Semejanza De Tri ángulos

Semejanza De Tri ángulos

Triángulo

Un triángulo es una de las básicas formas de la geometría : un polígono con tres esquinas o vértices y tres lados o bordes que están en segmentos de línea . Un triángulo con vértices A, B y C se denota .ABC.

En la geometría euclidiana cualquiera de los tres no- alineados puntos determinan un triángulo único y un único plano (es decir, una de dos dimensiones del espacio euclidiano ).

Tipos de triángulos

diagrama de Euler de tipos de triángulos, utilizando la definición de triángulos isósceles que tienen por lo menos dos lados iguales, es decir, triángulos equiláteros son isósceles.

Por longitudes relativas de las partes

Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo a la longitud relativa de sus lados:

Equilátero

Isósceles

Escaleno

En los diagramas que representan triángulos (y otras figuras geométricas), “marque” las marcas a lo largo de los lados se usan para indicar los lados de longitudes iguales - el triángulo equilátero tiene marcas de graduación en los 3 lados, el isósceles en los 2 lados. El escaleno ha individuales, dobles y triples marcas de graduación, lo que indica que no hay lados son iguales. Del mismo modo, los arcos en el interior de los vértices se utilizan para indicar los ángulos iguales. El triángulo equilátero indica que todos los tres ángulos son iguales, el isósceles muestra dos ángulos iguales. El escaleno indica en 1, 2 y 3 arcos que hay ángulos son iguales. Por los ángulos internos

Los triángulos también se pueden clasificar de acuerdo a sus ángulos internos , medida aquí en grados .

Un triángulo que tiene dos ángulos con la misma medida también tiene dos lados de la misma longitud, y por lo tanto es un triángulo isósceles. De ello se deduce que en un triángulo en el que todos los ángulos tienen la misma medida, los tres lados tienen la misma longitud, y un triángulo equilátero es tanto.

Derecho

Obtuso

Agudo

Datos básicos

Los triángulos se supone que son de dos dimensiones figuras planas , a menos que el contexto en contrario (ver planas de triángulos no , más abajo). En los tratamientos rigurosos, un triángulo es por consiguiente, un 2 - simple (véase también Politopos ). hechos elementales sobre triángulos fueron presentados por Euclides en los libros de 1–4 de sus elementos , alrededor de 300 AC.

Un triángulo, mostrando ángulo exterior d

Las medidas de los ángulos interiores del triángulo siempre suman 180 grados (mismo color para señalar que son iguales).

Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo en el espacio euclidiano siempre suman 180 grados. [6] Esto permite la determinación de la medida del tercer ángulo de un triángulo dado la medida de dos ángulos. Un ángulo exterior de un triángulo es un ángulo que es un par lineal (y por tanto complementarios ) a un ángulo interior. La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores que no son adyacentes a ella, lo que es el teorema del ángulo externo . La suma de las medidas de los tres ángulos exteriores (una para cada vértice) de cualquier triángulo es 360 grados. [7]

La suma de las longitudes de cualquiera de los dos lados de un triángulo siempre supera la longitud del tercer lado, un principio conocido como la desigualdad del triángulo . Desde los vértices de un triángulo se supone que son no-alineados, no es posible que la suma de las longitudes de dos lados es igual a la longitud del tercer lado.

Dos triángulos se dice que son similares , si todos los ángulos de un triángulo tiene la misma medida que el ángulo correspondiente en el otro triángulo. Los lados correspondientes de triángulos semejantes tienen longitudes que están en la misma proporción, y esta propiedad también es suficiente para determinar la similitud.

Algunos de base teoremas sobre triángulos semejantes:

Dos triángulos que son congruentes tienen exactamente el mismo tamaño y forma: [9], todos los pares de ángulos correspondientes son iguales en medida, y todos los pares de lados correspondientes tienen la misma longitud. (Se trata de un total de seis igualdades, pero tres son a menudo suficientes para demostrar la congruencia.)

Algunas condiciones suficientes para un par de triángulos para ser congruentes son:

Un caso importante:

Uso de triángulos rectángulos y el concepto de similitud, la funciones trigonométricas seno y coseno se puede definir. Estas son las funciones de un ángulo que se investigan en la trigonometría .

El teorema de Pitágoras

Un teorema central es el teorema de Pitágoras , que establece en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Si la hipotenusa tiene longitud c, y las piernas tienen longitudes a y b, entonces el teorema establece que

    

Lo contrario es cierto: si las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen la ecuación anterior, entonces el triángulo tiene un ángulo opuesto c lado derecho.

