Teorema De Pit ágoras

Teorema De Pit ágoras

teorema de Pitágoras

En matemática , el teorema de Pitágoras o el teorema de Pitágoras es una relación en la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo (en ángulo recto del triángulo a la derecha). En términos de áreas, que establece lo siguiente:

En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son las dos piernas (las dos partes que se unen en un ángulo recto ).

El teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona la longitud de los lados a, b, yc, a menudo llamada la ecuación de Pitágoras:

donde c representa la longitud de la hipotenusa, y a y b representan las longitudes de los otros dos lados.

El teorema de Pitágoras es el nombre del matemático griego Pitágoras , que por tradición se le atribuye su descubrimiento y la prueba , [2] [3] aunque se suele decir que el conocimiento del teorema de lo anterior. Hay pruebas de que los matemáticos babilonios entiende la fórmula, aunque hay poca evidencia que sobreviven equipado en un marco matemático. [4] [5]

El teorema se refiere tanto a las áreas y longitudes, o puede decirse que ambas áreas y las interpretaciones métricas. [6] [7] Algunas pruebas del teorema se basa en una interpretación, algunas sobre el otro, utilizando técnicas algebraicas y geométricas. [8] El teorema puede ser generalizado de varias maneras, incluyendo espacios de dimensión superior, a los espacios que no euclidiana, a los objetos que no son triángulos rectángulos, y, de hecho, a los objetos que no son triángulos en absoluto, pero de dimensión n sólidos. El teorema de Pitágoras ha despertado el interés fuera de las matemáticas como un símbolo de hermetismo matemáticas, mística, o el poder intelectual; referencias en la literatura popular, obras de teatro, abundan los musicales, canciones, sellos y los dibujos animados.

Otras formas

Como se señala en la introducción, si c denota la longitud de la hipotenusa y b y un denotan las longitudes de los otros dos lados, el teorema de Pitágoras se puede expresar como la ecuación de Pitágoras:

    

Si la longitud de A y B son conocidos, entonces c se puede calcular de la siguiente manera:

    

Si la longitud de c y una pierna (A o B) son conocidos, la longitud de la otra pierna se puede calcular con las siguientes ecuaciones:

    

o

    

La ecuación de Pitágoras establece una relación simple entre los tres lados de un triángulo rectángulo de modo que si la longitud de cualquiera de los dos lados son conocidos, la longitud del tercer lado se puede encontrar. Una generalización de este teorema es la ley de los cosenos , que permite el cálculo de la longitud del tercer lado de cualquier triángulo, teniendo en cuenta las longitudes de dos lados y el tamaño del ángulo entre ellos. Si el ángulo entre los lados es un ángulo recto, el teorema del coseno se reduce a la ecuación de Pitágoras.

Las pruebas

Este teorema puede haber conocido las pruebas más que cualquier otro (la ley de reciprocidad cuadrática ser otro candidato para esa distinción), El libro de Pitágoras contiene la Proposición 370 pruebas. la [9]

Prueba utilizando triángulos semejantes

Esta prueba se basa en la proporcionalidad de los lados de dos similares triángulos, es decir, en el hecho de que la relación de cualquiera de los dos lados correspondientes de triángulos semejantes es el mismo independientemente del tamaño de los triángulos.

Sea ABC representa un triángulo rectángulo, con el ángulo recto se encuentra en C, como se muestra en la figura. Señalamos a la altura del punto C, H y llame a su intersección con el lado AB. El punto H se divide la longitud de la hipotenusa c en las partes D y E. El nuevo triángulo ACH es semejante al triángulo ABC, porque ambos tienen un ángulo recto (por definición de la altitud), y comparten el ángulo en A, lo que significa que el tercer ángulo será el mismo en ambos triángulos, así, marcados como θ en la figura. Por un razonamiento similar, el triángulo CBH es también similar a la ABC. La prueba de la similitud de los triángulos requiere que el Triángulo de postulado : la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos, y es equivalente al postulado de las paralelas . La similitud de los triángulos lleva a la igualdad de las relaciones entre los lados correspondientes:

    \ Frac ā {c} = \ frac ē ā mbox \ frac {y} \ {b} {c} = \ frac {d} {b}. \,

El primer resultado se compara el coseno de cada θ ángulo y el segundo resultado se compara la senos .

Estas relaciones se pueden escribir como:

    a ^ 2 = c \ veces e \ mbox {y} ^ b 2 = c \ veces d. \,

Sumando estas dos igualdades, obtenemos

    a ^ ^ 2 + b 2 = c \ veces e + c \ times d = c \ times (d + e) ​​^ c = 2, \, \!

que poner en orden, es el teorema de Pitágoras:

    a ^ ^ 2 + b 2 = c ^ 2 \. \, \!

Esta es una prueba métricas en el sentido de Dantzig, que depende de la longitud, no zonas. El papel de esta prueba en la historia es objeto de mucha especulación. La cuestión subyacente es la razón por Euclides no hizo uso de esta prueba, pero inventó otro. Una conjetura es que la prueba de triángulos semejantes que participan una teoría de las proporciones, no es un tema discutido hasta más tarde en los elementos, y que la teoría de las proporciones es necesario un mayor desarrollo en ese momento. [10] [11] la demostración de Euclides La prueba en los Elementos de Euclides

A grandes rasgos, así es como la prueba de Euclides Elementos producto. La gran plaza se divide en un rectángulo de la izquierda y la derecha. Un triángulo se construye que tiene la mitad del área del rectángulo de la izquierda. A continuación, se construye otro triángulo que tiene la mitad de la zona de la plaza a la izquierda-la mayoría de lado. Estos dos triángulos se muestran para ser congruentes, lo que demuestra esta plaza tiene la misma área que el rectángulo de la izquierda. Este argumento es seguido por una versión similar para el rectángulo de la derecha y la plaza restante. Poner los dos rectángulos juntos para reformar el cuadrado de la hipotenusa, su área es igual a la suma de la superficie de las otras dos plazas. Los detalles están al lado.

Sean A, B, C el vértices de un triángulo rectángulo, con un ángulo recto en A. Caída de una perpendicular de la A a la parte opuesta de la hipotenusa en el cuadrado de la hipotenusa. Esa línea se divide el cuadrado de la hipotenusa en dos rectángulos, cada uno que tiene la misma superficie que una de las dos plazas en las piernas.

Para la prueba formal, se requieren cuatro primarias lemas :

    Si dos triángulos tienen dos lados de la cada uno igual a dos lados de la otra, cada una de ellas, y los ángulos incluidos por los lados iguales, entonces los triángulos son congruentes ( lado-ángulo-lado ).
    El área de un triángulo es la mitad de la superficie de cualquier paralelogramo en la misma base y tener la misma altura.
    El área de un rectángulo es igual al producto de dos lados adyacentes.
    El área de un cuadrado es igual al producto de dos de sus lados (De 3). 

