Igualdad Matematica
Como muchos de los conceptos que manejamos todos los días en matemáticas la igualdad no es entendida y se maneja con mucha confianza y sin cuidado.
Si a mis alumnos les pregunto que si 2/2 es lo mismo que 1, todos dicen que sí. Pero si les pregunto si es lo mismo dos mitades de carro que un carro todos dicen que no.
La pregunta no es simple y es un concepto filosófico donde se requiere un poco más de profundidad para contestar
La igualdad descansa en tres principios fundamentales:
1. Todo entre 1 es igual a sí mismo
2. Si un ente es igual a otro, el segundo es igual al primero
3. Dos entes iguales a un tercero, son iguales entre sí
Estos son 3 principios inherentes de la igualdad, pero dejando a un lago el aspecto filosófico, vayamos al concepto matemático. La igualdad la podemos considerar en matemáticas como una relación en un conjunto que cumple las tres propiedades anteriormente mencionadas.
Una relación de equivalencia tiene la propiedad de que particiona a un conjunto en clases distintas, cada una considerada como los elementos iguales. Así cuando hablamos de igualdad de fracciones, en realidad estamos hablamdo de equivalencia de fracciones, o cuando decimos que dos figuras en el plano son iguales, en realidad nos referimos a que son congruentes.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones a/b y c/d son equivalentes si a*d = b*c ; esto es: Al multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda se obtiene lo mismo que al multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda.
Figuras congruentes
Dos figuras en el plano son congruentes si al sobreponer una sobre la otra queda la misma figura. Sobreponer una sobre la otra indica que podemos hacer traslaciones, rotaciones o transposiciones.
Las dos definiciones anteriores cumplen las 3 propiedades de equivalencia.
Así la igualdad en matemáticas no es mas que una relación de equivalencia donde dos elementos equivalentes se consideran iguales, y en realidad son iguales desde cierto punto de vista. Puede haber dos carros que sean iguales en color, y con respecto a esa característica se considera la equivalencia.
La igualdad en álgebra
Aparte de las 3 propiedades básicas de la igualdad se consideran:
a = b => a + c = b + c
a = b => a * c = b * c
Que indican realmente que las operaciones de suma y multiplicación están bien definidas sobre la igualdad, que en realidad es una equivalencia.
Con estas 2 propiedades y las 3 anteriores podemos manejar perfectamente bien la igualdad en álgebra elemental.
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