Algunos otros datos sobre triángulos rectángulos:

    

Para todos los triángulos, los ángulos y los lados están relacionados por la ley de los cosenos y ley de los senos (también llamada la regla del coseno y la regla del seno). Puntos, líneas y círculos asociados con un triángulo

Hay cientos de diferentes construcciones que encontrar un punto de especial asociado con (ya menudo en el interior) de un triángulo, la satisfacción de una propiedad única: véase la sección de referencias de un catálogo de ellos. A menudo se construyen mediante la búsqueda de tres líneas asociadas de una manera simétrica con los tres lados (o vértices) y luego probar que las tres líneas se encuentran en un único punto: una herramienta importante para demostrar la existencia de estos es el teorema de Ceva , que da una criterio para determinar cuando tres líneas son concurrentes . Del mismo modo, las líneas asociadas a un triángulo se construyen a menudo al demostrar que tres puntos construida simétricamente son colineales : aquí el teorema de Menelao proporciona un criterio útil de tipo general. En esta sección sólo algunas de las construcciones más comunes se explican.

Una mediatriz de un lado de un triángulo es una línea recta que pasa por el punto medio del lado y es perpendicular a la misma, es decir, formando un ángulo recto con ella. Las tres mediatrices se reúnen en un solo punto, el triángulo de circuncentro , este punto es el centro de la circunferencia circunscrita , el círculo que pasa por los tres vértices. El diámetro de este círculo, llamado circumdiameter, se puede encontrar en la ley de los senos se ha dicho. La circunferencia de radio se llama circunferencia circunscrita.

“Teorema de Thales implica que si el circuncentro está situado en uno de los lados del triángulo, entonces el ángulo opuesto es un derecho. Si el circuncentro está situado dentro del triángulo, entonces el triángulo es agudo, si el circuncentro se encuentra fuera del triángulo, entonces el triángulo es obtuso. La intersección de las alturas es el ortocentro .

Una altura de un triángulo es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular a (es decir, formando un ángulo recto con) el lado opuesto. Este lado opuesto se llama la base de la altitud, y el punto donde la altura corta a la base (o su extensión) se le llama pie de la altura. La longitud de la altitud es la distancia entre la base y el vértice. Las tres alturas se intersectan en un solo punto, llamado ortocentro del triángulo. El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y sólo si el triángulo es agudo. La intersección de las bisectrices de los ángulos es el centro de la circunferencia inscrita .

Una bisectriz del ángulo de un triángulo es una recta que pasa por un vértice que corta el ángulo correspondiente a la mitad. Las tres bisectrices se cortan en un único punto, el incentro , el centro del triángulo de circunferencia inscrita . La circunferencia inscrita es el círculo que se encuentra dentro del triángulo y toca los tres lados. Su radio se llama inradio. Hay tres importantes otros círculos, la circunferencias exinscritas , sino que se encuentran fuera del triángulo y el tacto de un lado, así como las extensiones de los otros dos. Los centros de las circunferencias exinscritas y en forma de un sistema de orthocentric . La intersección de las medianas es el baricentro .

Una mediana de un triángulo es una línea recta a través de un vértice y el punto medio del lado opuesto, y divide el triángulo en dos áreas iguales. Las tres medianas se cortan en un único punto, el triángulo de centroide o baricentro geométrico. El centroide de un triángulo objeto rígido (corte de una lámina delgada de densidad uniforme) es también su centro de masa : el objeto puede ser equilibrado en su centro de gravedad en un campo gravitatorio uniforme. El centroide cortes cada media en la relación 2:1, es decir, la distancia entre un vértice y el centroide es el doble de la distancia entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto. Círculo de los nueve puntos se muestra una simetría en seis puntos se encuentran en el borde del triángulo.

Los puntos medios de los tres lados y los pies de las tres alturas se encuentran todos en un solo círculo, el triángulo , círculo de los nueve puntos . Los otros tres puntos para el que se nombra son los puntos medios de la porción de altitud entre los vértices y el ortocentro . El radio del círculo de nueve puntos es la mitad de la circunferencia circunscrita. Se toca la circunferencia inscrita (en el punto de Feuerbach ) y las tres circunferencias exinscritas . la recta de Euler es una línea recta a través del centroide (naranja), ortocentro (azul), circuncentro (verde) y el centro del círculo de los nueve puntos (rojo).

El (amarillo), ortocentro baricentro (azul), circuncentro (verde) y el centro del círculo de los nueve puntos (punto rojo) se encuentran todos en una sola línea, conocida como la recta de Euler (línea roja). El centro del círculo de los nueve puntos se encuentra en el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad que entre el baricentro y ortocentro el.

El centro de la circunferencia inscrita no es, en general, situado en la línea de Euler.

Si uno refleja una media en la bisectriz del ángulo que pasa por el mismo vértice, se obtiene una simediano . Los tres symmedians se cruzan en un solo punto, el simediano del triángulo. Cálculo del área de un triángulo El área de un triángulo se puede demostrar que la mitad de la superficie de un paralellogram que tiene la longitud de la misma base y altura.

