + c = - \ frac {b ^ 2 - 4ac}} {4 bis.

Gráfico de dos evaluaciones de los más pequeños raíz de una ecuación cuadrática: evaluación directa mediante la fórmula cuadrática (precisa en pequeñas b) y una aproximación a las raíces ampliamente espaciadas (con una precisión de más b). La diferencia alcanza un mínimo en los puntos grandes, y el redondeo hace garabatos en las curvas más allá de este mínimo.

En la práctica, las fórmulas de Viète de proporcionar un método útil para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática en el caso de una raíz es mucho más pequeño que el otro. Si | x 1 | ‹<| x 2 |, entonces x 1 + x ≈ 2 x 1, y tenemos la estimación:

    x_1 \ aprox - \ frac {b} ā \.

El segundo Viète la fórmula de continuación, establece lo siguiente:

    x_2 = \ frac {c} {a \ x_1} \ approx - \ frac {c} {b} \.

Estas fórmulas son mucho más fáciles de evaluar que la fórmula cuadrática con la condición de una grande y una pequeña raíz, porque la fórmula cuadrática evalúa la raíz pequeña como la diferencia de dos números casi iguales muy (el caso de b grande), lo que hace que todo el -off de error en una evaluación numérica. La figura muestra la diferencia entre (i) una evaluación directa mediante la fórmula cuadrática (precisa cuando las raíces están cerca unos de otros en valor) y (ii) una evaluación basada en la aproximación por encima de las fórmulas de Viète de (precisa cuando las raíces son muy espaciados ). A medida que aumenta b coeficiente lineal, en un principio la fórmula cuadrática es exacta, y la fórmula aproximada mejora en la precisión, dando lugar a una menor diferencia entre los métodos a medida que aumenta b. Sin embargo, en algún momento la fórmula cuadrática comienza a perder precisión, debido a rematar de error, mientras que el método aproximado sigue mejorando. En consecuencia, la diferencia entre los métodos comienza a aumentar a medida que la fórmula cuadrática se convierte cada vez peor.

Esta situación se presenta comúnmente en el diseño de amplificador, donde se separan las raíces ampliamente deseada para asegurar una operación estable (véase la respuesta al escalón ). Generalizaciones

La fórmula y sus derivados siguen siendo correcta si los coeficientes a, b y c son números complejos , o más generalmente los miembros de cualquier campo cuya característica no es 2. (En un cuerpo de característica 2, el elemento 2 es un cero y no se puede dividir por él.)

El símbolo

    \ Pm \ sqrt {b ^ 2–4ac}

en la fórmula debe ser entendido como “cualquiera de los dos elementos cuyo cuadrado es b 2–4 de CA, si existen tales elementos”. En algunos campos, algunos elementos no tienen raíces cuadradas y algunas tienen dos, cero sólo tiene una sola raíz cuadrada, excepto en los campos de característica 2. Tenga en cuenta que incluso si un campo no contiene una raíz cuadrada de un número, siempre hay un segundo grado de extensión de campo que hace, por lo que la fórmula cuadrática siempre tendrá sentido como una fórmula en ese campo de extensión. Típico 2

En un campo de característica 2, la fórmula cuadrática, que se basa el 2 de ser un equipo , no se sostiene. Tenga en cuenta la mónico polinomio cuadrático

    

sobre un campo de característica 2. Si b = 0, entonces la solución se reduce a la extracción de una raíz cuadrada, por lo que la solución es

    

y tenga en cuenta que sólo hay una raíz desde

    

En resumen,

    

Ver residuo cuadrático para obtener más información acerca de cómo extraer raíces cuadradas en cuerpos finitos.

En el caso de que b ≠ 0, hay dos raíces distintas, pero si el polinomio es irreducible , que no se puede expresar en términos de las raíces cuadradas de números en el coeficiente de campo. En su lugar, definir la raíz R 2 © de c para ser una raíz del polinomio x 2 + x + c, un elemento del cuerpo de descomposición de ese polinomio. Se verifica que R © + 1 es también una raíz. En cuanto a la raíz de operación 2, las dos raíces de la no-armónica) cuadrática ax (2 + bx + c se

    

y

    

Por ejemplo, supongamos un denotan un generador multiplicativo del grupo de unidades de F 4, el campo de Galois de orden cuatro (por lo tanto A y A + 1 son las raíces de x 2 + x + 1 sobre F 4). Debido a que (a + 1) 2 = a, a + 1 es la única solución de la ecuación cuadrática x 2 + a = 0. Por otro lado, el polinomio x 2 + ax + 1 es irreducible en F 4, pero se divide en F-16, donde tiene las dos raíces ab y ab + a, donde b es una raíz de x 2 + x + a en el F-16.

Este es un caso especial de Artin-Schreier teoría .

Quadratic equation. (2011, April 29). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 01:36, May 2, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quadratic_equation&oldid=426641501


Formula general

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinomial donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente la expresión se refiere al caso más común en que sólo aparece una incógnita y que puede expresarse en la forma canónica:

ax^2 + bx + c = 0

Esta ecuación admite tres posibles casos en la solución: dos soluciones reales y diferentes; una sola raíz real de multiplicidad dos, o bien dos soluciones complejas conjugadas, de acuerdo a que su discriminante:

sea positivo, cero o negativo respectivamente.

X = -b + - (raiz cuadrada (b^2 - 4ac)) / 2a

Ecuación de segundo grado. (2008, 3) de noviembre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 05:12, noviembre 6, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado&oldid=21444834.


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