A continuación, cada cuadro superior se relaciona con un triángulo congruente con otro triángulo relacionado a su vez a uno de los dos rectángulos que forman el cuadrado inferior. [12] Ilustración incluyendo las nuevas líneas

La prueba es el siguiente:

    Que ACB ser un triángulo rectángulo con ángulo recto CAB.
    En cada uno de los lados AC, AB y AC, los cuadrados se dibujan, CBDE, BAGF y ACIH, en ese orden. La construcción de plazas requiere de la inmediata anterior teoremas de Euclides, y depende del postulado de las paralelas. [13]
    De la A, trazar una línea paralela a BD y CE. Se cortará perpendicularmente BC y DE en K y L, respectivamente.
    Únete a CF y AD, para formar el BCF triángulos y BDA.
    Ángulos CAB y BAG son ángulos rectos, por lo que C, A y G son colineales . Del mismo modo para el B, A y H.
    Se muestran los dos triángulos congruentes de la mitad del área del rectángulo y el cuadrado BDLK BAGF
    Ángulos CDB y FBA son ambos ángulos rectos, por lo que el ángulo ABD es igual al ángulo FBC, ya que ambos son la suma de un ángulo recto y el ángulo ABC.
    Puesto que AB y BD son iguales a FB y BC, respectivamente, el triángulo ABD debe ser congruente con el triángulo FBC.
    Como A es colineal con K y L, BDLK rectángulo debe ser el doble de la superficie de triángulo ABD, ya que las acciones de una altura con BK y una base con BD y el área de un triángulo es la mitad del producto de su base y la altura.
    Puesto que C es colineal con A y G, plaza BAGF debe ser el doble de la superficie de triángulo FBC.
    Por lo tanto BDLK rectángulo debe tener el mismo lugar que el cuadrado BAGF = AB 2.
    Del mismo modo, se puede demostrar que CKLE rectángulo debe tener la misma área que ACIH cuadrado = AC 2.
    La incorporación de estos dos resultados, AB 2 + AC 2 = BD × × BK + KL KC
    Puesto que BD = KL, BD * BK + KL × KC = BD (BK + KC) x = BD BC
    Por lo tanto AB 2 + AC 2 = BC 2, ya que CBDE es un cuadrado. 

Esta prueba, que aparece en los Elementos de Euclides como el de la Proposición 47 en el libro 1, [14] demuestra que el área del cuadrado de la hipotenusa es la suma de las superficies de las otras dos plazas. [15] Por lo tanto, un muestreo de áreas la prueba en el sentido de Dantzig, que depende de las zonas, no longitudes. Esto hace que sea muy distinta de la prueba por semejanza de triángulos, que se conjetura que es la prueba de que Pitágoras. [11] [16] Demostración por reordenamiento

En la animación a la izquierda, la superficie total y las áreas de los triángulos son constantes. Por lo tanto, el área de negro total es constante. Pero el negro área original de c secundarios pueden ser divididas en dos cuadrados de lados a, b, demostrando que a 2 + b 2 = c 2.

Una segunda prueba se da por medio de la animación. Una gran plaza inicial se forma de la zona C 2 por adyacentes cuatro triángulos rectángulos idénticos, dejando una pequeña plaza en el centro de la plaza grande para dar cabida a la diferencia de longitudes de los lados de los triángulos. Dos rectángulos están formados por los lados a y b moviendo los triángulos. Mediante la incorporación de la pequeña plaza central con uno de estos rectángulos, los dos rectángulos se convierten en dos cuadrados de zonas de 2 y B 2, que muestra que c 2 = a 2 + b 2.

La tercera imagen, la derecha también se da una prueba. La parte superior dos cuadrados se dividen como se muestra en la sombra azul y verde, en trozos que cuando reordenado se pueden hacer para caber en la plaza más baja en la hipotenusa - o por el contrario la gran plaza se pueden dividir como se muestra en pedazos que llenan los otros dos . Esto muestra el área del cuadrado grande es igual a la de los dos más pequeños. [17] Prueba de reordenamiento de los cuatro triángulos rectángulos idénticos

Animación que muestra una prueba en un reordenamiento de [18]

Prueba con un reordenamiento elaborar Algebraica pruebas Diagrama de las dos pruebas algebraicas.

El teorema se puede demostrar algebraicamente con cuatro copias de un triángulo rectángulo con lados a, b, yc, dispuestas dentro de un cuadrado de lado c como en la mitad superior del diagrama. [19] Los triángulos son similares con un área \ Tfrac12ab , Mientras que el pequeño cuadrado tiene el lado b - y un área de (b - a) 2. El área del cuadrado grande es por lo tanto

    (B-a) ^ 2 +4 \ frac {ab} {2} = (b-a) ^ 2 +2 ab = a ^ ^ 2 + b 2. \,

Pero esto es un cuadrado con c laterales y la zona C 2, por lo

    c ^ 2 = a ^ ^ 2 + b 2. \,

Una prueba similar, basado en cuatro ejemplares de un mismo triángulo dispuestas simétricamente alrededor de una plaza con c lado, como se muestra en la parte inferior del diagrama. [20] Esto se traduce en una plaza grande, con el lado a + b y el área (a + b ) 2. Los cuatro triángulos y el lado c cuadrados deben tener la misma área que la plaza mayor,

    (B + a) ^ 2 = c ^ 2 + 4 \ frac {ab} {2} = c ^ 2 +2 ab \,

dando

    c ^ 2 = (b + a) ^ 2 -. 2ab = a ^ ^ 2 + b 2 \,

Diagrama de la prueba de Garfield.

Una prueba relacionado fue publicado por James A. Garfield . [21] [22] En lugar de un cuadrado se utiliza un trapecio , que puede ser construido a partir de la plaza en la segunda de las pruebas arriba por bisectriz lo largo de una diagonal de la plaza interior, para dar el trapecio como se muestra en el diagrama. El área del trapecio se puede calcular a la mitad del área del cuadrado, es decir

    \ Frac {1} {2} (b + a) ^ 2.

La plaza interior es similar a la mitad, y sólo hay dos triángulos, para que dicha prueba de que el anterior excepto por un factor de \ Frac {1} {2} , Que se retira al multiplicar por dos para obtener el resultado. Prueba con las diferencias

Se puede llegar al teorema de Pitágoras mediante el estudio de cómo los cambios en un lado producir un cambio en la hipotenusa y el empleo de cálculo . [23] [24] Esta prueba es una prueba métricas en el sentido de Dantzig, ya que utiliza longitudes, no zonas.