Cálculo del área de un triángulo es un problema elemental encontrado a menudo en muchas situaciones diferentes. La más conocida y es la más sencilla fórmula:

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} {2} BH

donde b es la longitud de la base del triángulo y h es la altura o la altura del triángulo. “Base” El término se refiere a cualquier lado, y ‘height’ denota la longitud de una perpendicular desde el vértice opuesto al lado en la línea que contiene el mismo lado. En 499 CE Aryabhata , un gran matemático - astrónomo de la época clásica de las matemáticas indias y astronomía india , que se utiliza este método en el Aryabhatiya (sección 2.6). [10]

Aunque simple, esta fórmula sólo es útil si la altura se pueden encontrar fácilmente. Por ejemplo, el inspector de un campo triangular, mide la longitud de cada lado, y se puede encontrar el área de sus resultados sin tener que construir una “altura”. Varios métodos pueden ser utilizados en la práctica, dependiendo de lo que se sabe sobre el triángulo. La siguiente es una selección de las fórmulas utilizadas con frecuencia para el área de un triángulo. [11] Uso de vectores

El área de un paralelogramo incrustado en una de tres dimensiones del espacio euclidiano se puede calcular utilizando vectores . Que los vectores AB y AC, respectivamente, de punto A a B y de A a C. El área del paralelogramo ABCD es entonces

    | {AB} \ times {AC} |,

que es la magnitud del producto vectorial de los vectores AB y AC. El área del triángulo ABC es la mitad de esta,

    \ Frac 1} {2}  \ times {AC} |. . 

El área del triángulo ABC también se puede expresar en términos de productos de punto de la siguiente manera:

    \ Frac 1} {2} \ sqrt {(\ vec {AB} \ cdot \ vec {AB}) (\ vec {AC} \ cdot \ vec {AC}) - (\ vec {AB} \ cdot \ mathbf {AC}) ^ 2} = \ frac {1} {2} \ sqrt { | ^ 2 | \ vec AC}  \ cdot \ vec {AC }) ^ 2}. \,

En el espacio euclidiano tridimensional y dos, expresando vector AB como un vector libre en el espacio cartesiano igual a (x 1, y 1) y AC como (x 2, y 2), esto puede ser reescrita como:

    \ Frac {1} {2} \, |. X_1 y_2 - x_2 y_1 | \,

La aplicación de la trigonometría para encontrar la altura h. Uso de la trigonometría

La altura de un triángulo se puede encontrar a través de la aplicación de la trigonometría .

Sabiendo SAS: El uso de las etiquetas en la imagen de la izquierda, la altura es h = γ un pecado. Sustituyendo esto en la fórmula del área = ½ bh derivados anterior, el área del triángulo se puede expresar como:

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} {2} ab \ sin \ gamma = \ frac {1} {2} bc \ sin \ alpha = \ frac {1} {2} ca \ sin \ beta

(Donde α es el ángulo interior de A, β es el ángulo interior en B, γ es el ángulo interior en C y C es la línea AB).

Por otra parte, puesto que el pecado α = sin (π - α) = sen (β + γ), y lo mismo para los otros dos ángulos:

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} {2} ab \ sin (\ alpha + \ beta) = \ frac {1} {2} bc \ sin (\ beta + \ gamma) = \ frac {1} {2} ca \ sin (\ gamma + \ alpha).

Sabiendo AAS:

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {b ^ {2} (\ sin \ alpha) (\ sin (\ alpha + \ beta))} {2 \ sin \ beta},

y análogamente, si el lado más conocido es A o C.

ASA saber: [12]

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {a ^ {2}} {2 (\ cot \ beta + \ cot \ gamma)} = \ frac {a ^ {2} (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma) 2} {\ sin (\ beta + \ gamma)},

y análogamente, si el lado más conocido es B o C. Uso de coordenadas

Si el vértice A se encuentra en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas y las coordenadas de los otros dos vértices son dados por B = (x B, y B) y C = (x C, y C), a continuación, el área se puede calcular como ½ veces el valor absoluto del determinante

    \ Mathrm Espacio} = \ frac {1} {2} \ left  x_B y x_C \ \ y_B y y_C \ end pmatrix} \ right  {2} | y_C x_B - y_B x_C |.

Durante tres vértices general, la ecuación es:

    \ Mathrm Espacio} = \ frac {1} {2} \ left  x_A y x_B y x_C \ \ y_A y y_B y y_C \ \ 1 & 1 & 1 \ end pmatrix} \ derecho  {2} \ grandes | x_A y_B - x_A y_C + x_B y_C - x_B y_A + x_C y_A - x_C y_B \ grande |
    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} {2} \ grandes | (x_A - x_C) (y_B - y_A) - (x_A - x_B) (y_C - y_A) \ grandes |.

