Seis tipos diferentes de cuadriláteros
| Los bordes y vértices | 4 |
| Schläfli símbolo | {4} (por plaza) |
| Espacio | varios métodos;ver más abajo |
| ángulo interior ( grados ) | 90 ° (por plaza) |
En la geometría plana euclidiana , un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados (o “bordes”) y cuatro vértices o esquinas. A veces, la Hoja término se utiliza, por analogía con el triángulo , y en ocasiones tetrágono de coherencia con el pentágono (5 lados), hexagonal (de 6 lados) y así sucesivamente. La palabra cuadrilátero se hace de los cuatro palabras (que significa “cuatro”) y lateral (que significa “de los lados”).
Los cuadriláteros son simples (no auto-intersección) o complejas (auto-intersección), también llamada cruzada. Simple cuadriláteros están o convexa o cóncava .
Los ángulos interiores de un cuadrilátero simple agregar hasta 360 grados de arco . Este es un caso especial de la n-gon ángulo de fórmula de la suma de interiores (n - 2) x 180 °. En un cuadrilátero cruzado, los ángulos interiores de cualquier lado de la travesía se suman a 720 °. [1]
Todos los cuadriláteros convexos azulejo plano por la rotación repite alrededor de los puntos medios de sus bordes.
Cuadriláteros convexos - paralelogramos
Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. condiciones equivalentes a las que ambos lados tienen la misma longitud, que los ángulos opuestos son iguales, o que las diagonales dividir en dos uno al otro. Paralelogramos también incluyen el cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.
Rombo o rombo: los cuatro lados son de igual longitud. condiciones equivalentes a las que los lados opuestos son paralelos y los ángulos opuestos son iguales, o que las diagonales biseca perpendicularmente entre sí. Una descripción informal es “una empujada-a la plaza” (incluida la de un cuadrado).
Romboides : un paralelogramo en el que los lados adyacentes son de diferente longitud y los ángulos son oblicuos (ángulos rectos no). Informalmente: “. Hundida en un rectángulo sin ángulos rectos”
Rectángulo : los cuatro ángulos son rectos. Una condición equivalente es que las diagonales dividir en dos uno al otro y tienen la misma longitud. Informalmente: “una caja u oblonga” (incluida la de un cuadrado).
Plaza (regular cuadrilátero): los cuatro lados son de igual longitud (equilátero), y los cuatro ángulos son rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos son paralelos (un cuadrado es un paralelogramo), que las diagonales biseca perpendicularmente entre sí, y son de igual longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y sólo si es a la vez un rombo y un rectángulo (cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
Oblonga : un término usado a veces para referirse a un rectángulo que tiene lados adyacentes desiguales (es decir, un rectángulo que no es un cuadrado).
Cuadriláteros convexos - otros
- Kite : dos pares de lados adyacentes son de igual longitud. Esto implica que una diagonal divide a la cometa en triángulos congruentes , por lo que los ángulos entre los dos pares de lados iguales son iguales en medida. Esto también implica que las diagonales son perpendiculares. (Es común, especialmente en los debates sobre el plano de mosaicos , para referirse a la cóncava cuadrilátero con estas propiedades como un dardo o flecha, con la cometa plazo se limita a la forma convexa.)
- Orthodiagonal cuadrilátero : las diagonales se cruzan en ángulos rectos .
- Trapecio ( Inglés británico ) o trapezoidal (nam.): un par de opuestos lados son paralelos .
- trapecio isósceles (Brit.) o trapecio isósceles (nam.): un par de lados opuestos son paralelos y la base de los ángulos son iguales en medida. Esto implica que los otros dos lados son de igual longitud, y que las diagonales son de igual longitud. Una definición alternativa es: “un cuadrilátero con un eje de simetría que divide un par de lados opuestos”.
- Trapecio (nam.): no hay lados son paralelos. (En Inglés británico sería llamado un cuadrilátero irregular, y fue llamado una vez al trapecio .)
- cuadrilátero cíclico : los cuatro vértices se encuentran en un círculo circunscrito. Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si suma de ángulos opuestos a 180 °.
- Tangencial cuadrilátero : los cuatro bordes son tangenciales a un círculo inscrito. Otro término para un polígono tangencial es inscriptible.
- Bicéntrico cuadrilátero: tanto cíclico y tangencial.
Más cuadriláteros
Un galón geométrica (dardo o flecha) es una cóncava cuadrilátero con simetría bilateral como una cometa, pero un ángulo interior es reflejo.
Un auto-intersección cuadrilátero se llama una muestra representativa de diversas cuadrilátero, cruzó cuadrilátero, mariposa cuadrilátero o pajarita cuadrilátero.
