Representar Gráficamente Un Sistema De Ecuaciones Lineales

Representar Gráficamente Un Sistema De Ecuaciones Lineales

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema lineal de tres variables determina un conjunto de planos . El punto de intersección es la solución

En matemáticas , un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es un conjunto de ecuaciones lineales implican el mismo conjunto de variables . Por ejemplo,

es un sistema de tres ecuaciones con las tres variables x, y, z. Una solución para un sistema lineal es una asignación de números a las variables de tal manera que todas las ecuaciones son a la vez satisfecho. Una solución al sistema anterior está dado por

ya que hace que las tres ecuaciones válidas. [1]

En matemáticas, la teoría de sistemas lineales es una rama del álgebra lineal , un tema que es fundamental para la matemática moderna. Computacional algoritmos para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica , y estos métodos desempeñan un papel destacado en ingeniería , física , química , ciencias de la computación , y la economía . Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo se puede aproximar por un sistema lineal (véase la linealización ), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o simulación por ordenador de un complejo sistema relativamente.

Primaria ejemplo

El tipo más simple de sistema lineal consta de dos ecuaciones y dos variables:

Un método para la solución de este sistema es el siguiente. En primer lugar, resolver la ecuación de arriba para x en términos de y:

Ahora sustituimos esta expresión para x en la ecuación de abajo:

Esto da lugar a una ecuación que comporte sólo la variable. Resolver da y = 1, y sustituyendo esto en la ecuación para x rendimientos x = 3 / 2. Este método se generaliza a sistemas con variables adicionales (véase la “eliminación de las variables” más abajo, o el artículo sobre álgebra elemental .) Forma general

Un sistema general de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede ser escrito como

Aquí son las incógnitas, son los coeficientes del sistema, son los términos constantes.

A menudo, los coeficientes y las incógnitas son reales o números complejos , pero los números enteros y números racionales también se observan, como son polinomios y los elementos de un resumen estructura algebraica . Ecuación vectorial

Una visión muy útil es que cada desconocido es un peso para un vector de la columna en una combinación lineal .

Esto permite que todo el lenguaje y la teoría de espacios vectoriales (o, más generalmente, módulos ) para ser ejercida. Por ejemplo, la colección de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores en la mano izquierda se llama su período , y las ecuaciones tienen una solución justa cuando la mano derecha del vector se encuentra dentro de ese lapso. Si cada vector dentro de ese lapso tiene exactamente una expresión como una combinación lineal de los vectores dados de la izquierda, cualquier solución es única. En cualquier caso, la duración tiene una base de linealmente independientes los vectores que se garantiza exactamente una expresión, y el número de vectores en esa base (su dimensión ) no puede ser mayor que m o n, pero puede ser menor. Esto es importante porque si tenemos m vectores independientes una solución está garantizado independientemente de la mano derecha y lo contrario no se garantiza. Matriz de la ecuación

La ecuación vectorial es equivalente a una matriz de la ecuación de la forma

donde A es una matriz m × n, x es un vector columna con las entradas n, yb es un vector columna con las entradas m.

El número de vectores en una base para el lapso se expresa ahora como el rango de la matriz.

Conjunto de soluciones

El conjunto de soluciones de las ecuaciones x - y = −1 y 3 x + y = 9 es el único punto (2, 3).

Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables x 1, x 2, …, x n tal que cada una de las ecuaciones se cumple. El conjunto de todas las soluciones posibles se llama el conjunto solución .

Un sistema lineal puede comportarse de una de las tres formas posibles:

El sistema tiene muchas soluciones infinitamente.

El sistema tiene una única solución única.

El sistema no tiene solución.

Interpretación geométrica

Para un sistema con dos variables (X e Y), cada una ecuación lineal determina una línea sobre el plano xy - plano . Debido a que una solución a un sistema lineal debe cumplir todas las ecuaciones, el conjunto solución es la intersección de estas líneas, y es por lo tanto, ya sea una línea, un solo punto, o el conjunto vacío .

Durante tres variables, cada una ecuación lineal determina un plano en el espacio de tres dimensiones , y el conjunto de soluciones es la intersección de estos planos. Así, el conjunto solución puede ser un plano, una línea, un solo punto, o el conjunto vacío.

Para n variables, cada uno de ecuaciones lineales determina un hiperplano en el espacio n-dimensional . El conjunto de soluciones es la intersección de estos hiperplanos, que puede ser un plano de cualquier dimensión.