En tres dimensiones, el área de un triángulo general {A = (x A, y A, z A), B = (x B, y B, z B) y C = (x C, y C, z C)} es la suma de Pitágoras de las áreas de las previsiones respectivas en los tres planos principales (es decir, x = 0, y = 0 y z = 0):

    \ Mathrm Espacio} = \ frac {1} {2} \ sqrt {\ left  x_A y x_B y x_C \ \ y_A y y_B y y_C \ \ 1 & 1 & 1 \ end pmatrix} \ right  y_A y y_B y y_C \ \ z_A y z_B y z_C \ \ 1 & 1 & 1 \ end pmatrix} \ right  z_A y z_B y z_C \ \ x_A y x_B y x_C \ \ 1 & 1 & 1 \ end pmatrix} \ right .

Uso de las integrales de línea

El área dentro de cualquier curva cerrada, como un triángulo, está dada por la integral de línea alrededor de la curva de la algebraica o firmados distancia de un punto de la curva de una arbitraria orientado línea recta L. Puntos a la derecha de L como orientado se toman como a una distancia negativa de L, mientras que el peso de la integral se toma como el componente de la longitud del arco paralelo a la L en lugar de la longitud del arco propio.

Este método es muy adecuado para el cálculo de la superficie de una arbitraria polígono . La L a ser el eje x, la integral de línea entre los vértices consecutivos (x i, y i) y (x i +1, y i +1) viene dada por la base por la altura media, es decir, (x i +1 - x i) (y + y i +1) / 2. El signo de la zona es un indicador general de la dirección del recorrido, con área negativa indicando recorrido en sentido antihorario. El área de un triángulo, luego cae como el caso de un polígono con tres lados.

Mientras que el método integral de línea tiene en común con otros métodos de coordinación con sede en la elección arbitraria de un sistema de coordenadas, a diferencia de los demás no tiene elección arbitraria de los vértices del triángulo como origen o de lado, como base. Además, la elección de sistema de coordenadas definido por L se compromete a sólo dos grados de libertad en lugar de los tres habituales, ya que el peso es una distancia local (por ejemplo, x i +1 - x i en la fecha anterior) donde el método no requiere la elección de un eje normal a L.

Cuando se trabaja en coordenadas polares no es necesario para convertir a coordenadas cartesianas para utilizar la línea de la integración, ya que la integral de línea entre los vértices consecutivos (r i, θ i) y (r i +1, θ i +1) de un polígono se le da directamente por i r i un pecado (θ i +1 - θ i) / 2. Esto es válido para todos los valores de θ, con cierta disminución en la precisión numérica cuando | θ | es muchos órdenes de magnitud mayor que π. Con esta área de formulación negativa indica recorrido de las agujas del reloj, lo que debería tenerse en cuenta cuando se mezclan las coordenadas polares y cartesianas. Así como la elección del eje y (x = 0) es irrelevante para la integración de la línea en coordenadas cartesianas, por lo que es la opción de cero la partida (θ = 0) carece de importancia aquí. Utilizando la fórmula de Herón

La forma del triángulo está determinado por las longitudes de los lados solo. Por lo tanto la zona también se pueden derivar de las longitudes de los lados. Por la fórmula de Herón :

    \ Mathrm {Espacio} = \ sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}

donde s = \ frac {a + b + c} {2} es el semiperímetro, o la mitad del perímetro del triángulo.

Tres formas equivalentes de escribir la fórmula de Herón se

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} {4} \ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2–2 (a ^ ^ 4 + b 4 + c ^ 4)

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} {4} \ sqrt {2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ ^ 4 + c 4 )}

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} {4} \ sqrt (a + bc) (a-b + c) (-a + b + c) (a + b + c).

Fórmulas imitando la fórmula de Herón

Tres fórmulas tienen la misma estructura que la fórmula de Herón, pero se expresan en función de diferentes variables. En primer lugar, que denota las medianas de los lados a, b, yc, respectivamente, m, b m, y c m y su semi-suma (soy un m + b + c m) / 2, σ, tenemos [13]

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {4} {3} \ sqrt {\ sigma (\ sigma - m_a) (\ sigma - m_b) (\ sigma - m_c)}.

A continuación, denota la altura de los lados a, b, yc, respectivamente, como un h, h b, yc h, y que denota la semi-suma de los recíprocos de las alturas como H = (h_a ^ {−1} + h_b ^ {−1} + h_c ^ {−1}) / 2 tenemos [14]

    \ Mathrm {Espacio} ^ {−1} = 4 \ sqrt {H (^ H-h_a {−1}) (^ H-h_b {−1}) (^ H-h_c {−1})}.

Y que denota la semi-suma de los senos de los ángulos “, como S = [(\ sin \ \ \ alpha) + (\ sin \ \ \ beta) + (\ sin \ \ \ gamma)] / 2 , Tenemos [15]

    \ Mathrm {Espacio} = D ^ {2} \ sqrt {S (S-\ sin \ alpha) (S-\ sin \ beta) (S-\ sin \ gamma)}

donde D es el diámetro de la circunferencia circunscrita: D = \ tfrac ā {\ sin \ alpha} = \ tfrac {b} {\ sin \ beta} = \ tfrac {c} {\ sin \ gamma}. Usando el Teorema de Pick

Ver el teorema de selección de una técnica para encontrar el área de cualquier arbitraria polígono red .

