Resolver Ecuaciones Cuadráticas Usando La Factorización

Resolver Ecuaciones Cuadráticas Usando La Factorización

Factorización

En matemáticas , la factorización (también factorización en Inglés británico ) o el factoring es la descomposición de un objeto (por ejemplo, un número , un polinomio o una matriz ) en un producto de otros objetos, o factores, que cuando se multiplican juntos dan el original . Por ejemplo, el número 15 en factores primos de 3 × 5, y el polinomio x 2 - 4 factores como (x - 2) (x + 2). En todos los casos, un producto simple de objetos se obtiene.

El objetivo de descomponer en factores es por lo general para reducir algo a “elementos básicos”, tales como números de los números primos, o polinomios con polinomios irreducibles . enteros Factoring está cubierto por el teorema fundamental de la aritmética y polinomios de factoraje por el teorema fundamental del álgebra . fórmulas de Viète relacionar los coeficientes de un polinomio a sus raíces.

Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión , así como la multiplicación de polinomios factores a un “ampliado” polinomio, escrita como una simple suma de los términos.

factorización de enteros para enteros grandes parece ser un problema difícil. No se conoce ningún método para llevarlo a cabo rápidamente. Su complejidad es la base de la supuesta seguridad de algunos criptografía de clave pública algoritmos, tales como RSA .

Una matriz también se puede factorizar en un producto de matrices de tipos especiales, para una aplicación en que esta forma es conveniente. Un ejemplo importante de este utiliza un ortogonal o matriz unitaria , y una matriz triangular . Hay diferentes tipos: la descomposición QR , LQ, QL, RQ, RZ.

Otro ejemplo es la factorización de una función como la composición de las funciones que tenga ciertas propiedades, por ejemplo, cada función puede ser visto como la composición de una función sobreyectiva con una función inyectiva . Esta situación es generalizada en los sistemas de factorización .

Enteros

Por el teorema fundamental de la aritmética , cada positivo entero tiene una única descomposición en factores primos . Con un algoritmo de factorización de enteros, uno puede factorizar cualquier número entero hasta que la constituyen los primos de la aplicación reiterada de este algoritmo. Para un número muy grande, no eficiente algoritmo que se conoce. Cuadráticas polinomios

Cualquier polinomio de segundo grado en los números complejos (polinomios de la forma a x 2 + bx + c donde a, b, y c ∈ \ Mathbb {C} ) Puede tenerse en cuenta en una expresión con la forma a utilizando la fórmula cuadrática . El método es el siguiente:

donde α y β son las dos raíces del polinomio, que se encuentra con la fórmula cuadrática .

Polinomios factorizable sobre los números enteros

donde

 

y

 

A continuación, puede configurar cada binomio igualdad a cero, y resolver para x para revelar las dos raíces. Factoring no implica otras fórmulas, y es sobre todo algo que se ve cuando se encuentra con una ecuación de segundo grado.

Tomemos, por ejemplo 2 x 2 - 5 x + 2 = 0. Debido a = 2 y = a mn, mn = 2, lo que significa que de m y n, uno es una y la otra es de 2. Ahora tenemos (2 x + p) (x + q) = 0.

Debido a = c y pq = c 2, pq = 2, lo que significa que de p y q, uno es una y la otra es de 2 o uno es −1 y el otro es de −2. Una estimación y verificación de sustituir el 1 y 2, y −1 y −2, en p y q (al aplicar pn + mq = b) nos dice que 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 en los factores (2 x - 1) (x - 2) = 0, que nos da las raíces x = {0,5, 2}

Nota: Una forma rápida de comprobar si el segundo término del binomio debe ser positivo o negativo (en el ejemplo, 1 y 2 y −1 y −2) es comprobar la segunda operación en el trinomio (+ o -). Si es +, a continuación, compruebe la primera operación: si es +, los términos serán positivos, mientras que si lo es -, los términos serán negativos. Si la segunda operación es -, habrá una positiva y una negativa a largo plazo, adivinar y comprobar es la única manera de determinar cuál es positivo y que es negativo.

