Propiedades De Los Cuadrilateros

Propiedades De Los Cuadrilateros

Cuadrilátero

Seis tipos diferentes de cuadriláteros

Los bordes y vértices4
Schläfli símbolo{4} (por plaza)
Espaciovarios métodos;ver más abajo
ángulo interior ( grados )90 ° (por plaza)

En la geometría plana euclidiana , un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados (o “bordes”) y cuatro vértices o esquinas. A veces, la Hoja término se utiliza, por analogía con el triángulo , y en ocasiones tetrágono de coherencia con el pentágono (5 lados), hexagonal (de 6 lados) y así sucesivamente. La palabra cuadrilátero se hace de los cuatro palabras (que significa “cuatro”) y lateral (que significa “de los lados”).

Los cuadriláteros son simples (no auto-intersección) o complejas (auto-intersección), también llamada cruzada. Simple cuadriláteros están o convexa o cóncava .

Los ángulos interiores de un cuadrilátero simple agregar hasta 360 grados de arco . Este es un caso especial de la n-gon ángulo de fórmula de la suma de interiores (n - 2) x 180 °. En un cuadrilátero cruzado, los ángulos interiores de cualquier lado de la travesía se suman a 720 °. [1]

Todos los cuadriláteros convexos azulejo plano por la rotación repite alrededor de los puntos medios de sus bordes.

Cuadriláteros convexos - paralelogramos

Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. condiciones equivalentes a las que ambos lados tienen la misma longitud, que los ángulos opuestos son iguales, o que las diagonales dividir en dos uno al otro. Paralelogramos también incluyen el cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.

Rombo o rombo: los cuatro lados son de igual longitud. condiciones equivalentes a las que los lados opuestos son paralelos y los ángulos opuestos son iguales, o que las diagonales biseca perpendicularmente entre sí.

Una descripción informal es “una empujada-a la plaza” (incluida la de un cuadrado). Romboides : un paralelogramo en el que los lados adyacentes son de diferente longitud y los ángulos son oblicuos (ángulos rectos no). Informalmente: “. Hundida en un rectángulo sin ángulos rectos”

Rectángulo : los cuatro ángulos son rectos. Una condición equivalente es que las diagonales dividir en dos uno al otro y tienen la misma longitud. Informalmente: “una caja u oblonga” (incluida la de un cuadrado). Plaza (regular cuadrilátero): los cuatro lados son de igual longitud (equilátero), y los cuatro ángulos son rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos son paralelos (un cuadrado es un paralelogramo), que las diagonales biseca perpendicularmente entre sí, y son de igual longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y sólo si es a la vez un rombo y un rectángulo (cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).

Oblonga : un término usado a veces para referirse a un rectángulo que tiene lados adyacentes desiguales (es decir, un rectángulo que no es un cuadrado).

Cuadriláteros convexos - otros

Kite : dos pares de lados adyacentes son de igual longitud. Esto implica que una diagonal divide a la cometa en triángulos congruentes , por lo que los ángulos entre los dos pares de lados iguales son iguales en medida. Esto también implica que las diagonales son perpendiculares. (Es común, especialmente en los debates sobre el plano de mosaicos , para referirse a la cóncava cuadrilátero con estas propiedades como un dardo o flecha, con la cometa plazo se limita a la forma convexa.)

Orthodiagonal cuadrilátero : las diagonales se cruzan en ángulos rectos .

Trapecio ( Inglés británico ) o trapezoidal (nam.): un par de opuestos lados son paralelos .

trapecio isósceles (Brit.) o trapecio isósceles (nam.): un par de lados opuestos son paralelos y la base de los ángulos son iguales en medida. Esto implica que los otros dos lados son de igual longitud, y que las diagonales son de igual longitud. Una definición alternativa es: “un cuadrilátero con un eje de simetría que divide un par de lados opuestos”.

Trapecio (nam.): no hay lados son paralelos. (En Inglés británico sería llamado un cuadrilátero irregular, y fue llamado una vez al trapecio .)

cuadrilátero cíclico : los cuatro vértices se encuentran en un círculo circunscrito. Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si suma de ángulos opuestos a 180 °.

Tangencial cuadrilátero : los cuatro bordes son tangenciales a un círculo inscrito. Otro término para un polígono tangencial es inscriptible.

Bicéntrico cuadrilátero: tanto cíclico y tangencial.