El teorema:

    \ Mathrm {} = Área de I + \ frac {1} {2} B - 1

donde es el número de puntos de la red interna y B es el número de puntos de la red se extiende en la frontera del polígono. área de otras fórmulas

Numerosas fórmulas del área existen otras, tales como

    \ Mathrm {Espacio} s = r \ cdot,

donde r es la inradio , y s es el semiperímetro;

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} ^ {2} D {2} (\ sin \ alpha) (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma)

para circumdiameter D, y [16]

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {\ tan \ alpha} {4} (b ^ {2} + c ^ {2}-a ^ {2})

para el ángulo \ Alpha \ ne 90 °.

Denota el radio del círculo inscrito en modo lectura y los radios de las circunferencias exinscritas como R 1, R 2 y R 3, la zona se puede expresar como [17]

    \ Mathrm {Espacio} = \ sqrt {} rr_1r_2r_3.

En 1885, Baker [18] hizo una colección de más de un centenar de fórmulas de área distinta para el triángulo (aunque el lector debe saber que algunos de ellos son incorrectos). Estos incluyen # 9, # 39 bis, 39 ter # 42 # y # 49:

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} {2} ^ [abch_ah_bh_c] {1.3},

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {1} {2} \ sqrt {} abh_ah_b,

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {a + b} {(^ ^ h_a {1} + {−1} h_b) 2},

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {Rh_bh_c} ā

para circunradio (radio de la circunferencia circunscrita) R, y

    \ Mathrm {Espacio} = \ frac {h_ah_b} {2 \ sin \ gamma}.

Límite superior de la zona

El área de cualquier triángulo con p perímetro es inferior o igual a \ Frac {p ^ 2} {12 \ sqrt {3}}, con la igualdad de explotación, si y sólo si el triángulo es equilátero. [19] Informática de los lados y ángulos

Hay varios métodos estándar para calcular la longitud de un lado o el tamaño de un ángulo. Algunos métodos son adecuados para el cálculo de los valores de un triángulo rectángulo; métodos más complejos pueden ser necesarios en otras situaciones. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos Artículo principal: funciones trigonométricas Un triángulo rectángulo siempre incluye una ° (π / 2 radianes) ángulo de 90, aquí con la etiqueta C. Los ángulos A y B pueden variar. funciones trigonométricas especificar las relaciones entre los longitudes de los lados y ángulos interiores de un triángulo rectángulo.

En los triángulos rectángulos , las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente se puede utilizar para encontrar los ángulos desconocidos y las longitudes de los lados desconocidos. Los lados del triángulo que se conoce como sigue:

    La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definido como el lado más largo de un triángulo rectángulo de ángulos, en este caso h.
    El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo que nos interesa, en este caso.
    El lado adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo que nos interesa y el ángulo derecho, de ahí su nombre. En este caso, el lado adyacente es b. 

Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del lado opuesto a la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

    \ Sen A = \ frac {\ {textrm contrario \, \, lado}} {\ textrm hipotenusa {}} = \ frac ā {h} \,.

Tenga en cuenta que esta relación no depende de un triángulo rectángulo particular elegido, siempre y cuando contenga el ángulo A, ya que todos los triángulos son similares .

El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del lado adyacente a la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

    \ Cos A = \ frac {\ {textrm adyacentes \, \, lado}} {\ textrm hipotenusa {}} = \ frac {b} {h} \,.

La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del lado opuesto a la longitud del lado adyacente. En nuestro caso

    \ Tan A = \ frac {\ {textrm contrario \, \, lado}} {\ {textrm adyacentes \, \, lado}} = \ frac ā {b} = \ frac {\ sen A} {\ cos A} \,.

El acrónimo “ SOH-CAH-TOA “es una útil tecla de acceso para estas relaciones. Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas se puede utilizar para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo en ángulo con la longitud de cualquiera de los dos lados.

Arcsin se puede utilizar para calcular el ángulo de la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa

    \ Theta = \ arcsen \ left (\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {hipotenusa}} \ right)

Arccos se puede utilizar para calcular el ángulo de la longitud del lado adyacente y la longitud de la hypontenuse.

    \ Theta = \ arccos \ left (\ frac {\ text {lado adyacente}} {\ text {hipotenusa}} \ right)

Arctan se puede utilizar para calcular el ángulo de la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente.