En la figura, el triángulo PBC es el triángulo rectángulo original y el triángulo ABC es la modificación de PBC al lado del PP se ha prorrogado por un aumento a un Δ + una. Los arcos circulares tienen radios y c c + c donde c Δ Δ es el cambio en c hipotenusa que se produce como resultado del cambio Δ en un lado de una. Construcciones para determinar los límites superior e inferior en \ Delta c / \ Delta a \,. [23]

La figura muestra dos construcciones, triángulos rectángulos ADP y AQP, en la parte superior e inferior de los paneles que se utilizarán, respectivamente, para encontrar cotas inferiores y superiores de la relación c Δ / Δ uno. Entonces, el límite será tomado como un Δ, Δ c → 0, y la expresión resultante para la derivación de cd / da se utilizará para establecer el teorema de Pitágoras.

Del triángulo ABC (panel superior),

    \ Cos \ theta = \ frac {AB} {AC} = \ frac {a + \ Delta a} {c + \ Delta c}.

Construir triángulo rectángulo ADP (recuadro superior). Entonces,

    \ Cos \ theta = \ frac {AD} {AP} = \ frac {AD} {\ Delta a}> \ frac {\ Delta c} {\ Delta a}.

Los resultados de la desigualdad desde el año pasado> c Δ, como se muestra en el panel superior de la figura. [25] La combinación de las expresiones anteriores para θ cos,

    \ Frac {\ Delta c} {\ Delta a} <\ frac {a + \ Delta a} {c + \ Delta c}.

Siguiente construir triángulo rectángulo AQP (panel inferior). Dado que ambos triángulos AQP y PBC tienen un ángulo \ Scriptstyle \ phi ,

    \ Cos \ phi = \ frac ā {c} = \ frac {PQ} {AP} = \ frac {PQ} {\ Delta a} <\ frac {\ Delta c} {\ Delta a}.

Los resultados de la última desigualdad PQ <c Δ, como se muestra en el panel inferior de la figura. Combinando las dos desigualdades que se obtuvieron utilizando triángulos ADP y AQP,

    \ Frac ā {c} <\ frac {\ Delta c} {\ Delta a} <\ frac {a + \ Delta a} {c + \ Delta c} = \ left (\ frac ā {c} \ a la derecha) \ frac {1 + \ Delta a / a} {1 + \ Delta c / c}.

Ahora tenemos límites superior e inferior para el coeficiente c Δ / Δ uno. Como un Δ, Δ c → 0, la relación c Δ / Δ uno se convierte en el CC derivada / da y el límite superior es el mismo que el límite inferior un / c. Por lo tanto,

    \ Frac {cc} {da} = \ frac ā {c},

o:

    c \, dc = a \, da; \ d (c ^ 2) = d (a ^ 2),

que tiene la integral :

    c ^ 2 = a ^ 2 + \ text {} constante. \,

Cuando = 0, entonces c = b a, por lo que la “constante” es b 2 establecidos. Por lo tanto Pitágoras, el teorema es la siguiente:

    c ^ 2 = a ^ ^ 2 + b 2. \,

Utilizando esta expresión, el diferencial total es:

    d (c ^ 2) = d (a ^ 2) + d (b ^ 2) \.,

Este resultado muestra que el aumento en el cuadrado de la hipotenusa es la suma de las contribuciones independientes de los cuadrados de los lados. Conversar

La conversación del teorema también es cierto: [26]

    Para cualquiera de los tres números positivos a, b, c tales que a 2 + b 2 = c 2, existe un triángulo de lados a, byc, y cada triángulo como tiene un ángulo recto entre los lados de longitudes a y b . 

Estos números se denominan terna pitagórica . Un enunciado alternativo es:

    Para cualquier triángulo de lados a, b, c, si a 2 + b 2 = c 2, entonces el ángulo entre A y B mide 90 °. 

Esta conversación también aparece en los Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48): [27]

    “Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados del triángulo, entonces el ángulo comprendido por los dos lados restantes del triángulo es correcto.” 

Puede ser demostrado mediante la ley de los cosenos (véase más adelante en las generalizaciones), o por las siguientes pruebas:

Sea ABC un triángulo con longitudes de los lados a, b, yc, con un 2 + b 2 = c 2. Tenemos que demostrar que el ángulo entre los lados A y B es un ángulo recto. Construimos un segundo triángulo con lados de longitudes a y b que contiene un ángulo recto. Por el teorema de Pitágoras, se deduce que la hipotenusa del triángulo tiene longitud c = √ (a 2 + b 2), lo que significa que la hipotenusa es la misma longitud que el primer triángulo. Dado que ambos triángulos tienen los mismos tres longitudes de los lados a, b, yc, son congruentes , por lo que deben tener los mismos ángulos. Por lo tanto, el ángulo entre los lados de longitudes a y b en nuestro triángulo original también es un ángulo recto.

Un corolario del teorema de Pitágoras es la inversa es un medio simple de determinar si un triángulo es recto, obtuso o agudo, según se indica. Donde c es elegido para ser el más largo de los tres lados y a + b> c (de lo contrario no hay triángulo de acuerdo a la desigualdad del triángulo ). Los estados se aplican las siguientes: [28]

    Si a 2 + b 2 = c 2, entonces el triángulo es correcta.
    Si a 2 + b 2> c 2, entonces el triángulo es agudo.
    Si a 2 + b 2 <c 2, entonces el triángulo es obtuso. 

Edsger Dijkstra ha declarado esta proposición acerca de agudos, rectos y triángulos obtusos en este idioma:

    sgn (α + β - γ) = sgn (a 2 + b 2 - c 2), 

donde α es el ángulo opuesto al lado A, β es el ángulo opuesto al lado b, γ es el ángulo opuesto al lado c, y SGN es la función de signo . [29] Las consecuencias y los usos del teorema ternas pitagóricas Artículo principal: Pitágoras triples

Una terna pitagórica tiene tres enteros positivos a, b, yc, que esta a 2 + b 2 = c 2. En otras palabras, un triple pitagórico representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo donde los tres lados tienen longitudes entero. [1] La evidencia de los monumentos megalíticos en el norte de Europa demuestra que triplica como eran conocidos antes del descubrimiento de la escritura. Esta triple es comúnmente escrito (a, b, c). Algunos ejemplos bien conocidos son (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

Un triple pitagórico primitivo es aquella en la que a, b, c son primos entre sí (el máximo común divisor de a, b y c es 1).

La siguiente es una lista de ternas pitagóricas primitivas con valores inferiores a 100:

    (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97) 

longitudes inconmensurables La construcción de segmentos de línea con una longitud cuyas razones son la raíz cuadrada de un número entero positivo

Una de las consecuencias del teorema de Pitágoras es que la línea segmentos cuyas longitudes son inconmensurables (es decir, cuya relación es un número irracional ) puede ser construido usando una regla y compás . “Teorema de Pitágoras permite la construcción de longitudes inconmensurables, porque la hipotenusa de un triángulo está relacionado con los lados a través de la raíz cuadrada de la operación.