Más cuadriláteros

Un galón geométrica (dardo o flecha) es una cóncava cuadrilátero con simetría bilateral como una cometa, pero un ángulo interior es reflejo.

Un auto-intersección cuadrilátero se llama una muestra representativa de diversas cuadrilátero, cruzó cuadrilátero, mariposa cuadrilátero o pajarita cuadrilátero.

A-planar cuadrilátero no se llama un sesgo cuadrilátero. Las fórmulas para calcular los ángulos diedros de las longitudes de borde y el ángulo entre dos bordes adyacentes fueron derivados para el trabajo sobre las propiedades de las moléculas tales como ciclobutano que contienen un “arrugada” anillo de cuatro átomos.

Área de un cuadrilátero convexo

Hay varias fórmulas generales para el área de un cuadrilátero convexo.

El área de un cuadrilátero ABCD se puede calcular utilizando vectores . Que AC y BD vectores forman las diagonales de A a C y de B a D. El área del cuadrilátero es entonces

    Área = \ frac 1} {2}  \ times {BD} |,

que es la magnitud del producto vectorial de los vectores AC y BD. En el espacio euclidiano tridimensional y dos, expresando CA vector como un vector libre en el espacio cartesiano igual a (x 1, y 1) y BD como (x 2, y 2), esto puede ser reescrita como:

    Área = \ frac {1} {2} | x_1 y_2 - x_2 y_1 |.

El área puede ser expresada en términos trigonométricas como

    Área = \ frac {1} {2} pq \ cdot \ sin \ theta,

donde las longitudes de las diagonales son p y q y el ángulo entre ellos es θ. [3] En el caso de un cuadrilátero orthodiagonal por ejemplo rombo, cuadrado, y la cometa, esta fórmula se reduce a \ Tfrac {1} {2} pq ya que θ es de 90 °.

la fórmula de Bretschneider [4] expresa el área en términos de los lados y ángulos:

 \ Begin {align} Zona & = \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - \ tfrac {1} {2} abcd \, [1 + \ cos (\ gamma + \ lambda)]} \ \ & = \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - abcd \ left [^ \ cos 2 \ left (\ tfrac {\ gamma + \ lambda} {2} \ right) \ right]} \ \ s + = \ frac {1} {2} (a + b + c + d), \ \ \ end {align}

donde las partes en la secuencia son a, b, c, d, s es el semiperímetro, y γ y λ son dos ángulos opuestos. Esto reduce a la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico cuando γ + λ = 180 °.

Otra fórmula del área en términos de los lados y ángulos, con γ que está entre los lados b y c, siendo λ entre los lados A y D (lados adyacentes pertenecían a los ángulos), es

 Área = \ frac {1} {2} aC \ cdot \ sin \ gamma + \ frac {1} {2} ad \ cdot \ sin \ lambda.

En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en

 Área = \ frac {1} {2} (ad + bc) \ sin \ gamma.

Y también de un paralelogramo, ya que ambos los lados y ángulos opuestos son iguales, la fórmula final se reduce a ab \ cdot \ sin \ gamma.

A continuación, [5] la siguiente fórmula expresa el área en términos de los lados y diagonales:

 \ Begin {align} Zona & = \ sqrt (sa) (sb) (sc) (sd) - \ tfrac {1} {4} (ac + bd + pq) (ac + bd, pq) \ \ & = \ frac {1} {4} \ sqrt {4p ^ {2} q ^ {2} - \ left (a ^ {2} + c ^ {2}-b ^ {2}-d ^ {2} \ a la derecha) ^ {2}}, \ \ \ end {align}

donde p y q son las diagonales. Una vez más, esto se reduce a la fórmula de Brahmagupta en el caso de un cuadrilátero cíclico, ya que p = q entonces a + c b d.

Alternativamente, podemos escribir el área en términos de los lados y el ángulo θ intersección de las diagonales, siempre y cuando este ángulo no es de 90 °: [6]

 Área = \ frac  {4} \ cdot \ left | a ^ ^ 2 + c 2 - b ^ 2 - d ^ 2 \ right |.

En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en

 Área = \ frac  {2} \ cdot \ left | a ^ 2 - b ^ 2 \ right |.

Varios hechos sobre cuadriláteros especiales

Las diagonales de un cuadrilátero cóncavo cruzado o no se cruzan dentro de la forma.

Las diagonales de un rombo biseca los ángulos.