Si un polinomio con coeficientes enteros tiene un discriminante que es un cuadrado perfecto, que polinomio es factorizable sobre los números enteros.

Por ejemplo, visita el polinomio de 2 x 2 + 2 x - 12. Si sustituye los valores de la expresión en la fórmula cuadrática, el discriminante b 2–4 CA se convierte en febrero 2 a 4 × 2 × −12, lo que equivale a 100. 100 es un cuadrado perfecto, de modo que el polinomio de 2 x 2 + 2 x - 12 es factorizable sobre los números enteros, sus factores son 2, (x - 2), y (x + 3).

Ahora mira el polinomio x 2 + 93 x - 2. Su discriminante, 93 2–4 × 1 × (−2), es igual a 8.657, lo que no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto x 2 + 93 x - 2 no se puede factorizar en los números enteros.

Trinomios cuadrados perfectos

Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar en dos binomios idénticos. Estos se llaman ecuaciones cuadráticas trinomios cuadrados perfectos. trinomios cuadrados perfectos se puede factorizar de la siguiente manera:

 

y

 

Suma o diferencia de dos cuadrados Artículo principal: Diferencia de dos cuadrados

Otro tipo común de factorización algebraica se llama la diferencia de dos cuadrados . Es la aplicación de la fórmula

 

a cualquiera de los dos términos, o no son cuadrados perfectos. Si los dos términos se restan, basta con aplicar la fórmula. Si se añaden, los dos binomios obtenidos a partir de la factorización tendrán cada uno un término imaginario. Esta fórmula se puede representar como

 

Por ejemplo, 4 x 2 + 49 puede tenerse en cuenta (2 x + 7 i) (2 x - 7 i).

Factoring, agrupando

Otra forma de factor de algunos polinomios es el factoring mediante la agrupación. Para aquellos que gustan de algoritmos, “factoring mediante la agrupación de” puede ser la mejor manera de acercarse a un trinomio de factoring, ya que toma el trabajo de adivinar el proceso. Un video con el paso a paso las instrucciones sencillas sobre factoring ^ Ax 2 + Bx + C trinomios por la agrupación se puede encontrar en: http://www.youtube.com/watch?v=tPkgssssMZQ

Factoring por agrupación se realiza mediante la colocación de los términos del polinomio en dos o más grupos, donde cada grupo puede tenerse por un método conocido. Los resultados de estas factorizaciones veces se pueden combinar para hacer una expresión aún más simplificado. Por ejemplo, al factor del polinomio

Grupo similares términos, (

Factor de Máximo Común Divisor ,

Factor de binomio

Método de CA

Si un polinomio de segundo grado tiene soluciones racionales, podemos encontrar p y q para que pq = ac y p + q = b. (Si el discriminante es un número cuadrado éstas existen, si no tenemos soluciones irracionales o complejas, y la asunción de soluciones racionales no es válido.)

Los términos en la parte superior se tienen factores comunes que pueden ser un factor fuera y se utiliza para cancelar el denominador, si no es uno. Como ejemplo, consideremos el polinomio de segundo grado:

    

Inspección de los factores de ca = 36 conduce a 4 + 9 = 13 = b.

    

Factoring otros polinomios Suma o diferencia de dos cubos

Otra fórmula para descomponer en factores es la suma o diferencia de dos cubos. La suma puede ser representado por

y la diferencia por

    

Por ejemplo, x 3 - 10 3 (o x 3 - 1000) puede tenerse en cuenta en (x - 10) (x 2 + 10 x + 100).

Factorization. (2011, April 23). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 20:11, May 1, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Factorization&oldid=425471408

Resolver Ecuaciones cuadraticas usando la factorizacion

En matemáticas, la factorización es la descomposición de un objeto o numero(por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).

La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.

Factorizar un polinomio

Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

1. Diferencia de Cuadrados

2. Suma o Diferencia de Cubos

3. Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales

1. Trinomio Cuadrado Perfecto

1. Factor Común

Factorización. (2008, 4) de noviembre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 07:37, noviembre 5, 2008 from http://es.wikipedia.org


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