La figura de la derecha muestra cómo se construye la línea segmentos cuyas longitudes están en la relación entre la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo. [30] Cada triángulo tiene un lado (“1″) que es la unidad elegida para la medida. En cada triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras establece la longitud de la hipotenusa en función de esta unidad. Si la hipotenusa es relacionado a la unidad por la raíz cuadrada de un número entero positivo que no es un cuadrado perfecto, es una realización de una longitud inconmensurable con la unidad. Ejemplos de ello son √ 2, √ 3, √ 5. Para más detalles, vea más irracional cuadrática .

longitudes inconmensurables en conflicto con el concepto de la escuela pitagórica de los números, ya que sólo números enteros. La escuela pitagórica tratados mediante la comparación de proporciones múltiplos enteros de una subunidad común. [31] Según una leyenda, Hipaso de Metaponto (ca. 470 aC) se ahogó en el mar para dar a conocer la existencia de lo irracional o inconmensurable. [32 ] [33] Euclidiana distancia en los sistemas de coordenadas diferentes La separación s de dos puntos (r 1, θ 1) y (r 2, θ 2) en coordenadas polares viene dada por la ley de los cosenos . Interior ángulo Δθ = θ 1 θ 2.

La fórmula de la distancia en coordenadas cartesianas se deriva del teorema de Pitágoras. [34] Si (x 1, y 1) y (x 2, y 2) son los puntos del plano, entonces la distancia entre ellos, también llamada la distancia euclídea , viene dada por

    \ Sqrt {(x_1, x_2) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2}.

En términos más generales, en el espacio euclidiano n- , la distancia euclídea entre dos puntos, A \, = \, (a_1, a_2, \ dots, a_n) y B \, = \, (b_1, b_2, \ dots, b_n) , Se define, por la generalización del teorema de Pitágoras, como:

    \ Sqrt {(a_1-b_1) ^ 2 + (a_2-b_2) ^ 2 + \ cdots + (a_n-b_n) ^ 2} = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ n (a_i-b_i) ^ 2 }.

Si las coordenadas cartesianas no se utilizan, por ejemplo, si las coordenadas polares se utilizan en dos dimensiones o, en términos más generales, en caso de coordenadas curvilíneas se utilizan, las fórmulas que expresan la distancia euclídea es más complicado que el teorema de Pitágoras, pero se pueden derivar de que. Un ejemplo típico donde la distancia entre dos puntos de la línea se convierte en la recta de coordenadas curvilíneas se puede encontrar en la aplicaciones de los polinomios de Legendre en la física . Las fórmulas se pueden descubrir mediante el teorema de Pitágoras con las ecuaciones que relacionan las coordenadas curvilíneas de coordenadas cartesianas. Por ejemplo, las coordenadas polares (r, θ) se puede introducir como:

    x = r \ cos \ theta, \ y = r \ sin \ theta. \,

Luego, dos puntos con localizaciones (r 1, θ 1) y (r 2, θ 2) están separados por una distancia s:

    s ^ 2 = (x_1 - x_2) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 = (r_1 \ cos \ theta_1-r_2 \ cos \ theta_2) ^ 2 + (r_1 \ sin \ theta_1-r_2 \ sin \ theta_2) ^ 2. \,

Realización de las plazas y la combinación de términos, la fórmula de Pitágoras para la distancia en coordenadas cartesianas produce la separación en coordenadas polares como:

    \ Begin {align} s ^ 2 y = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 −2 r_1 r_2 \ left (\ cos \ theta_1 \ cos \ theta_2 + \ sin \ theta_1 \ sin \ theta_2 \ right) \ \ & = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 −2 r_1 r_2 \ cos \ left (\ theta_1 - \ theta_2 \ right) \ \ & = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 −2 r_1 r_2 \ cos \ Delta \ theta \ end {align} \,

utilizando la trigonometría a la suma fórmulas de los productos . Esta fórmula es la ley de los cosenos , a veces llamado el Teorema de Pitágoras generalizado. [35] A partir de este resultado, para el caso en los radios de las dos localidades se encuentran en ángulo recto, el ángulo cerrado Δ θ = π / 2, y la forma correspondiente al teorema de Pitágoras se recupera: s ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2. \, El teorema de Pitágoras, válido para triángulos rectángulos, por lo tanto es un caso especial de la ley más general de los cosenos, válida para los triángulos arbitrarios. identidad trigonométrica de Pitágoras Artículo principal: identidad trigonométrica de Pitágoras Similares triángulos rectángulos seno y el coseno de mostrar el ángulo θ

En un triángulo rectángulo con lados a, b y c hipotenusa, trigonometría determina el seno y el coseno del ángulo θ entre un lado y la hipotenusa como:

    \ Sin \ theta = \ frac {b} {c}, \ quad \ cos \ theta = \ frac ā {c}.

Desde que se sigue:

    {\ Cos ^ 2} \ theta + {\ sin ^ 2} \ theta = \ frac {a ^ ^ 2 + b 2} {c ^ 2} = 1,

en el último paso se aplica el teorema de Pitágoras. Esta relación entre el seno y el coseno a veces se llama la identidad trigonométrica fundamental de Pitágoras. [36] En los triángulos similares, las proporciones de los lados son iguales sin importar el tamaño de los triángulos, y dependen de los ángulos. En consecuencia, en la figura, el triángulo con la hipotenusa del tamaño de la unidad tiene el lado opuesto de θ pecado tamaño y el lado adyacente de cos θ tamaño en unidades de la hipotenusa. Generalizaciones cifras similares en los tres lados La generalización de triángulos semejantes, zona verde de A + B = azul, la zona C Teorema de Pitágoras con triángulos rectángulos similares

El teorema de Pitágoras fue generalizado por Euclides en sus Elementos de extender más allá de las áreas de los cuadrados de los tres lados a cifras similares : [37]

    Si se erige cifras similares (véase la geometría euclidiana ) a los lados de un triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los dos más pequeños es igual al área de la más grande. 

La idea básica detrás de esta generalización es que el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquier dimensión lineal, y, en particular, es proporcional al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, si las cifras similares a las zonas A, B y C se erigen en los lados con longitudes a, b, c, entonces:

    \ Frac ā {a ^ 2} = \ frac {B} {b ^ 2} = \ frac {C} {c ^ 2} \,,
    \ Rightarrow A + B = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} C + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} C \,.

Pero, por el teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = c 2, por lo que A + B = C.