    \ Theta = \ arctan \ left (\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {lado adyacente}} \ right)

En la geometría inicial y los cursos de trigonometría, el pecado notación −1, cos −1, etc, se utilizan a menudo en lugar de arcsen, arccos, etc Sin embargo, el arcsen, arccos, etc, es la notación estándar en matemáticas superiores, donde trigonométricas funciones son comúnmente planteadas a los poderes, ya que esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y la inversa de composición . El seno, coseno y tangente normas Artículo principal: Ley de senos , ley de cosenos y tangentes de la Ley Un triángulo con lados de longitud a, b y c y ángulos de α, β y γ, respectivamente.

La ley de los senos , o la regla del seno, [20] afirma que la relación entre la longitud de un lado al seno de su ángulo opuesto correspondiente es constante, es decir

    \ Frac ā {\ sin \ alpha} = \ frac {b} {\ sin \ beta} = \ frac {c} {\ sin \ gamma}.

Esta proporción es igual al diámetro del círculo circunscrito del triángulo dado. Otra interpretación de este teorema es que cada triángulo con ángulos α, β y γ es similar a un triángulo con longitudes de los lados igual al sena, sinβ y sinγ. Este triángulo se puede construir en primer lugar la construcción de un círculo de diámetro 1, e inscribiendo en él dos de los ángulos del triángulo. La longitud de los lados de ese triángulo se sena, sinβ y sinγ. El lado cuya longitud es sena es opuesto al ángulo cuya medida es α, etc

La ley de los cosenos , o la regla del coseno, se conecta la longitud de un lado desconocido de un triángulo a la longitud de los otros lados y el ángulo opuesto al lado desconocido. De acuerdo con la ley:

Para un triángulo con una longitud de lados a, b, c y ángulos de α, β, γ, respectivamente, teniendo en cuenta dos longitudes conocido de un triángulo A y B, y el ángulo entre lo conocido γ dos lados (o el ángulo opuesto a lo desconocido lado c), para calcular el tercer lado c, la fórmula siguiente se puede utilizar:

    c ^ 2 \ = a ^ 2 + b 2 - 2ab \ cos (\ gamma)
    b ^ 2 \ = a ^ ^ 2 + c 2 - 2AC \ cos (\ beta)
    a ^ 2 \ b = ^ 2 + c ^ 2 - 2 AC \ cos (\ alpha)

Si las longitudes de los tres lados de un triángulo se conocen los tres ángulos se pueden calcular:

    \ Alpha = \ arccos \ left (\ frac {b ^ ^ 2 + c 2-a ^ 2} {2 AC} \ right)
    \ Beta = \ arccos \ left (\ frac {a ^ ^ 2 + c ^ 2-b 2} {2AC} \ right)
    \ Gamma = \ arccos \ left (\ frac {a ^ ^ 2 + b 2-c ^ 2} {2ab} \ right)

La ley de las tangentes o descartar la tangente, es menos conocida que las otras dos. Afirma que:

    \ Frac {ab} {a + b} = \ frac {\ tan [\ frac {1} {2} (\ alpha, \ beta)]} [{\ tan \ frac {1} {2} (\ alpha + \ beta)]}.

No se utiliza muy a menudo, pero se puede utilizar para buscar un lado o un ángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo de una o dos ángulos y un lado. Además de las fórmulas generales triángulos euclidiana

Las fórmulas siguientes también son ciertas para todos los triángulos de Euclides:

    \ Frac {3} {4} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ = m_a {2} + m_b ^ {2} + m_c ^ {2} [21] : p. 70 

y

    m_a = \ frac {1} {2} \ sqrt {2b ^ 2} {2 ^ {2} c-a ^ ​​{2}} = \ sqrt {\ frac {1} {2} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) - \ frac {3} {4} a ^ {2}} , 

y equivalente para b y c m m, sobre las medianas y los lados;

    \ Text {longitud de la bisectriz interior de} \ \ \ alpha = \ frac {2 \ sqrt {BCS (sa)}} {b + c} = \ sqrt {aC [1 - \ frac {a ^ {2}} {(b + c) ^ {2}}]}

s de semiperímetro, donde la longitud medida es la bisectriz del vértice hasta su confluencia con el lado opuesto, y las fórmulas de las que participaron el circunradio R y el r inradio:

    \ Frac {1} {r} = \ frac {1} {h_a} + \ frac {1} {h_b} + \ frac {1} {} h_c [21] : p. 79 

en términos de las alturas,

    \ Frac {r} {R} = \ frac {4 \ cdot \ text {} Zona ^ {2}} {SABC} = \ cos \ alpha + \ cos \ beta + \ cos \ gamma −1 , 

y

    2RR = \ frac {abc} {a + b + c} . 