A-planar cuadrilátero no se llama un sesgo cuadrilátero. Las fórmulas para calcular los ángulos diedros de las longitudes de borde y el ángulo entre dos bordes adyacentes fueron derivados para el trabajo sobre las propiedades de las moléculas tales como ciclobutano que contienen un “arrugada” anillo de cuatro átomos. [2]
Área de un cuadrilátero convexo
Hay varias fórmulas generales para el área de un cuadrilátero convexo.
El área de un cuadrilátero ABCD se puede calcular utilizando vectores . Que AC y BD vectores forman las diagonales de A a C y de B a D. El área del cuadrilátero es entonces
Área = \ frac 1} {2} \ times {BD} |,
que es la magnitud del producto vectorial de los vectores AC y BD. En el espacio euclidiano tridimensional y dos, expresando CA vector como un vector libre en el espacio cartesiano igual a (x 1, y 1) y BD como (x 2, y 2), esto puede ser reescrita como:
Área = \ frac {1} {2} | x_1 y_2 - x_2 y_1 |.
El área puede ser expresada en términos trigonométricas como
Área = \ frac {1} {2} pq \ cdot \ sin \ theta,
donde las longitudes de las diagonales son p y q y el ángulo entre ellos es θ. [3] En el caso de un cuadrilátero orthodiagonal por ejemplo rombo, cuadrado, y la cometa, esta fórmula se reduce a \ Tfrac {1} {2} pq ya que θ es de 90 °.
la fórmula de Bretschneider [4] expresa el área en términos de los lados y ángulos:
\ Begin {align} Zona & = \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - \ tfrac {1} {2} abcd \, [1 + \ cos (\ gamma + \ lambda)]} \ \ & = \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - abcd \ left [^ \ cos 2 \ left (\ tfrac {\ gamma + \ lambda} {2} \ right) \ right]} \ \ s + = \ frac {1} {2} (a + b + c + d), \ \ \ end {align}
donde las partes en la secuencia son a, b, c, d, s es el semiperímetro, y γ y λ son dos ángulos opuestos. Esto reduce a la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico cuando γ + λ = 180 °.
Otra fórmula del área en términos de los lados y ángulos, con γ que está entre los lados b y c, siendo λ entre los lados A y D (lados adyacentes pertenecían a los ángulos), es
Área = \ frac {1} {2} aC \ cdot \ sin \ gamma + \ frac {1} {2} ad \ cdot \ sin \ lambda.
En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en
Área = \ frac {1} {2} (ad + bc) \ sin \ gamma.
Y también de un paralelogramo, ya que ambos los lados y ángulos opuestos son iguales, la fórmula final se reduce a ab \ cdot \ sin \ gamma.
A continuación, [5] la siguiente fórmula expresa el área en términos de los lados y diagonales:
\ Begin {align} Zona & = \ sqrt (sa) (sb) (sc) (sd) - \ tfrac {1} {4} (ac + bd + pq) (ac + bd, pq) \ \ & = \ frac {1} {4} \ sqrt {4p ^ {2} q ^ {2} - \ left (a ^ {2} + c ^ {2}-b ^ {2}-d ^ {2} \ a la derecha) ^ {2}}, \ \ \ end {align}
donde p y q son las diagonales. Una vez más, esto se reduce a la fórmula de Brahmagupta en el caso de un cuadrilátero cíclico, ya que p = q entonces a + c b d.
Alternativamente, podemos escribir el área en términos de los lados y el ángulo θ intersección de las diagonales, siempre y cuando este ángulo no es de 90 °: [6]
Área = \ frac {4} \ cdot \ left | a ^ ^ 2 + c 2 - b ^ 2 - d ^ 2 \ right |.
En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en
Área = \ frac {2} \ cdot \ left | a ^ 2 - b ^ 2 \ right |.
Varios hechos sobre cuadriláteros especiales
Las diagonales de un cuadrilátero cóncavo cruzado o no se cruzan dentro de la forma.
Las diagonales de un rombo biseca los ángulos.
Sea ABCD un trapecio (en el sentido de EE.UU. de tener dos lados paralelos) con D vértices A, B, C, y en secuencia y con lados paralelos AB y DC. Sea E la intersección de las diagonales, y sea F en el lado DA y G en el lado BC tal que la FEG es paralela a AB y CD. Luego FG es la media armónica de AB y DC:
\ Frac {1} {FG} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {1} {AB} + \ frac {1} {CC} \ right).
Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.
Un cuadrilátero con lados sucesivos a, b, c, d, p diagonales, q tiene pq = ac + bd.
Un cuadrilátero con vértices sucesivos A, B, C, D y partes sucesivas a = AB, BC = b, c = CD, y d = DA y con p = diagonales AC y BD = q tiene:
\ Frac {p} {q} = \ frac {ad + cb} {ab + cd},
P ^ {2} = \ frac (ac + bd) (ad + bc) {ab + cd}, y
q ^ {2} = \ frac (ac + bd) (ab + cd) {ad + bc}.