Por el contrario, si podemos demostrar que A + B = C durante tres cifras similares sin necesidad de utilizar el teorema de Pitágoras, entonces podemos trabajar hacia atrás para construir una demostración del teorema. Por ejemplo, el triángulo central de partida puede ser reproducido y utilizado como una C en su hipotenusa del triángulo, y dos triángulos similares (A y B) construidos en los otros dos lados, formado por la división del triángulo central por su altura . La suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños por lo tanto es el de la, por lo tanto tercero A + B = C y la inversión de la lógica anterior lleva al teorema de Pitágoras a 2 + b 2 = c 2. Ley de los cosenos Artículo principal: Ley de los cosenos

El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema más general sobre las longitudes de los lados de cualquier triángulo, la ley de los cosenos: [38]

        a ^ 2 + b ^ 2–2ab \ cos {\ theta} = c ^ 2, \,

donde θ es el ángulo entre los lados a y b.

Cuando θ es de 90 grados, entonces cos θ = 0, y la fórmula se reduce al teorema de Pitágoras habitual. triángulo Arbitraria La generalización de “teorema de Pitágoras por Ibn Tabit Qorra . [39] Bajo el panel: la reflexión del triángulo ABD (arriba) para formar el triángulo DBA, similar a un triángulo ABC (arriba).

En cualquier ángulo seleccionado de un triángulo general de lados a, b, c, inscribir un triángulo isósceles de tal manera que los ángulos iguales en la base de su θ son los mismos que el ángulo seleccionado. Supongamos que el ángulo θ seleccionado se encuentra frente al lado de la etiqueta c. el triángulo isósceles formas La inscripción triángulo ABD con θ lado opuesto al ángulo y un lado a lo largo de r c. Un segundo triángulo se forma con θ b opuesto lado del ángulo y un lado con una longitud de s a lo largo de c, como se muestra en la figura. Tabit ibn Qorra [40] declaró que los lados de los tres triángulos estaban relacionadas como: [41] [42]

    a ^ ^ 2 + b 2 = c (r + s) \.

A medida que el ángulo θ enfoques π / 2, la base del triángulo isósceles se estrecha, y r s largos y se superponen cada vez menos. Cuando θ = π / 2, Banco Asiático de Desarrollo se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = c, y original de Pitágoras el teorema de que se recupere.

Una prueba observa que el triángulo ABC tiene los mismos ángulos como el triángulo ABD, pero en orden inverso. (Los triángulos comparten dos el ángulo en el vértice B, ambos contienen el mismo ángulo θ, y así también la tercera mismo ángulo por el postulado de triángulo .) Por lo tanto, ABC es similar a la reflexión respecto a décadas pasadas, el triángulo de DBA en el panel inferior. Tomando la relación de los lados opuestos y adyacente a θ,

    \ Frac {c} ā = \ frac ā {r} \.

Del mismo modo, para la reflexión del otro triángulo,

    \ Frac {c} {b} = \ frac {b} {s} \.

Eliminación de fracciones y la adición de estas dos relaciones:

    CR + CS = a ^ ^ 2 + b 2 \,

el resultado requerido. triángulos General con paralelogramos La generalización de triángulos arbitraria, zona verde = área azul Construcción para la prueba de la generalización del paralelogramo

Una generalización se aplica a los triángulos que no son triángulos rectángulos, paralelogramos utilizando en los tres lados en lugar de cuadrados. [43] (Los cuadrados son un caso especial, por supuesto.) La figura superior muestra que para un triángulo escaleno, la zona de el paralelogramo en el lado más largo es la suma de las áreas de los paralelogramos en los otros dos lados, siempre que el paralelogramo en el lado largo se construye como se indica (las dimensiones marcadas con flechas son los mismos, y determinar los lados del paralelogramo inferior ). Esta sustitución de las plazas con paralelogramos tiene una clara semejanza con la original de Pitágoras teorema, y era considerada una generalización de Pappus de Alejandría , en 4 dC [43]

La figura inferior muestra los elementos de la prueba. Concéntrese en el lado izquierdo de la figura. El paralelogramo verde de la izquierda tiene la misma superficie que el azul de la parte izquierda del paralelogramo inferior debido a que ambos tienen la misma base b y altura h. Sin embargo, el paralelogramo verde de la izquierda también tiene la misma área que el paralelogramo izquierda verde de la figura superior, porque tienen la misma base (el lado izquierdo superior del triángulo) y la misma altura normal a ese lado del triángulo. Repitiendo el argumento de la parte derecha de la figura, el paralelogramo inferior tiene la misma superficie que la suma de los dos paralelogramos verde. aritmética compleja Artículo principal: aritmética compleja

“Fórmula de Pitágoras se utiliza para encontrar la distancia entre dos puntos en el cartesiano plano de coordenadas, y es válida si todas las coordenadas son reales: la distancia s entre los puntos (a, b) y (c, d) es

    s = \ sqrt {(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2}. 

No hay problema surge con la fórmula si los números complejos son tratados como vectores con componentes reales como en x + iy = (x, y). Por ejemplo, la distancia s entre 0 i + 1 y + 0 i 1 se convierte en la magnitud del vector (0, 1) - (1, 0) = (−1, 1), o

    s = \ sqrt {(−1) ^ 2 +1 ^ 2} = \ sqrt {2}. 

Sin embargo, una modificación de la fórmula de Pitágoras es necesario que el tratamiento directo de los vectores con las coordenadas complejas . La distancia entre los puntos con coordenadas complejas (a, b) y (c, d), a, b, c, d todos los complejos, se formula con los valores absolutos . La distancia s se basa en la diferencia de vectores (a - c, b - d) de la siguiente manera: [44] Que la diferencia a - c = c + i q, donde p es la parte real de la diferencia, q es la parte imaginaria y i = √ (−1). Del mismo modo, sea b - d = r + s i. Entonces:

    \ Begin {align} s y = \ sqrt (p + iq) \ overline (p + iq) + (r + es) \ overline (r + es) \ \ & = \ sqrt (p + iq) (p-iq) + (r + es) (r-es) \ \ & = \ sqrt {p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2 + s ^ 2} \ end {align}

donde \ Overline {\ mathit z} es el complejo conjugado de \ Mathit z \ . Por ejemplo, la distancia entre los puntos (a, b) = (0, 1) y (c, d) = (i, 0) se inicia con la diferencia (a - c, b - d) = (- i, 1 ) y que funcionan como 0 si conjugados complejos no se tomaron. Utilizando la fórmula modificada, el resultado es

    s = \ sqrt {(-i) \ cdot (\ overline {-i}) + 1 \ cdot \ overline {1}} = \ sqrt {(-i) \ cdot ī + 1 \ cdot {1}} = \ sqrt {2}. \,

La norma define por:

    \ | \ Mathbf p \ | = \ sqrt \ vec {p \ cdot \ overline {p}}} = \ sqrt { \ ,

es un producto escalar hermítico . [45] Geometría sólidos Artículo principal: geometría sólida Teorema de Pitágoras en tres dimensiones se refiere la diagonal AD a los tres lados. Un tetraedro con el exterior hacia la esquina en ángulo recto

En términos de geometría sólida, el teorema de Pitágoras se puede aplicar a las tres dimensiones de la siguiente manera. Considere la posibilidad de un sólido rectangular como se muestra en la figura. La longitud de la diagonal BD se encuentra desde el teorema de Pitágoras como:

    \ Overline {BD} ^ {\, 2} = \ overline {BC} ^ {\, 2} + \ overline {CD} ^ {\, 2} \,

en estos tres lados forman un triángulo rectángulo. Uso horizontal diagonal BD y la vertical del borde AB, la longitud de la diagonal AD entonces se encuentra en una segunda aplicación de “teorema de Pitágoras como:

    \ Overline {AD} ^ {\, 2} = \ overline {AB} ^ {\, 2} + \ overline {BD} ^ {\, 2} \,

o, lo hace en un solo paso:

    \ Overline {AD} ^ {\, 2} = \ overline {AB} ^ {\, 2} + \ overline {BC} ^ {\, 2} + \ overline {CD} ^ {\, 2} \.

Este resultado es la expresión de tres dimensiones de la magnitud de un vector v (la diagonal AD) en términos de sus componentes ortogonales k {v} (los tres lados perpendiculares entre sí):

    \ | \ Vec v} \  ^ 3 \ | \ vec {v} _i \ | ^ 2.

Esta formulación de un solo paso puede ser visto como una generalización del teorema de Pitágoras a dimensiones superiores. Sin embargo, este resultado es en realidad la aplicación repetida del teorema de Pitágoras, el original “a una sucesión de triángulos rectángulos en una secuencia de planos ortogonales.

Una generalización importante del teorema de Pitágoras para tres dimensiones es Gua teorema de , el nombre de Jean Paul de Gua de Malves : Si un tetraedro tiene una esquina en ángulo recto (una esquina como un cubo ), entonces el cuadrado de la zona de la cara opuesta la esquina en ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Este resultado se puede generalizar como en el “teorema de Pitágoras dimensiones-n”: [46]

    Vamos a x_1, x_2, … x_n \, ser vectores ortogonales en ℝ n. Tenga en cuenta la dimensión simple S con n vértices 0, x_1 … x_n \, . (Piense en el n-1) dimensiones simple (con vértices x_1, … x_n \, sin incluir el origen como la “hipotenusa” de S y el resto (n-1)-dimensional S como rostros de sus “piernas”.) Luego de la plaza del volumen de la hipotenusa de S es la suma de los cuadrados de los volúmenes de las piernas n. 

Esta afirmación se ilustra en tres dimensiones por el tetraedro en la figura. La “hipotenusa” es la base del tetraedro en la parte posterior de la figura, y las “patas” son las tres caras que emanan desde el vértice en el primer plano. A medida que la profundidad de la base de los aumentos de vértices, el área de las “patas” aumenta, mientras que la de la base se fija. El teorema sugiere que cuando esta profundidad se encuentra en el valor de la creación de un vértice derecho, la generalización del teorema de Pitágoras se aplica. En una redacción distinta: [47]

    Dado un rectangulares n-dimensional n simple, la plaza de la (n - 1) el contenido de la faceta oposición el vértice derecho será igual a la suma de los cuadrados de los (n - 1)-el contenido de las facetas que quedan. 

producto de los espacios interiores Ver también: espacio de Hilbert Vectores implicados en la ley del paralelogramo

El teorema de Pitágoras se puede generalizar a espacios con producto interno , [48] , que son generalizaciones de lo familiar de 2 y 3 dimensiones, espacios euclídeos . Por ejemplo, una función puede ser considerado como un vector con muchos componentes infinitamente en un espacio con producto interno, como en el análisis funcional . [49]

En un espacio con producto interno, el concepto de perpendicularidad se sustituye por el concepto de ortogonalidad : dos vectores v y w son ortogonales si su producto interno \ Langle \ vec {v}, \ vec {w} \ rangle es cero. El producto interno es una generalización del producto escalar de vectores. El producto escalar se llama el producto interno estándar o el producto interior euclidiana. Sin embargo, otros productos internos son posibles. [50]

El concepto de longitud se sustituye por el concepto de la norma | | v | | de un vector v, se define como: [51]

    \ L Vert? \ vec {v} \ rVert \ equiv \ sqrt {\ langle \ vec {v}, \ vec {v} \ rangle} \,.

En un subproducto espacio interior, el teorema de Pitágoras que para cualquier ortogonales dos vectores v y w hemos

    \ Left \ | \ vec v} + \ vec {w} \ right \  \ right \ | ^ 2 + \ left \ | \ vec {w} \ derecho \ | ^ 2.

Aquí los vectores v y w son similares a los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa dada por la suma de vectores v + w. Esta forma del teorema de Pitágoras es una consecuencia de las propiedades del producto interno :

    \ Left \ | \ vec v} + \ vec {w} \ right \ , \ \ vec v + w} \ rangle = \ langle \ vec {v} , \ \ vec {v} \ rangle + \ langle \ mathbf {w}, \ \ mathbf {w} \ rangle + \ langle \ vec {v, \ w} \ rangle + \ langle \ mathbf {w, \ v} \ rangle \ = \ left \  \ right \ | ^ 2 + \ left \ | \ vec {w} \ right \ | ^ 2,

cuando los productos internos de los términos cruzados son iguales a cero, debido a la ortogonalidad.

Una generalización del teorema de Pitágoras en un espacio con producto interno de vectores ortogonales no es la ley del paralelogramo : [51]

    2 \ | \ vec v \ | ^ 2 + 2 \ | w \ mathbf \ | ^ 2 = \ | \ vec v + w} \  \ | ^ 2 \,

que dice que el doble de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados de un paralelogramo es la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales. Cualquier norma que cumple esta igualdad es , ipso facto, una norma que corresponde a un producto interno. [51]

La identidad de Pitágoras se puede extender a las cantidades de más de dos vectores ortogonales. Si v 1, v 2, …, v n vectores son ortogonales por parejas en un subproducto espacio interior, entonces la aplicación del teorema de Pitágoras para los pares sucesivos de estos vectores (como se describe en tres dimensiones en la sección de geometría sólida ) resulta en la ecuación [52]

    \ | \ Sum_ k = 1} ^ {n} \ vec {v} _i \  ^ n \ | \ vec {v} _i \ | ^ 2.

la identidad de Parseval es una generalización, además, que considera sumas infinitas de vectores ortogonales. La geometría no-euclidiana Artículo principal: La geometría no-euclidiana Ver también: los axiomas de Hilbert

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana , y de hecho, el teorema de Pitágoras citados no se sostiene en un euclidiana geometría no . [53] (El teorema de Pitágoras se ha demostrado, de hecho, ser equivalente a la de Euclides Paralelo (Quinta) Postulado . [54] [55] ) En otras palabras, en la geometría no-euclidiana, la relación entre los lados de un triángulo necesariamente debe tener una forma no-pitagórica. Por ejemplo, en la geometría esférica , los tres lados del triángulo rectángulo (por ejemplo a, b, yc) una delimitación octante de la esfera unidad tiene una longitud igual a π / 2, que viola el teorema de Pitágoras, porque a 2 + b 2 ≠ c 2.