Supongamos que dos adyacentes, pero que no se superponen triángulos comparten el mismo lado de la longitud de f y compartir la misma circunferencia circunscrita, de modo que el lado de longitud f es una cuerda de la circunferencia circunscrita y los triángulos tienen longitudes de los lados (a, b, f) y (c , d, f), con los dos triángulos formando un cuadrilátero cíclico , con longitudes de los lados en la secuencia (a, b, c, d). A continuación, [22] : 84

    f ^ 2 = \ frac (ac + bd) (ad + bc) (ab + cd). \,

Sea M el baricentro de un triángulo con vértices A, B y C, y sea P cualquier punto interior. A continuación, las distancias entre los puntos están relacionados por [22] : 174

    (PA) ^ 2 + (PB) ^ 2 + (PC) ^ 2 = (MA) ^ 2 + (MB) ^ 2 + (MC) ^ 2 +3 (PM) ^ 2. \,

Sea p a, b p, y c p la distancia desde el centroide a los lados de longitudes a, b, yc. A continuación, [22] : 173

    \ Frac {} {p_a p_b} = \ frac {b} ā, \ \ \ \ \ frac {} {p_b p_c} = \ frac {c} {b}, \ \ \ \ \ frac {} {p_a p_c} = \ frac {c} ā \,

y

    p_a \ cdot a = b p_b \ cdot p_c = c \ cdot = \ frac {2} {3} \ cdot \ text {} Zona. \,

El producto de dos lados de un triángulo es igual a la altura de los tiempos tercer lado del diámetro de la circunferencia circunscrita. [21] : p. 64

Teorema de Carnot establece que la suma de las distancias entre el circuncentro a los tres lados es igual a la suma de la circunferencia circunscrita y la inradio. [21] : p. 83 Aquí la longitud de un segmento se considera negativa si y sólo si el segmento se encuentra totalmente fuera del triángulo.

Teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro es dada por [21] : p. 85.

    d 2 = R (R - 2 r) 

donde R es la circunferencia circunscrita y r es el inradio. Así, para todos los triángulos R ≥ 2 r.

Si denotamos que el ortocentro divide una altitud en segmentos de longitud u y v, otra altura en el segmento de longitud w y x, y el tercero en altura longitudes de segmento y, z, entonces uv = wx = yz. [21] : p. 94

La distancia desde un lado al circuncentro es igual a la mitad de la distancia desde el vértice opuesto a la ortocentro. [21] : p. 99

La suma de los cuadrados de las distancias de los vértices del ortocentro, más la suma de los cuadrados de los lados es igual a doce veces el cuadrado de la circunferencia circunscrita. [21] : p. 102 de trisectriz teorema de Morley Artículo principal: teorema de Morley de trisectriz El triángulo de Morley, como resultado de la trisección de cada ángulo interior.

de trisectriz teorema de Morley afirma que en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de las adyacentes trisectores ángulo forman un triángulo equilátero, llamado el triángulo de Morley.

Las cifras inscritas en un triángulo

Como se mencionó anteriormente, cada triángulo tiene un círculo inscrito única (circunferencia inscrita) que es interior al triángulo y tangente a las tres partes.

Cada triángulo tiene un único elipse inscrita de Steiner , que es interior al triángulo y tangente a los puntos medios de los lados. teorema de Marden muestra cómo buscar los focos de la elipse . [23]

Cada triángulo tiene tres cuadrados inscritos (plazas en su interior de tal manera que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos están ubicados en el mismo lado y, por tanto uno de los lados del cuadrado coincide con parte de un equipo de el triángulo). Sin embargo, en el caso de un triángulo rectángulo dos de las plazas coinciden y tienen un vértice en el triángulo de ángulo recto, por lo que un triángulo rectángulo tiene sólo dos plazas inscritos distintos. Dentro de un triángulo dado, un lado más común se asocia con un cuadrado más pequeño inscrito. Si un cuadrado inscrito tiene el lado de longitud s y el triángulo tiene un lado de la longitud x, parte de qué lado coincide con un lado de la plaza, a continuación, s, x, y el triángulo de la zona A están relacionadas de acuerdo con [24]

    s = \ frac {2AX} {x ^ 2 + 2 A}.

La mayor proporción posible de la superficie del cuadrado inscrito en el área del triángulo es 1 / 2, que se produce cuando x 2 = 2 A. Planas de triángulos no

Un triángulo no-planar es un triángulo que no está contenida en un plano (plano). Algunos ejemplos de triángulos planos-no en las geometrías no euclidianas son triángulos esféricos en la geometría esférica y triángulos hiperbólica en la geometría hiperbólica .

Si bien las medidas de los ángulos internos de los triángulos planos siempre suman 180 °, un triángulo hiperbólico tiene unas medidas de ángulos que suman menos de 180 °, y un triángulo esférico tiene unas medidas de ángulos que suman más de 180 °. Un triángulo hiperbólico se puede obtener sobre la base de una superficie curvada negativamente, como una superficie de asiento , y un triángulo esférico puede obtener sobre la base de una superficie curvada positivamente como una esfera . Por lo tanto, si uno dibuja un triángulo gigante en la superficie de la Tierra, se encontrará que la suma de las medidas de sus ángulos es mayor de 180 °; hecho de que será de entre 180 ° y 540 °. En [25] En particular, es posible dibujar un triángulo en una esfera de tal manera que la medida de cada uno de sus ángulos interiores es igual a 90 º, sumando un total de 270 °.