Un cuadrilátero con lados sucesivos a, b, c, d, s semiperímetro ha circunradio (el radio del círculo que circunscribe) propuesta por [7]
\ Frac {1} {4} \ sqrt {\ frac (ab + cd) (ac + bd) (ad + bc) (sa) (sb) (sc) (sd)}.
Un paralelogramo con diagonales p, q y partes sucesivas a, b, c, yd con d = b y c = a ha
p 2 + q 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2.
Para cualquier punto P en el interior de un rectángulo con vértices sucesivos A, B, C, D, hemos
(A P) 2 + (C P) 2 = (B, P) 2 + (D P) 2.
Cualquier recta que pasa por el punto medio de un paralelogramo divide la zona.
Un orthodiagonal cuadrilátero (uno con diagonales perpendiculares) con los lados a, b, c, d en secuencia tiene [6] [8] : p. 136 a 2 + b 2 = c 2 + d 2.
No hay cuadriláteros cíclicos con lados desiguales racional en progresión aritmética y con superficie racional. [9]
No hay cuadriláteros cíclicos con lados desiguales racional en progresión geométrica y con zona racional. [9]
Varios hechos acerca de los cuadriláteros en general
La longitud de la diagonal opuesta a los lados adyacentes a y b en el ángulo θ está dada por \ Sqrt {a ^ ^ 2 + b 2 - 2ab \ cos \ theta} que se deriva de la ley de los cosenos .
Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo. El área de este paralelogramo interior es igual a la mitad de la superficie externa del cuadrilátero. El perímetro del paralelogramo interior es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero exterior.
Vamos plazas exteriores se elaborará en todos los lados de un cuadrilátero. Los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos son (a) la misma longitud, y (b) perpendicular.
El segmento de línea que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero, el segmento que une los puntos medios de los otros dos lados, y el segmento que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes y están dividido en dos por su punto de intersección. [8] : p.125
La suma de los cuadrados de las diagonales de un cuadrilátero es igual a dos veces la suma de los cuadrados de los dos segmentos de línea que une los puntos medios de los dos pares de lados opuestos. [8] : p.126
Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero forman un cuadrilátero cíclico. [8] : p. 127
Taxonomía
Una taxonomía de los cuadriláteros se ilustra en el gráfico siguiente. Bajo las formas son casos especiales de las formas superiores. Tenga en cuenta que “trapecio” aquí se refiere a la definición británico (el equivalente de América del Norte es un trapecio), y “barrilete” excluye la cometa cóncava (punta de flecha o dardo). Incluido definiciones se utilizan en todo.
Quadrilateral. (2011, April 27). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 21:14, May 1, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quadrilateral&oldid=426292019
Propiedades de los cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo. El cuadrilátero es una figura geométrica que tiene 4 lados, los cuales son desiguales.
| Respecto con | Tipo | Descripción |
| Lado | Equilatero | Todos sus lados tienen la misma longitud |
| Isósceles | Únicamente dos de sus lados tienen la misma longitud | |
| Escaleno | Todos sus lados tienen distinta longitud | |
| Ángulo | Rectángulo | Todos sus ángulos son rectos |
| Oblicuángulo | No todos sus ángulos son rectos | |
| Paralelismo | Los paralelogramos tienen dos pares de lados paralelos. | |
| Trapecio | Tiene un par de lados paralelos y otros dos no paralelos | |
| Trapezoide | No hay paralelismo entre ninguno de sus lados asi que se denomina trapecio. |
Cuadrilátero. (2008, 25) de septiembre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:36, octubre 23, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuadril%C3%A1tero&oldid=20418591.
Leer y usar cuidadosamente todas estas instrucciones y videos para construir un valioso trabajo en formato DIGITAL, que les va a servir para obtener la EVIDENCIA y el PORTAFOLIO que los nuevos programas por competencias requieren de todos los alumnos y maestros, mucha suerte.
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pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, ver VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina.
- En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes.
- En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notacion matematica se debera usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notacion matematica con imagenes Latex, ver VIDEO LATEX ABAJO.
- Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen ( no mas de 2–3 parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.
pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar encerrarla entre comillas.
pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y relevancia al resumen del tema.
- PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados.
- Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.
- Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea, seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la biblioteca o un cafe internet.
- Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.
pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy condensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y conceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.
pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o tres parrafos de conclusiones y bibliografia.
- Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,
- Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.
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pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho espacio para desplegar fotos o imagenes.
pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.
pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:
1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.
pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.
2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.
3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.
4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.
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pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)
pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.
- Crear al menos dos archivos de audio mp3:
1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)
2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)
3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.
4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:
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- Para producir video se pueden usar tres fuentes:
1) Localizar Videos apropiados en Youtube.
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3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.
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Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.
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