He aquí dos casos de la geometría no-euclidiana se consideran- geometría esférica y geometría plano hiperbólico , en cada caso, como en el caso euclidiano de derecha triángulos no, el resultado de la sustitución del teorema de Pitágoras se desprende de la legislación apropiada de los cosenos.

Sin embargo, el teorema de Pitágoras sigue siendo cierto en la geometría hiperbólica y geometría elíptica si la condición de que el triángulo razón se sustituye por la condición de que dos de los ángulos suma a la tercera, por ejemplo A + B = C. Los laterales están relacionadas a continuación, de la siguiente manera: suma de las áreas de los círculos con los diámetros a y b es igual al área del círculo con un diámetro. C del [56] La geometría esférica Artículo principal: La geometría esférica triángulo esférico

Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera de radio R (por ejemplo, si γ en la figura es un ángulo recto), de lados a, b, c, la relación entre las partes toma la forma: [57]

    \ Cos \ left (\ frac {c} {R} \ right) = \ cos \ left (\ frac ā {R} \ right) \ cos \ left (\ frac {b} {R} \ right).

Esta ecuación puede ser derivado como un caso especial de la ley de los cosenos esférica que se aplica a todos los triángulos esféricos:

    \ Cos \ left (\ frac {c} {R} \ right) = \ cos \ left (\ frac ā {R} \ right) \ cos \ left (\ frac {b} {R} \ right) + \ sin \ left (\ frac ā {R} \ right) \ sin \ left (\ frac {b} {R} \ right) \ cos \ gamma \.

Mediante el uso de la serie de Maclaurin de la función coseno, cos x ≈ 1 - x 2 / 2, se puede demostrar que a medida que el radio tiende a infinito R y los argumentos a / R, b / R y C / R tiende a cero, el esférica relación entre los lados de un triángulo rectángulo se aproxima a la forma de teorema de Pitágoras. Sustituyendo la aproximación de segundo grado para cada uno de los cosenos en la relación esférica de un triángulo rectángulo:

    1 - \ left (\ frac {c} {R} \ right) ^ 2 = \ left [1 - \ left (\ frac ā {R} \ right) ^ 2 \ right] \ left [1 - \ left (\ frac {b} {R} \ right)] ^ 2 \ right + \ \ mathrm {superior \ fin \ términos}

Multiplicando las cantidades entre corchetes, el teorema de Pitágoras se recupera de grandes radios R:

    \ Left (\ frac {c} {R} \ right) ^ 2 = \ left (\ frac ā {R} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {b} {R} \ right) ^ 2 + \ \ mathrm {superior \ fin \ términos} \,

donde los términos de orden superior se despreciable como R llega a ser grande. Geometría hiperbólica Artículo principal: Geometría hiperbólica Ver también: la curvatura de Gauss Hiperbólica triángulo

Para un triángulo rectángulo en geometría hiperbólica de lados a, b, c, con c lado opuesto un ángulo recto, la relación entre las partes toma la forma: [58]

    \ C cosh = \ cosh un \ \ cosh b

donde cosh es el coseno hiperbólico . Esta fórmula es una forma especial de la ley de los cosenos hiperbólicos que se aplica a todos los triángulos hiperbólicos: [59]

    \ C cosh = \ cosh un \ \ cosh b - \ senh un \ \ senh b \ \ cos \ gamma \,

con γ el ángulo en el vértice opuesto al lado c.

Mediante el uso de la serie de Maclaurin para el coseno hiperbólico, cosh x ≈ 1 + x 2 / 2, se puede demostrar que, como un triángulo hiperbólico llega a ser muy pequeñas (es decir, como a, b, yc todas tienden a cero), la hiperbólica relación de un triángulo rectángulo se aproxima a la forma de teorema de Pitágoras. Geometría Diferencial Artículo principal: Geometría Diferencial Distancia entre puntos separados infinitesimalmente en coordenadas cartesianas (arriba) y las coordenadas polares (parte inferior), dada por el teorema de Pitágoras

A nivel infinitesimal, en un espacio tridimensional, el teorema de Pitágoras describe la distancia entre dos puntos infinitesimalmente separados como:

    ds ^ 2 = dx ^ ^ 2 + dy 2 + dz ^ 2 \,

ds con el elemento de distancia y (dx, dy, dz) los componentes del vector que separa los dos puntos. Este espacio se denomina espacio euclidiano . Sin embargo, una generalización de esta expresión útil para coordenadas generales (no sólo cartesiana) y espacios en general (no sólo euclidiana) toma la forma: [60]

    ds ^ 2 = \ sum_ {i, j} g_ n ^ {ij} \, dx_i \, dx_j

donde g ij se llama el tensor métrico . Puede ser una función de la posición. Tales espacios curvos incluyen la geometría de Riemann como un ejemplo general. Esta fórmula también se aplica a un espacio euclidiano utilizando las coordenadas curvilíneas . Por ejemplo, en coordenadas polares :

    Ds ^ 2 = ^ dr ^ 2 + r 2 d \ theta ^ 2 \.

Relación con la cruz de productos El área de un paralelogramo como un producto cruz de vectores a y b identificar un avión y un b × es normal a este plano. Ver también: dimensiones cruzadas de productos y siete

Teorema de Pitágoras conecta dos expresiones de la magnitud del producto cruz.