Sea ABCD un trapecio (en el sentido de EE.UU. de tener dos lados paralelos) con D vértices A, B, C, y en secuencia y con lados paralelos AB y DC. Sea E la intersección de las diagonales, y sea F en el lado DA y G en el lado BC tal que la FEG es paralela a AB y CD. Luego FG es la media armónica de AB y DC:

 \ Frac {1} {FG} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {1} {AB} + \ frac {1} {CC} \ right).

Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.

Un cuadrilátero con lados sucesivos a, b, c, d, p diagonales, q tiene pq = ac + bd.

Un cuadrilátero con vértices sucesivos A, B, C, D y partes sucesivas a = AB, BC = b, c = CD, y d = DA y con p = diagonales AC y BD = q tiene:

 \ Frac {p} {q} = \ frac {ad + cb} {ab + cd}

P ^ {2} = \ frac (ac + bd) (ad + bc) {ab + cd}, y

q ^ {2} = \ frac (ac + bd) (ab + cd) {ad + bc}.

Un cuadrilátero con lados sucesivos a, b, c, d, s semiperímetro ha circunradio (el radio del círculo que circunscribe) propuesta por [7]

 \ Frac {1} {4} \ sqrt {\ frac (ab + cd) (ac + bd) (ad + bc) (sa) (sb) (sc) (sd)}.

Un paralelogramo con diagonales p, q y partes sucesivas a, b, c, yd con d = b y c = a ha

  p 2 + q 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2. 

Para cualquier punto P en el interior de un rectángulo con vértices sucesivos A, B, C, D, hemos

  (A P) 2 + (C P) 2 = (B, P) 2 + (D P) 2. 

Cualquier recta que pasa por el punto medio de un paralelogramo divide la zona.

Un orthodiagonal cuadrilátero (uno con diagonales perpendiculares) con los lados a, b, c, d en secuencia tiene [6] [8] : p. 136 a 2 + b 2 = c 2 + d 2.

No hay cuadriláteros cíclicos con lados desiguales racional en progresión aritmética y con superficie racional. [9]

No hay cuadriláteros cíclicos con lados desiguales racional en progresión geométrica y con zona racional. [9]

Varios hechos acerca de los cuadriláteros en general

La longitud de la diagonal opuesta a los lados adyacentes a y b en el ángulo θ está dada por \ Sqrt {a ^ ^ 2 + b 2 - 2ab \ cos \ theta} que se deriva de la ley de los cosenos . Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo. El área de este paralelogramo interior es igual a la mitad de la superficie externa del cuadrilátero. El perímetro del paralelogramo interior es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero exterior. Vamos plazas exteriores se elaborará en todos los lados de un cuadrilátero. Los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos son (a) la misma longitud, y (b) perpendicular. El segmento de línea que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero, el segmento que une los puntos medios de los otros dos lados, y el segmento que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes y están dividido en dos por su punto de intersección. [8] : p.125 La suma de los cuadrados de las diagonales de un cuadrilátero es igual a dos veces la suma de los cuadrados de los dos segmentos de línea que une los puntos medios de los dos pares de lados opuestos. [8] : p.126 Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero forman un cuadrilátero cíclico. [8] : p. 127

Taxonomía

Una taxonomía de los cuadriláteros se ilustra en el gráfico siguiente. Bajo las formas son casos especiales de las formas superiores. Tenga en cuenta que “trapecio” aquí se refiere a la definición británico (el equivalente de América del Norte es un trapecio), y “barrilete” excluye la cometa cóncava (punta de flecha o dardo). Incluido definiciones se utilizan en todo.

Quadrilateral. (2011, April 27). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 21:14, May 1, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quadrilateral&oldid=426292019

Propiedades de los cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo. El cuadrilátero es una figura geométrica que tiene 4 lados, los cuales son desiguales.

Respecto conTipoDescripción
LadoEquilateroTodos sus lados tienen la misma longitud
 IsóscelesÚnicamente dos de sus lados tienen la misma longitud
 EscalenoTodos sus lados tienen distinta longitud
ÁnguloRectánguloTodos sus ángulos son rectos
 OblicuánguloNo todos sus ángulos son rectos
 ParalelismoLos paralelogramos tienen dos pares de lados paralelos.
 TrapecioTiene un par de lados paralelos y otros dos no paralelos
 TrapezoideNo hay paralelismo entre ninguno de sus lados asi que se denomina trapecio.

Cuadrilátero. (2008, 25) de septiembre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:36, octubre 23, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuadril%C3%A1tero&oldid=20418591.


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