Comportamiento general

El conjunto solución de dos ecuaciones con tres variables es por lo general una línea.

n general, el comportamiento de un sistema lineal es determinado por la relación entre el número de ecuaciones y el número de incógnitas:

1)Por lo general, un sistema con menos ecuaciones que incógnitas tiene muchas infinito de soluciones o escasas soluciones únicas veces ( comprimido de detección ). Este sistema también se conoce como un sistema indeterminado .

2)Por lo general, un sistema con el mismo número de ecuaciones e incógnitas tiene una única solución única.

3)Por lo general, un sistema con más ecuaciones que incógnitas no tiene solución. Este sistema también se conoce como un sistema sobredeterminado .

En el primer caso, la dimensión del conjunto de soluciones es generalmente igual a n - m, donde n es el número de variables y m es el número de ecuaciones.

Las siguientes imágenes ilustran esta tricotomía en el caso de dos variables:

Una ecuación

Dos ecuaciones

Tres Ecuaciones

El primer sistema tiene infinitas soluciones, es decir, todos los puntos de la línea azul. El segundo sistema tiene una única solución única, a saber, la intersección de las dos líneas. El tercer sistema no tiene soluciones, ya que las tres líneas de acción no tiene sentido común.

Tenga en cuenta que las imágenes anteriores muestran sólo el caso más común. Es posible que un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que no tienen solución (si las dos líneas son paralelas), o por un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas que se pueden resolver (si las tres líneas se cruzan en un solo punto). En general, un sistema de ecuaciones lineales se puede comportar de manera diferente de lo esperado si las ecuaciones son linealmente dependientes o si dos o más de las ecuaciones son incompatibles.

Propiedades Independencia

Las ecuaciones x - 2 y = −1, 3 x + 5 y = 8, y 4 x + 3 y = 7 no son linealmente independientes.

Las ecuaciones de un sistema lineal son independientes si ninguna de las ecuaciones se pueden derivar algebraicamente de los demás. Cuando las ecuaciones son independientes, cada ecuación contiene nueva información acerca de las variables, y la eliminación de cualquiera de las ecuaciones que aumenta el tamaño de la solución prevista. Para las ecuaciones lineales, la independencia lógica es la misma que la independencia lineal .

Por ejemplo, las ecuaciones

no son independientes - que son la misma ecuación cuando se escala por un factor de dos, y que sería producir gráficos idénticos. Este es un ejemplo de equivalencia en un sistema de ecuaciones lineales.

Para un ejemplo más complicado, las ecuaciones

no son independientes, ya que la tercera ecuación es la suma de los otros dos. De hecho, cualquiera de estas ecuaciones se pueden derivar de las otras dos, y cualquiera de las ecuaciones se pueden eliminar sin afectar al conjunto de soluciones. Los gráficos de estas ecuaciones son tres líneas que se cruzan en un solo punto.

Las ecuaciones de 3 x 2 + y = 6 y 3 x 2 + y = 12 son incompatibles.

Coherencia

Las ecuaciones de un sistema lineal son consistentes si tienen una solución común, e inconsistente de otra manera. Cuando las ecuaciones son incompatibles, es posible derivar una contradicción de las ecuaciones, tales como la afirmación de que 1 = 3.

Por ejemplo, las ecuaciones

son incompatibles. Al tratar de encontrar una solución, que tácitamente asume que hay una solución, es decir, suponemos que el valor de x en la primera ecuación debe ser el mismo que el valor de x en la ecuación de segundo (la misma se supone que al mismo tiempo ser cierto para el valor de y en ambas ecuaciones). Aplicando la propiedad de sustitución (por 3x 2 y) se obtiene la ecuación 6 = 12, que es una declaración falsa. Esto por lo tanto contradice nuestra suposición de que el sistema tenía una solución y llegamos a la conclusión de que nuestra hipótesis era falsa, es decir, el sistema, de hecho, no tiene solución. Los gráficos de estas ecuaciones en el plano xy son un par de paralelas líneas.

Es posible que las tres ecuaciones lineales es incompatible, a pesar de que dos de las ecuaciones son consistentes entre sí. Por ejemplo, las ecuaciones

son incompatibles. Agregar las dos primeras ecuaciones, junto da 3 x 2 + y = 2, que pueden restarse de la tercera ecuación para obtener 0 = 1. Tenga en cuenta que dos de estas ecuaciones tienen una solución común. El mismo fenómeno puede ocurrir por cualquier número de ecuaciones.