En concreto, en una esfera de la suma de los ángulos de un triángulo es

    180 ° × (1 +4 f), 

donde f es la fracción de la esfera de la zona que está encerrada por el triángulo. Por ejemplo, supongamos que dibujar un triángulo en la superficie de la Tierra con vértices en el Polo Norte, en un punto sobre el ecuador a los 0 ° de longitud, y un punto en el ecuador en la longitud 90 ° Oeste. El gran círculo de línea entre los dos últimos puntos es la línea ecuatorial, y la línea de círculo máximo entre cualquiera de los puntos y el Polo Norte es una línea de longitud, por lo que hay ángulos rectos en los dos puntos en el ecuador. Por otra parte, el ángulo en el Polo Norte también es de 90 ° porque los otros dos vértices difieren en 90 ° de longitud. Así que la suma de los ángulos de este triángulo es de 90 ° +90 ° +90 ° = 270 °. El triángulo encierra un cuarto del hemisferio norte (90 ° / 360 ° visto desde el Polo Norte) y por lo tanto 1 / 8 de la Tierra de la superficie, por lo que en la fórmula f = 1 / 8, por lo que la fórmula correctamente da la suma de los ángulos del triángulo como 270 °.

De la fórmula del ángulo suma anterior también podemos ver que la superficie terrestre es localmente plana: Si dibujamos un pequeño triángulo de manera arbitraria en las cercanías de un punto de la Tierra de la superficie, la fracción f de la Tierra de la superficie de la que es encerrada por el triángulo ser arbitrariamente cercana a cero. En este caso la fórmula se simplifica a suma de los ángulos de 180 °, que sabemos que es lo que nos dice la geometría euclidiana para los triángulos sobre una superficie plana. Triángulos en la construcción Artículo principal: Armadura El edificio Flatiron en Nueva York es de forma triangular.

Rectángulos han sido los más populares y comunes de forma geométrica de los edificios ya que la forma es fácil de apilar y organizar, como norma, es fácil de diseñar muebles y accesorios para caber dentro de edificios en forma rectangular. Sin embargo, triángulos, mientras que más difícil de utilizar conceptualmente, proporcionan una gran cantidad de fuerza. Como la tecnología informática ayuda a los arquitectos el diseño creativo de nuevos edificios, formas triangulares son cada vez más frecuentes a medida que partes de edificios y que la forma primaria de algunos tipos de rascacielos, así como materiales de construcción. En Tokio, en 1989, los arquitectos se había preguntado si era posible construir una torre de 500 pisos para proporcionar espacio de oficina al alcance de esta ciudad densamente repleto, pero con el peligro para los edificios de los terremotos , los arquitectos consideran que una forma triangular, habría sido necesario si tal un edificio nunca se han construido (que no ha en 2011). [26] En la ciudad de Nueva York , en Broadway recorre las principales avenidas, los bloques resultantes se cortan como triángulos, y los edificios se han construido en estas formas, uno de esos edificio es la forma triangular Flatiron Edificio Residencia de personas reales que admitir que tiene un “laberinto de espacios torpe que no se adaptan fácilmente a mobiliario de oficina moderna”, pero eso no ha impedido que la estructura se convierta en un icono de referencia. [27] Los diseñadores han hecho en casas Noruega triangular. temas con [28] formas Triángulo han aparecido en las iglesias [29] , así como edificios públicos, incluidos colegios [30] , así como soporte para los diseños innovadores de origen. [31] Los triángulos son robustas, mientras que un rectángulo se puede caer en una paralelogramo de la presión a uno de sus puntos, triángulos tienen una fuerza natural que soporta las estructuras frente a las presiones laterales. Un triángulo no cambiar de forma a menos que sus lados se doblan o ampliar o rota, o si sus articulaciones descanso, en esencia, cada uno de los tres lados apoya las otras dos. Un rectángulo, en cambio, es más dependiente de la fuerza de sus articulaciones en un sentido estructural. Algunos diseñadores innovadores han propuesto hacer ladrillos no por rectángulos, pero con formas triangulares que se pueden combinar en tres dimensiones. [32] Es probable que los triángulos se utilizará cada vez más en nuevas formas a medida que aumenta la arquitectura de la complejidad.

Triangle. (2011, April 27). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 01:01, May 2, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Triangle&oldid=426283691


Semejanza de triangulos

Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

El único caso en que estos tres centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

Clasificación de los triángulos

Por la longitud de sus lados se clasifican en:

Por la amplitud de sus ángulos:

o Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).

o Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Además, tienen estas denominaciones y características:

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Los triángulos obtusángulos son:

Triángulo. (2008, 4) de noviembre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 07:41, noviembre 5, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulo&oldid=21479118.


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