Un enfoque para la definición de una cruz producto vectorial es exigir que se cumpla la ecuación, [61]

    \ | \ Vec ā \ times \ vec b} \  \ | ^ 2 - (\ vec ā \ cdot \ vec {b}) ^ 2 \,

que implica el producto escalar . La mano derecha se llama el factor determinante de Gram de a y b, y representa el cuadrado del área del paralelogramo formado por estos dos vectores. A partir de este requisito, junto con la de la ortogonalidad del producto vectorial de sus componentes A y B, se deduce que, aparte de los casos triviales de cero y uno dimensiones, el producto vectorial se define sólo en tres y siete dimensiones. [62] Uso la definición de ángulo en n dimensiones: [63]

    (\ Vec {a \ cdot b}) = ab \ \ cos \ theta \,

esta propiedad del producto cruz provee su magnitud como:

    \ | \ Vec {a \ b veces} \ | ^ 2 = a ^ 2 b ^ 2 \ left (1 - ^ \ cos 2 \ theta \ right). \,

A través de la fundamental identidad trigonométrica de Pitágoras , [36] otra forma, la magnitud se encuentra:

    \ | \ Vec {b a \ times} \ | ab = \ sin \ theta. \,

Un enfoque alternativo define el producto vectorial utilizando esta expresión de su magnitud. A continuación, invertir el argumento anterior, la conexión con el producto escalar:

    \ | \ Vec ā \ times \ vec b} \  \ | ^ 2 - (\ vec ā \ cdot \ vec {b}) ^ 2 \,

se deriva. Historia La tableta Plimpton 322 Pitágoras triples registros de la época babilónica. [4]

Existe un debate si el teorema de Pitágoras fue descubierto una vez, o muchas veces en muchos lugares.

La historia del teorema se puede dividir en cuatro partes: conocimientos de ternas pitagóricas , el conocimiento de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo , el conocimiento de las relaciones entre los ángulos adyacentes, y las pruebas del teorema dentro de un sistema deductivo.

Bartel Leendert van der Waerden conjetura que fueron descubiertos ternas pitagóricas algebraicamente por los babilonios. [64] Escrito entre 2000 y 1786 aC, el Imperio Medio egipcio papiro de Berlín 6619 incluye un problema cuya solución es la terna pitagórica 6:08:10, pero la problema no menciona un triángulo. La Mesopotamia tableta Plimpton 322 , escrito entre 1790 y 1750 aC durante el reinado de Hammurabi el Grande, contiene muchas entradas estrechamente relacionados con ternas pitagóricas.

En la India , el Baudhayana Sutra Sulba , las fechas que se dan indistintamente como entre el siglo octavo antes de Cristo y el segundo siglo antes de Cristo, contiene una lista de ternas pitagóricas algebraicamente descubierto, una declaración del teorema de Pitágoras, y una geometría de la prueba de Pitágoras Teorema de un isósceles triángulo rectángulo. El Apastamba Sulba Sutra (circa 600 aC) contiene una prueba numérica del teorema de Pitágoras en general, utilizando un área de cómputo. Van der Waerden cree que “se basa sin duda en las primeras tradiciones”. De acuerdo con Albert Burk, esta es la prueba original del teorema, sino que además la teoría de que Pitágoras visitó Arakonam , la India, y la copió. Boyer (1991) piensa que los elementos encontrados en el Sulba-sũtram puede ser la derivación de Mesopotamia. [65] Geométrica demostración del teorema de Pitágoras en el Suan Jing Zhou Bi .

Con contenido conocido mucho antes, pero para sobrevivir los textos que datan de aproximadamente el siglo I aC, la China de texto Zhou Bi Suan Jing (周髀算经), (El Clásico aritmético del gnomon y la trayectoria circular del Cielo) da un argumento a favor de el teorema de Pitágoras para el (3, 4, 5) de triángulo en China se le llama el “Gougu Teorema” (勾股定理). [66] [67] Durante la dinastía Han , de 202 aC a 220 dC, ternas pitagóricas aparecen en los Nueve capítulos del arte matemático , [68] junto con una mención de triángulos rectángulos. [69] Algunos creen que el teorema surgió por primera vez en China , [70] donde se alternativamente conocido como el “Teorema de Shang Gao” (商高定理), [71] el nombre del duque de Zhou astrólogo, y se describe en la matemática colección Zhou Bi Suan Jing . [72]

Pitágoras , cuyas fechas se da comúnmente en 569–475 aC, que se utiliza métodos algebraicos para construir ternas pitagóricas, de acuerdo con Proclo comentario s sobre Euclides . Proclo, sin embargo, escribió entre 410 y 485 dC. Según Sir Thomas L. Heath , sin atribución específica del teorema de Pitágoras, existe en la literatura griega superviviente de los cinco siglos después de Pitágoras vivió. [73] Sin embargo, cuando autores como Plutarco y Cicerón atribuye el teorema de Pitágoras, que hicieron de una manera que sugiere que la atribución era ampliamente conocido e indudable. [3] [74] “Si esta fórmula es justamente atribuye a Pitágoras en persona, […] podemos suponer que pertenece al período más antiguo de muy las matemáticas de Pitágoras. “ [33]

Alrededor de 400 aC, de acuerdo con Proclo, Platón dio un método para encontrar ternas pitagóricas que el álgebra y la geometría combinada. Hacia el año 300 aC, en los Elementos de Euclides , el más antiguo existente prueba evidente del teorema se presenta. [75] Pop referencias al teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se ha planteado en la cultura popular en una variedad de maneras.

Un verso de la General canción principal de la de Gilbert y Sullivan, la ópera cómica Los piratas de Penzance , “Acerca de teorema del binomio que estoy lleno de mucho ‘o noticias a, con muchos hechos optimista sobre el cuadrado de la hipotenusa”, hace una oblicua referencia al teorema.

El espantapájaros de El mago de Oz (1939 película) hace una referencia más específica con el teorema cuando recibe su diploma de la Asistente . Inmediatamente presenta su “conocimiento” recitando una versión mutilada y errónea del teorema: “La suma de las raíces cuadradas de cualquiera de los dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada de la parte restante Oh, Oh, alegría,.! arrebato! Tengo un cerebro! “ El “conocimiento” exhibida por el Espantapájaros es incorrecta. [76]

En 2000, Uganda lanzó una moneda con la forma de un triángulo rectángulo isósceles. moneda de la cola de la tiene una imagen de Pitágoras y la ecuación α 2 + β 2 = γ 2, acompañada de la mención “Objetivos de Pitágoras”. [77], Grecia , Japón , San Marino , Sierra Leona y Suriname han emitido sellos postales que representan Pitágoras y el teorema de Pitágoras. [78]

En Neal Stephenson ‘s especulativa ficción Anathem , el teorema de Pitágoras se conoce como ‘Adrakhonic “teorema de la. Una prueba geométrica del teorema se muestra en el lateral de una nave alienígena para demostrar su comprensión de las matemáticas.

Pythagorean theorem. (2011, April 22). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 20:28, May 1, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pythagorean_theorem&oldid=425391711


Teorema de Pitagoras

El Teorema de Pitágoras fue descubierto por uno de los más conocidos discípulos de Pitágoras, Hipaso de Metaponto.

Lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. El teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:

a^2 + b^2 = c^2

Demostraciones

El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos.

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pitagoream Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

Teorema de Pitágoras. (2008, 23) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:27, octubre 23, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Pit%C3%A1goras&oldid=21179831.


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