En general, se producen incoherencias si los lados izquierdo de las ecuaciones en un sistema son linealmente dependientes, y los términos constantes no se ajusten a la relación de dependencia. Un sistema de ecuaciones cuyas izquierda lados son linealmente independientes es siempre consistente. Equivalencia

Dos sistemas lineales utilizando el mismo conjunto de variables son equivalentes si cada una de las ecuaciones en el segundo sistema se pueden derivar algebraicamente a partir de las ecuaciones en el primer sistema, y viceversa. sistemas equivalentes transmitir precisamente la misma información sobre los valores de las variables. En particular, dos sistemas lineales son equivalentes si y sólo si tienen el mismo conjunto de soluciones. Solución de un sistema lineal

Hay varios algoritmos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Descripción de la solución

Cuando el conjunto de soluciones es finito, por lo general es descrito en la notación de conjunto. Por ejemplo, el conjunto solución 2, 3 y 4 que se escribiría: {2,3,4}

Puede ser difícil de describir un conjunto con infinitas soluciones. Por lo general, algunas de las variables son designadas como libres (o independiente, o como parámetros), lo que significa que se les permite tomar cualquier valor, mientras que el resto de las variables dependen de los valores de las variables libres.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema:

El conjunto de soluciones a este sistema puede ser descrito por las ecuaciones siguientes:

Aquí z es la variable libre, mientras que x e y son dependientes de z. Cualquier punto en el conjunto de soluciones se pueden obtener en primer lugar la elección de un valor de z, y luego calcular los valores correspondientes de x e y.

Cada variable libre da el espacio de solución de un solo grado de libertad , cuyo número es igual a la dimensión de la solución prevista. Por ejemplo, el conjunto de soluciones para la ecuación anterior es una línea, desde un punto en el conjunto de soluciones puede ser elegido por especificar el valor del parámetro z. Una solución infinito de orden superior puede describir un plano, o más dimensiones establecidas.

opciones diferentes para las variables libres puede dar lugar a diferentes descripciones del conjunto de la misma solución. Por ejemplo, la solución a las ecuaciones anteriores, alternativamente puede ser descrito de la siguiente manera:

Aquí x es la variable libre, y Y y Z son dependientes. Eliminación de las variables

El método más sencillo para resolver un sistema de ecuaciones lineales es eliminar varias veces las variables. Este método puede ser descrito de la siguiente manera:

En la primera ecuación, resolver de una de las variables en términos de los otros.

Conecte esta expresión en las ecuaciones restantes. Esto produce un sistema de ecuaciones con una ecuación de menos y menos un desconocido.

Continúe hasta que haya reducido el sistema a una ecuación lineal simple.

Resolver esta ecuación, y luego de vuelta sustituto hasta que toda la solución se encuentra.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema:

Resolución de la primera ecuación para x se tiene x = 5 + z 2 - y 3, y conectar esta en la tercera ecuación de rendimiento y en segundo lugar

Resolución de la primera de estas ecuaciones para los rendimientos y = 2 + 3 z, y conectar esta en los rendimientos segunda ecuación z = 2. Ahora tenemos:

Sustituyendo z = 2 en la segunda ecuación se obtiene y = 8, y la sustitución z = 2 y = 8 en el rendimiento de la primera ecuación x = −15. Por lo tanto, el conjunto de soluciones es el único punto (x, y, z) = (−15, 8, 2). Reducción de la fila Artículo principal: eliminación de Gauss

En la reducción de la fila, el sistema lineal es representado como una matriz aumentada :

Esta matriz es entonces modificado mediante operaciones elementales de fila hasta llegar a la forma escalonada reducida fila . Hay tres tipos de operaciones elementales de renglón:

Tipo 1: Cambiar las posiciones de dos filas.

Tipo 2: Multiplicar una fila por un cero escalar .

Tipo 3: Añadir a una fila de un múltiplo escalar del otro.

Debido a que estas operaciones son reversibles, la matriz aumentada produce siempre representa un sistema lineal que es equivalente a la original.

Hay varios algoritmos específicos a la fila-reducir una matriz aumentada, la más simple de las cuales son la eliminación de Gauss y la eliminación de Gauss-Jordan . El cálculo siguiente se muestra la eliminación de Gauss-Jordan se aplica a la matriz anterior:

La última matriz está en la fila forma escalonada reducida, y representa el sistema x = −15, y = 8, z = 2. Una comparación con el ejemplo en la sección anterior sobre la eliminación algebraica de las variables muestra que estos dos métodos son, en realidad el mismo, la diferencia radica en cómo los cálculos están escritas. de la regla de Cramer Artículo principal: es la regla de Cramer

de la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales, con cada variable dada por un cociente de dos determinantes . Por ejemplo, la solución al sistema

viene dada por

Para cada variable, el denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, mientras que el numerador es el determinante de una matriz en la que ha sido una columna sustituye por el vector de términos constantes.

Aunque la regla de Cramer es importante en teoría, tiene poco valor práctico para grandes matrices, ya que el cálculo de los factores determinantes de grande es un poco engorroso. (De hecho, los determinantes grandes son más fácil de calcular con la reducción de la fila.) Además, la regla de Cramer tiene propiedades numéricas muy pobre, por lo que es inadecuado para resolver incluso los pequeños sistemas de forma fiable, a menos que las operaciones se realizan en la aritmética racional con precisión ilimitada. Otros métodos

Mientras que los sistemas de tres o cuatro ecuaciones se pueden resolver fácilmente con la mano, los ordenadores se utilizan con frecuencia para sistemas más grandes. El algoritmo para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales se basa en la eliminación de Gauss con algunas modificaciones. En primer lugar, es esencial para evitar la división por números pequeños, que pueden conducir a resultados inexactos. Esto se puede hacer por reordenar las ecuaciones de ser necesario, un proceso conocido como giro. En segundo lugar, el algoritmo no es exactamente lo que la eliminación de Gauss, pero calcula la descomposición LU de la matriz. Esto es sobre todo una herramienta de organización, pero es mucho más rápido si uno tiene que resolver varios sistemas con la misma matriz A, pero b diferentes vectores.

Si la matriz A tiene una estructura especial, esto puede ser explotado para obtener o algoritmos más precisos más rápido. Por ejemplo, los sistemas con una simétrica definida positiva de la matriz puede ser resuelto dos veces más rápido con la descomposición de Cholesky . recursión de Levinson es un método rápido de matrices de Toeplitz . También existen métodos especiales para matrices con muchos elementos cero (los llamados matrices dispersas ), que aparecen a menudo en las aplicaciones.

Un enfoque completamente diferente se toma a menudo para sistemas muy grandes, que de otro modo llevaría mucho tiempo o la memoria. La idea es comenzar con una primera aproximación a la solución (que no tiene que ser precisa en absoluto), y para cambiar esta aproximación en varios pasos para acercarla a la verdadera solución. Una vez que la aproximación es suficientemente preciso, este es llevado a ser la solución para el sistema. Esto lleva a la clase de métodos iterativos . sistemas homogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos constantes son cero:

Un sistema homogéneo es equivalente a una ecuación matricial de la forma

donde A es una matriz m × n, x es un vector columna con las entradas n, y 0 es el vector cero con entradas m. Conjunto de soluciones

Cada sistema homogéneo tiene al menos una solución, conocida como la solución a cero (o solución trivial), que se obtiene al asignar el valor de cero a cada una de las variables. El conjunto de soluciones tiene las siguientes propiedades adicionales:

Si u y v son dos vectores que representan soluciones a un sistema homogéneo, entonces la suma de vectores u + v es también una solución al sistema.

Si u es un vector que representa una solución a un sistema homogéneo, y r es cualquier escalar , entonces u r es también una solución al sistema.

Estas son exactamente las propiedades necesarias para la solución va a ser un subespacio lineal de R n. En particular, la solución prevista para un sistema homogéneo es el mismo que el espacio nulo de la matriz correspondiente. Relación con los sistemas no homogéneos

Hay una estrecha relación entre las soluciones a un sistema lineal y las soluciones para el sistema homogéneo correspondiente:

En concreto, si p es una solución concreta para el sistema lineal A x = b, entonces el conjunto de soluciones completo puede ser descrito como

Geométricamente, esto dice que la solución prevista para A x = b es una traducción de la solución prevista para A x = 0. En concreto, el plano para el primer sistema se puede obtener mediante la traducción del subespacio lineal para el sistema homogéneo por el vector p.

Este razonamiento se aplica únicamente si el sistema A x = b tiene por lo menos una solución. Esto ocurre si y sólo si el vector b se encuentra en la imagen de la transformación lineal A.

System of linear equations. (2011, March 24). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 02:56, May 2, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=System_of_linear_equations&oldid=420466946

Representar graficamente un sistema de ecuaciones lineales

En matemática y álgebra lineal, un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

3x + 2y + 4z = 1

4x + 5y - 3z = 12

6x + 5y + 6z = 9

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Sistema lineal de ecuaciones. (2008, 15) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:31, octubre 20, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_lineal_de_ecuaciones&oldid=20993234.


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